用函數(shù)視角證明不等式

● (衢州市第二中學(xué) 浙江衢州 324000)

用函數(shù)視角證明不等式

●舒金根(衢州市第二中學(xué) 浙江衢州 324000)

不等式證明是競(jìng)賽的熱點(diǎn)問(wèn)題之一,由于證明方法多、技巧性強(qiáng),因而也是競(jìng)賽的難點(diǎn)之一.用函數(shù)視角證明不等式是一種有效的方法.通過(guò)構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的性質(zhì)或與導(dǎo)數(shù)等其他知識(shí)相結(jié)合,能達(dá)到事半功倍的效果.

1 構(gòu)造函數(shù),結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)解題

(2010年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試試題)

因?yàn)?/p>

所以

其中k=m或k=n-m.因ai>0(1≤i≤n),故上式等號(hào)不能成立，即

于是

2 構(gòu)造函數(shù),結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)解題

例2設(shè)a,b,c>0,求證:a5+b5+c5≥5abc(b2-ac).

分析視a5+b5+c5-5abc(b2-ac)為b的函數(shù).

證明(1)當(dāng)b2≤ac時(shí),a5+b5+c5≥5abc(b2-ac)成立.

(2)當(dāng)b2>ac時(shí),設(shè)f(b)=a5+b5+c5-5abc(b2-ac),則

即

a5+b5+c5≥5abc(b2-ac).

3 構(gòu)造函數(shù),結(jié)合函數(shù)圖像的切(割)線解題

(第8屆香港奧林匹克競(jìng)賽試題)

即

相加,得

例4若ai(i=1,2,…,n,且n≥3)為滿足a1a2…an=1的正數(shù),求證:

分析設(shè)ai=exi(i=1,2,…,n),則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:

已知x1+x2+…+xn=0,求證:

結(jié)合上述分析,回歸到原問(wèn)題,即有如下證明方法.

當(dāng)x>1時(shí),f′(x)<0,當(dāng)00,故f(x)≤f(1),即

4 構(gòu)造函數(shù),結(jié)合微積分知識(shí)解題

(2009年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試試題)

圖1

圖2

從而

又當(dāng)n=1時(shí),得

綜上所述