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    高階方向?qū)?shù)與乘積函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的形式一致性探討

    2012-11-22 03:29:54隴東學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院甘肅慶陽745000
    關(guān)鍵詞:展開式高等教育出版社乘積

    張 騫 (隴東學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅 慶陽 745000)

    高階方向?qū)?shù)與乘積函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的形式一致性探討

    張 騫 (隴東學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅 慶陽 745000)

    推導(dǎo)了乘積函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)和高階方向?qū)?shù)的計(jì)算,并對兩者進(jìn)行比較,得出了其形式一致性的結(jié)果。

    高階導(dǎo)數(shù);方向?qū)?shù);一致性

    導(dǎo)數(shù)、高階導(dǎo)數(shù)、高階偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)[1-4]是微積分理論中很重要的知識點(diǎn),其中高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算是一個(gè)難點(diǎn),而對于高階方向?qū)?shù)更少涉及。為此,筆者主要給出了乘積函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算和高階方向?qū)?shù)的概念及計(jì)算,得到兩者的規(guī)律以及簡單表示方法。

    1 乘積函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)

    1.1f(x)g(x)的高階導(dǎo)數(shù)

    設(shè)f(x)與g(x)分別為任意階可導(dǎo)函數(shù),f(x)與g(x)可視為f(x)與g(x)的零階導(dǎo)數(shù)f(0)(x)與g(0)(x),則:

    [f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)

    [f(x)g(x)]″=f″(x)g(x)+2f′(x)g′(x)+f(x)g″(x)

    [f(x)g(x)]?=f?(x)g(x)+3f″(x)g′(x)+3f′(x)g″(x)+f(x)g?(x)

    利用數(shù)學(xué)歸納法可以得到f(x)g(x)的n階導(dǎo)數(shù):

    其形式與二項(xiàng)式(a+b)n的展開式相似,于是乘積函數(shù)f(x)g(x)的n階導(dǎo)數(shù)可以簡單表示為[f(x)+g(x)](n)。

    1.2f(x)g(x)h(x)的高階導(dǎo)數(shù)

    設(shè)f(x)、g(x)與h(x)分別為任意階可導(dǎo)函數(shù),則:

    (fgh)′=f′gh+fg′h+fgh′

    (fgh)″=f″gh+fg″h+fgh″+2f′g′h+2f′gh′+2fg′h′

    (fgh)?=f?gh+fg?h+fgh?+3f″g′h+3f′g″h+3f″gh′+3f′gh″+3fg″h′+3fg′h″+6f′g′h′

    同理,利用數(shù)學(xué)歸納法可知f(x)g(x)h(x)的n階導(dǎo)數(shù):

    與三項(xiàng)式(a+b+c)n的展開式相似,于是乘積函數(shù)f(x)g(x)h(x)的n階導(dǎo)數(shù)可以簡單表示為[f(x)+g(x)+h(x)](n)。

    1.3f1f2…fk的高階導(dǎo)數(shù)

    依次類推可知乘積函數(shù)f1f2…fk的n階導(dǎo)數(shù)與(a1+a2+…+a3)n的展開式相似,于是乘積函數(shù)f1f2…fk的n階導(dǎo)數(shù)可以簡單表示為[f1+f2+…+f3](n)。

    2 高階方向?qū)?shù)

    設(shè)函數(shù)f(x,y)在任意點(diǎn)P(x,y)存在所有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則f沿任一方向l的二階方向?qū)?shù)都存在,且:

    式中,cosα,cosβ為方向l的方向余弦??珊唵伪硎緸椋?/p>

    依次有:

    +(fxxy(P)cos2α+2fxyy(P)cosαcosβ+fyyy(P)cos2β)cosβ

    =fxxx(P)cos3α+3fxxy(P)cos2αcosβ+3fxyycosαcos2β+fyyy(P)cos3β

    可表示為:

    若f(x,y)存在n階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則:

    推廣到三元函數(shù)的n階方向?qū)?shù):

    式中, cosα,cosβ, cosγ為方向l的方向余弦。

    對于任意多元函數(shù),也有:

    式中, cosα1,cosα2,…,cosαk為方向l的方向余弦。

    3 形式一致性

    通過上述2類高階導(dǎo)數(shù)形式的比較,可以得到:

    2)[f(x)g(x)]?與f?l(x,y)均相似于二項(xiàng)式(a+b)3的展開式。

    可見,乘積函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)與高階方向?qū)?shù)具有形式一致性。

    [1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析(上冊)[M] .第3版.北京:高等教育出版社,2001.

    [2] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析(下冊)[M] .第3版.北京:高等教育出版社,2001.

    [3] 劉玉璉.數(shù)學(xué)分析講義(上冊)[M].第4版.北京:高等教育出版社,2003.

    [4] 劉玉璉.數(shù)學(xué)分析講義(下冊)[M].第4版.北京:高等教育出版社,2003.

    [5] 張騫. 高階方向?qū)?shù)與多元Taylor定理的簡單形式[J]. 菏澤學(xué)院學(xué)報(bào),2011(2):11-13.

    10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.09.002

    O175.15

    A

    1673-1409(2012)09-N004-02

    2012-06-16

    張騫(1976-),男, 2000年大學(xué)畢業(yè),碩士,副教授,現(xiàn)主要從事非線性泛函分析和函數(shù)論方面的教學(xué)與研究工作。

    [編輯] 洪云飛

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