求解熱傳導(dǎo)方程的一族三層隱式差分格式

詹涌強(qiáng)

(華南理工大學(xué)廣州學(xué)院基礎(chǔ)部數(shù)學(xué)教研室，廣東 廣州 510800)

考慮熱傳導(dǎo)方程的初值問(wèn)題

(1)

熱傳導(dǎo)方程的數(shù)值解法是計(jì)算數(shù)學(xué)中重要的研究?jī)?nèi)容，問(wèn)題(1)的求解有許多較高精度的差分格式[1-4].本文中使用組合差商解法給出了一族求解問(wèn)題(1)的三層九點(diǎn)隱式差分格式，格式的截?cái)嗾`差可達(dá)Oτ2+h4，證明格式是絕對(duì)穩(wěn)定的，并用數(shù)值例子驗(yàn)證了格式的有效性.

1 差分近似

2 差分格式的建立

設(shè)時(shí)間步長(zhǎng)為k，空間步長(zhǎng)為h，取局部結(jié)點(diǎn)集為

xj-1，tn+1，xj，tn+1，xj+1，tn+1，xj-1，tn，xj，tn，xj+1，tn，xj-1，tn-1，xj，tn-1，xj+1，tn-1，

(2)

將9個(gè)節(jié)點(diǎn)上u的值在節(jié)點(diǎn)jh，nτ處作Taylor展開，并使用(2)式進(jìn)行整理，可導(dǎo)出各差商的近似表達(dá)式：

用上述差商建立含參數(shù)的差分方程

(3)

(4)

(5)

為了使式(5)的截?cái)嗾`差達(dá)到Oτ2+h4，須滿足下列方程組

(6)

在方程組(6)中，令c5=θ，可解得：

代入(3)得到一族三層九點(diǎn)隱式差分格式

(7)

3 穩(wěn)定性分析

為證穩(wěn)定性，先給出引理.

引理[5]實(shí)系數(shù)二次方程αx2+βx+γ=0(α>0)的兩個(gè)根位于單位圓內(nèi)或圓上，且一個(gè)根嚴(yán)格地在單位圓內(nèi)的充要條件是

(8)

差分格式(7)是一個(gè)三層格式，為了討論其穩(wěn)定性，首先將其化成與之等價(jià)的二層差分方程組[6]

(9)

令W=u，vT，那么可以把方程組寫成向量形式

(10)

G的特征方程是αλ2+βλ+γ=0，易得

以上3個(gè)不等式對(duì)任意0≤θ≤1.5，r>0均成立，故G的特征值按模都小于或等于1，且有一個(gè)嚴(yán)格地小于1，故當(dāng)0≤θ≤1.5時(shí)差分格式(7)絕對(duì)穩(wěn)定.

特別地，θ=1時(shí)，格式(7)成為

(11)

即文獻(xiàn)[7]中的格式(13)，格式的截?cái)嗾`差為Oτ2+h4，格式(11)絕對(duì)穩(wěn)定.

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

用一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)驗(yàn)證差分格式(7)的穩(wěn)定性條件.對(duì)初邊值問(wèn)題

(12)

表1 r=0.5時(shí)差分格式(7)的數(shù)值解與精確解的絕對(duì)誤差

表2 r=1時(shí)差分格式(7)的數(shù)值解與精確解的絕對(duì)誤差

表3 r=2時(shí)差分格式(7)的數(shù)值解與精確解的絕對(duì)誤差

結(jié)果表明，提出的差分格式(7)是求解熱傳導(dǎo)方程問(wèn)題的一種有效的三層分格式.

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