n×n矩陣環(huán)的多項(xiàng)式恒等式

游松發(fā)，趙紅艷

(湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430062)

1 預(yù)備知識(shí)

引理1[1]對(duì)于任何交換環(huán)C，Mn(C)≤φφn{Y}(符號(hào)“≤φ”表示φn{Y}的恒等式都是Mn(C)的恒等式).

引理3[1]若φ是交換整環(huán)，則一定存在φ(ξ)(φξ)為φ[ξ]的分式域)的有限擴(kuò)域F，使泛矩陣Yk在Mn(F)中可化為對(duì)角矩陣.

引理3的證明由procesi引理可直接得到證明.

(1)

(2)

其中(2)式中yj的下標(biāo)j取模n后的值.

2 主要結(jié)果及證明

定理4(i)若f[ξ1，…，ξn+1]中，在ξi=ξj(i≠j)時(shí)有f[ξ1，…，ξn+1]=0，則pf[x，y1，…，yn]是Mn(C)的恒等式.

(ii)若f[ξ1，…，ξn+1]中，除開ξ1=ξn+1外，在ξi=ξj(i≠j)時(shí)有f[ξ1，…，ξn+1]=0，則pf[x，y1，…，yn]x-xpf[x，y1，…，yn]是Mn(C)的恒等式，但pf[x，y]不是Mn(C)的恒等式.

(iii)若f[ξ1，…，ξn+1]滿足(ii)，且f[ξ1，…，ξn，ξ1]關(guān)于ξi是對(duì)稱的，則qf[x，y1，…，yn]z-zqf[x，y1，…，yn]是Mn(C)的恒等式(也稱之為Mn(C)的中心恒等式)，但qf[x，y]不是Mn(C)的恒等式.

pf[X0，Ei1k1，Ei2k2，…，Einkn]=f[ξi1，…，ξin，ξkn]δk1i2δk2i3…δkn-1inEi1kn

(3)

其中δij=0(i≠j)，δii=1(i=j).

由于f滿足(i)的條件，又pf關(guān)于yi是線性的，因而對(duì)于對(duì)角矩陣X0和任意矩陣Yj，我們有

pf[X0，Y1，…，Yn]=0.

又由引理3，對(duì)于泛矩陣X，一定存在某代數(shù)擴(kuò)域F，使X在Mn(F)中可以對(duì)角化，因此，當(dāng)X，Y1，…，Yn是泛矩陣時(shí)，我們有

pf[X，Y1，…，Yn]=T-1pf[TXT-1，TY1T-1，…，TYnT-1]T=

T-1pf[X0，TY1T-1，…，TYnT-1]T=T-10T=0.

即pf[x，y1，…，yn]是φn{Y}的恒等式，再由引理1可知pf[x，y1，…，yn]是Mn(C)的恒等式.

pf[Y1，E12，E23，…，E(n-1)，n]=T-1f(ξ1，…，ξn，ξ1)E1nT≠0.

其中ξ1，…，ξn為泛矩陣Y1的n個(gè)不同的特征值(引理2)，這樣便證明了，若f[ξ]滿足(ii)的條件，則pf[x，y]不是Mn(C)的恒等式.

(iii)對(duì)于(1，2，…，n)的任何置換(i1，i2，…，in)，按(3)式一樣的計(jì)算，把每一種置換的pf計(jì)算出來(lái).y1，y2，…，yn若取樓梯Ei1i2，Ei2i3，…，Eini1，則pf[X0，Ei1i2，Ei2i3，…，Eini1]=f(ξi1，…，ξin，ξi1)Ei1i1，利用f[ξi1，…，ξin，ξi1]在ξi的對(duì)稱性，得到qf[X0，Ei1i2，Ei2i3，…，Eini1]=f[ξi1，ξi2，…，ξin，ξi1]E

(4)

其中X0為對(duì)角陣，E為單位陣.

而y1，y2，…，yn對(duì)于矩陣單位{Eiνkν}中的其他任何一種非樓梯取法均有pf[X0，Ei1k1，Ei2k2，…，Einkn]=0，從而qf[X0，Ei1k1，Ei2k2，…，Einkn]=0，其中Ei1k1，…，Einkn是非樓梯，即

qf[X0，Ei1k1，Ei2k2，…，Einkn]=f[ξi1，ξi2，…，ξin，ξi1]δk1i2δk2i3…δkn-1inE

(5)

由(5)式可知，qf[X0，Ei1k1，Ei2k2，…，Einkn]為0或純量陣，與任意矩陣是可換的，即?Z，qf[X0，Ei1k1，…，Einkn]Z-Zqf[X0，Ei1k1，…，Einkn]=0.考察多項(xiàng)式qf[x，y]z-zqf[x，y]，按(i)的證明過(guò)程，類似可證，對(duì)于對(duì)角矩陣X和任意矩陣Yi和Z，我們有qf[X，Y1，…，Yn]Z-Zqf[X，Y1，…，Yn]=0，按(i)同樣的理由，可知qf[x，y]z-zqf[x，y]是Mn(C)的恒等式.

qf[Y1，E12，E23，…，En-1，n]=T-1f[ξ1，ξ2，…，ξn，ξ1]ET≠0.

其中ξ1，…，ξn為泛矩陣Y1的n個(gè)不同的特征值，這樣便證明了f[ξ]若滿足(iii)的條件，則qf[x，y]不是Mn(C)的恒等式.

由于0?qf[x，y]∈Z(Mn(C))(Mn(C)的中心)，所以qf[x，y]是Mn(C)的中心多項(xiàng)式，它是比Formanek中心多項(xiàng)式更為廣泛的一類中心多項(xiàng)式[2]，因此，也稱qf[x，y]z-zqf[x，y]為Mn(C)的中心恒等式.

3 應(yīng)用

定理5qδ[x，y1，…，yn]不是Mn(C)的恒等式，若g(ξ1，…，ξn)關(guān)于ξi對(duì)稱，則qgδ[x，y1，…，yn]-g(x)qδ[x，y1，…，yn]是Mn(C)的恒等式.其中，對(duì)x=α∈Mn(C)，g(x)=g(a)=g(α1，…，αn)，αi是α的特征根.

定理5的證明一方面，δ(ξ)滿足定理4(iii)中f的條件，直接由定理4(iii)可知qδ[x，y1，…，yn]不是Mn(C)的恒等式.

另一方面，gδ也滿足定理4(iii)中f的條件，考察對(duì)角陣X0=∑ξiEii，y1，y2，…，yn，若取樓梯Ei1i2，Ei2i3，…，Eini1，由(4)式(把gδ看作f)，qgδ[X0，Ei1i2Ei2i3，…，Eini1]=g[ξ1，…，ξn]δ[ξ1，…，ξn，ξ1]E=g[ξ1，…，ξn]qδ[X0，Ei1i2，Ei2i3，…，Eini1].而y1，y2，…，yn對(duì)于矩陣單位{Eiνkν}中的其它任何一種非樓梯取法均有qgδ[X0，Ei1k1，Ei2k2，…，Einkn]=0，其中，Ei1k1，Ei2k2，…，Einkn是非樓梯.

仿照定理4，對(duì)任意矩陣Yi和泛對(duì)角矩陣X0，利用qgδ在yi的線性性，有

qgδ[X0，Y1，…，Yn]=g[ξ1，…，ξn]gδ[X0，Y1，…，Yn].

對(duì)泛矩陣X，則存在T，使TXT-1=X0，由于g(ξ1，…，ξn)關(guān)于X0的對(duì)角元ξi是對(duì)稱的，即g(ξ1，…，ξn)關(guān)于X的特征根是對(duì)稱的，因而可寫g(ξ1，…，ξn)=g(X)，我們有

0=qgδ[X0，T-1Y1T，…，T-1YnT]-g[ξ1，…，ξn]qδ[X0，T-1Y1T，…，T-1YnT]，

0=T-1(qgδ[X，Y1，…，Yn]-g(X)qδ[X，Y1，…，Yn])T，

因此，qgδ[X，Y1，…，Yn]-g(X)qδ[X，Y1，…，Yn]=0，即qgδ[x，y1，…，yn]-g(x)qδ[x，y1，…，yn]是Mn(C)的恒等式.

在定理5中，(i)若選擇g=σ0(ξ)=1，記qgδ=q0，我們有q0[x，y1，…，yn]=qδ[x，y1，…，yn]，可知q0[x，y1，…，yn]不是Mn(C)的恒等式.

(ii)若g=σ1(ξ)=ξ1+…+ξn，記qgδ=q1，有q1[x，y1，…，yn]=qgδ[x，y1，…，yn]=g(x)qδ[x，y1，…，yn]=Tr(x)qδ[x，y1，…，yn]，知q1[x，y1，…，yn]-Tr(x)qδ[x，y1，…，yn]是Mn(C)的一跡恒等式.

(iii)若g=σk(ξ)=∑ξi1ξi2…ξik，記qgδ=qk，有qk[x，y1，…，yn]=qgδ[x，y1，…，yn]=g(x)qδ[x，y1，…，yn]=σk(x)qδ[x，y1，…，yn]，知，qk[x，y1，…，yn]-σk(x)qδ[x，y1，…，yn]是Mn(C)的一恒等式.

由于函數(shù)(-1)kσk(X)是矩陣X的特征多項(xiàng)式的系數(shù)，據(jù)(i)、(ii)、(iii)及Mn(C)的Cayley-Hamilton定理[1]，有q0[x，y1，…，yn]xn-q1[x，y1，…，yn]xn-1+…+(-1)nqn[x，y1，…，yn]是Mn(C)的恒等式.

[1] Rowen L H.Polynomial identities in ring theory[M].New york:Academic Press，1980.

[2] Formanek.Central polynomials for matrix rings[J].J Algebra，1972(2):129-132.

[3] 游松發(fā)，鄭玉美，胡動(dòng)剛.歐拉圖與矩陣環(huán)的多項(xiàng)式恒等式[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展，2003，32(4)：425-428.

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[5] Szigeti J，Tuza Z，Revesz G.Eulerian polynomial identities on matrix rings[J].J Algebra，1993，161:90-101.