新授課中進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的基本策略

● (仙居縣教研室 浙江仙居 317300)

新授課中進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的基本策略

●吳增生(仙居縣教研室 浙江仙居 317300)

在新授課中進(jìn)行合理有效的思想方法教學(xué)，是高效率課堂的基本要求，也是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教育促進(jìn)學(xué)生終身發(fā)展的有效策略.因此，研究如何合理有效地在新授課中進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)，促進(jìn)過(guò)程性、發(fā)展性課程目標(biāo)的達(dá)成，具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.

1 忽視與說(shuō)教——新授課中數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的兩大弊端

在教學(xué)實(shí)踐中，存在著2種極端的現(xiàn)象：一是只注重知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)而忽視在知識(shí)形成過(guò)程中數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)；二是用說(shuō)教的方法把數(shù)學(xué)思想方法“告知”學(xué)生，缺乏深刻的體驗(yàn)，只記住了名稱.

例如，在人教版實(shí)驗(yàn)教材七年級(jí)下冊(cè)第5.1節(jié)“相交線”的教學(xué)中，有教師直接先畫出一個(gè)60°的角讓學(xué)生測(cè)量.有的學(xué)生說(shuō)用量角器直接測(cè)量(基于一題多解)，有的學(xué)生采用反向延長(zhǎng)角的一邊的方法測(cè)量鄰補(bǔ)角(如圖1)，于是教師引入鄰補(bǔ)角的概念，接著教師與學(xué)生一起再反向延長(zhǎng)另一條邊，得到對(duì)頂角的概念，然后研究對(duì)頂角的性質(zhì)(如圖2).

圖1

圖2

這位教師認(rèn)為，本課的教學(xué)重點(diǎn)是鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角的概念及其性質(zhì)，因此直接從研究角的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系出發(fā)，更能突出重點(diǎn).

這是典型的忽視數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的課例.教材的安排是：從研究2條直線的位置關(guān)系出發(fā)，用剪刀作為相交線的典型模型，引導(dǎo)學(xué)生用角度刻畫2條相交直線的相對(duì)位置.由于2條直線相交，出現(xiàn)了4個(gè)小于平角的角，那么，用哪一個(gè)角來(lái)刻畫相交線的位置關(guān)系呢，這就需要研究形成的4個(gè)角的關(guān)系，由此自然合理地提出問題，得到鄰補(bǔ)角互補(bǔ)和對(duì)頂角相等這2個(gè)結(jié)論后，只要已知4個(gè)角中的任一個(gè)角，則其余3個(gè)角的大小就唯一確定，因此可以用其中的任一個(gè)角來(lái)刻畫2條相交直線的相對(duì)位置關(guān)系.在本內(nèi)容的教學(xué)中，有2種數(shù)學(xué)思想方法是必須讓學(xué)生體會(huì)的：一是化線為角的思想，這種思想不僅貫穿于本章(如垂線、平行線的研究)，而且在高中立體幾何中會(huì)進(jìn)一步深化到化面為線、化線為角的思想；二是用觀察測(cè)量的方法發(fā)現(xiàn)結(jié)論，提出猜想，用推理的方法說(shuō)明猜想成立并進(jìn)行論證.雖然本課學(xué)習(xí)的重點(diǎn)是鄰補(bǔ)角和對(duì)頂角的概念及其性質(zhì)，但在知識(shí)形成過(guò)程中上述2種數(shù)學(xué)思想方法對(duì)學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是非常重要的，忽視了這2種數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，課程發(fā)展性目標(biāo)的達(dá)成就要打折扣，數(shù)學(xué)教育促進(jìn)學(xué)生的終身發(fā)展、使學(xué)生變得更理性聰明這一核心教育價(jià)值就難以實(shí)現(xiàn).

在人教版實(shí)驗(yàn)教材八年級(jí)下冊(cè)第19章第1.1節(jié)“平行四邊形性質(zhì)(一)”的教學(xué)中，有教師為了突出數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，開展了如下的教學(xué)活動(dòng)：

(1)復(fù)習(xí)三角形的相關(guān)知識(shí)及研究方法.如三角形的概念及分類、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰(等邊)三角形的性質(zhì)和判定.通過(guò)復(fù)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出“下定義——研性質(zhì)——探判定”的幾何圖形研究基本程序.到這里，用了8分鐘時(shí)間.

(2)讓學(xué)生觀察生活中的四邊形，找到平行四邊形，回顧平行四邊形的概念，給出各類特殊的平行四邊形(矩形、菱形、正方形)，讓學(xué)生提出研究平行四邊形的基本程序，提出問題：研究平行四邊形的邊、角性質(zhì).

(3)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)測(cè)量提出猜想“平行四邊形對(duì)角相等、對(duì)邊相等”，引導(dǎo)學(xué)生用全等三角形的相關(guān)知識(shí)證明猜想.

(4)運(yùn)用性質(zhì)解決問題(教材例1)，并進(jìn)行鞏固性練習(xí).

(5)課堂小結(jié).總結(jié)平行四邊形的性質(zhì)、用全等三角形知識(shí)證明線段和角相等的方法、研究平行四邊形的基本步驟：下定義——研性質(zhì)——探判定.

這一課例是典型的說(shuō)教型數(shù)學(xué)思想方法教學(xué).教師先用大量時(shí)間復(fù)習(xí)三角形及全等三角形的性質(zhì)，在上課開始的8分多鐘時(shí)間撇開了本課的教學(xué)主題而過(guò)度復(fù)習(xí)三角形相關(guān)知識(shí)，會(huì)使教學(xué)偏離學(xué)習(xí)的主題.失去了目標(biāo)導(dǎo)向，會(huì)造成選擇性注意的偏向及轉(zhuǎn)換障礙，也會(huì)降低學(xué)生對(duì)核心研究對(duì)象——平行四邊形的專注程度，從而導(dǎo)致學(xué)習(xí)效率的下降.如果教師希望學(xué)生能從復(fù)習(xí)中把研究三角形的方法遷移到研究平行四邊形的過(guò)程中，那么只要一個(gè)基本圖形特征研究的樣例就可以了，而且重點(diǎn)是要關(guān)注研究的步驟和方法，而非具體的性質(zhì)或判定等相關(guān)知識(shí).另外，平行四邊形性質(zhì)證明思路的分析中，沒有讓學(xué)生自主思考怎樣證明對(duì)邊相等，體驗(yàn)為什么要連接對(duì)角線，這樣核心研究活動(dòng)的數(shù)學(xué)思想方法學(xué)生沒有得到充分體驗(yàn)，導(dǎo)致學(xué)生記住了平行四邊形的研究步驟，但難以自然合理地提出問題、把平行四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題，學(xué)生只記住了“數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想”的名稱.

2 新授課中的數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)應(yīng)重在滲透和感悟

(1)數(shù)學(xué)思想方法學(xué)習(xí)的基本特點(diǎn).數(shù)學(xué)思想方法是融合在數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中的，是附著在具體學(xué)習(xí)內(nèi)容上的.離開數(shù)學(xué)知識(shí)及其形成過(guò)程談數(shù)學(xué)思想方法，就會(huì)變得空洞和抽象，學(xué)生就難以真正理解和習(xí)得.數(shù)學(xué)思想是在數(shù)學(xué)活動(dòng)中體現(xiàn)出來(lái)的思考問題的觀念和方式，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體體現(xiàn)形式.數(shù)學(xué)思想方法是一種程序性知識(shí)，這種經(jīng)驗(yàn)的獲得與陳述性知識(shí)的學(xué)習(xí)有不同的心理規(guī)律，就像學(xué)習(xí)游泳一樣，光說(shuō)教不實(shí)踐是學(xué)不會(huì)的.數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)需要經(jīng)過(guò)體驗(yàn)、明朗化和自覺運(yùn)用這3個(gè)基本階段.在體驗(yàn)階段，通過(guò)模仿和在自然合理地思考過(guò)程中的自發(fā)運(yùn)用，獲得運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法思考和解決問題的過(guò)程體驗(yàn)，在這個(gè)階段，會(huì)初步試著做，但說(shuō)不清這樣做的道理.例如，在方程思想的初學(xué)階段，學(xué)生會(huì)模仿例題尋找等量關(guān)系，列出簡(jiǎn)單的方程解決具體簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，但往往說(shuō)不清楚怎樣找到等量關(guān)系和列出方程，也說(shuō)不出方程建模的思想實(shí)質(zhì)，這就是方程思想學(xué)習(xí)的第一階段——體驗(yàn)階段.通過(guò)不斷地實(shí)踐和體驗(yàn)，學(xué)生積累了充分的列方程解決問題的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，在此基礎(chǔ)上，學(xué)生逐步明白建立方程模型的基本方法，理解方程建模的基本思想是通過(guò)設(shè)未知數(shù)、列方程把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解方程問題，通過(guò)解方程并解釋解的實(shí)際意義來(lái)間接地獲得實(shí)際問題的解，學(xué)生會(huì)用自己的語(yǔ)言清晰地說(shuō)出方程思想的基本內(nèi)涵，這就是數(shù)學(xué)思想方法學(xué)習(xí)的第二階段——明朗化階段.進(jìn)一步，通過(guò)適當(dāng)?shù)姆匠探Ｓ?xùn)練，使方程思想轉(zhuǎn)換為個(gè)人思考問題的習(xí)慣，在解決問題的過(guò)程中能自覺地運(yùn)用方程思想從若干等量關(guān)系中間接地獲得特定的量，并建立起函數(shù)、方程、不等式等相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系，會(huì)把方程建模的思想方法遷移到函數(shù)和不等式的建?；顒?dòng)中,這就是數(shù)學(xué)思想方法的第三階段——自覺運(yùn)用階段.

在新授課中重點(diǎn)經(jīng)歷數(shù)學(xué)思想方法的體驗(yàn)過(guò)程和初步感悟過(guò)程，感悟是初步的明朗化，要求學(xué)生通過(guò)總結(jié)自己的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，得出具體數(shù)學(xué)思想方法的操作步驟和操作要點(diǎn)，并初步理解具體思想方法的產(chǎn)生背景及使用范圍；在基礎(chǔ)復(fù)習(xí)中重點(diǎn)經(jīng)歷初步的明朗化過(guò)程，積累適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)思想方法應(yīng)用的直接經(jīng)驗(yàn)；在專題復(fù)習(xí)中重點(diǎn)經(jīng)歷明朗化和專項(xiàng)應(yīng)用訓(xùn)練過(guò)程；在解題指導(dǎo)中重點(diǎn)經(jīng)歷數(shù)學(xué)思想方法的綜合自如運(yùn)用和相互聯(lián)系過(guò)程.當(dāng)然，在不同的學(xué)習(xí)階段，數(shù)學(xué)思想方法學(xué)習(xí)到什么程度，要視學(xué)生的學(xué)情而定，對(duì)不同的學(xué)生有不同的要求：學(xué)業(yè)水平高的學(xué)生，可以學(xué)習(xí)到較高的程度，讓學(xué)生在體驗(yàn)的基礎(chǔ)上去感悟，進(jìn)行初步的明朗化和應(yīng)用；學(xué)業(yè)有困難的學(xué)生則應(yīng)該降低數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)程度，以初步感受體驗(yàn)為主.

(2)數(shù)學(xué)思想方法是在解決問題過(guò)程中形成的連接起點(diǎn)和目標(biāo)的路徑選擇方法，它首先需要目標(biāo)導(dǎo)向，沒有目標(biāo)，就談不上連接起點(diǎn)和目標(biāo)的路徑規(guī)劃.例如，在“平行四邊形性質(zhì)”的學(xué)習(xí)中，起點(diǎn)是“平行四邊形”，目標(biāo)是“平行四邊形的性質(zhì)”，連接起點(diǎn)和目標(biāo)有2條路徑：一條是觀察測(cè)量實(shí)驗(yàn)途徑，另一條是推理論證途徑.為了研究平行四邊形性質(zhì)，首先需要對(duì)起點(diǎn)和目標(biāo)狀態(tài)用數(shù)量關(guān)系和空間形式進(jìn)行適當(dāng)?shù)谋硎荆喝绨哑叫兴倪呅斡眠叺奈恢藐P(guān)系表示成“兩組對(duì)邊分別平行的四邊形”，把平行四邊形性質(zhì)具體化為“平行四邊形對(duì)邊的數(shù)量關(guān)系和角的數(shù)量關(guān)系”.在此基礎(chǔ)上采用觀察測(cè)量實(shí)驗(yàn)途徑規(guī)劃測(cè)量的對(duì)象和方法：如測(cè)量邊的長(zhǎng)度和角的大小，并形成猜想：平行四邊形對(duì)邊相等、對(duì)角相等.進(jìn)一步，規(guī)劃推理論證路徑：證明猜想.利用全等三角形的性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形并證明對(duì)邊相等和對(duì)角相等；也可以分別規(guī)劃邊和角的證明路徑，采用平行線的性質(zhì)證明角的關(guān)系.在這一過(guò)程中，所有的思想方法都是建立在“起點(diǎn)—目標(biāo)”分析的基礎(chǔ)上，不論是尋找證明思路的“順推法”、“逆推法”、“兩頭湊法”，還是連接對(duì)角線、把四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題的轉(zhuǎn)化方法，都是以建立起點(diǎn)與目標(biāo)的邏輯聯(lián)系為核心，根據(jù)圖形結(jié)構(gòu)特點(diǎn)開展的路徑規(guī)劃.如果離開起點(diǎn)、目標(biāo)分析，便沒有了目標(biāo)導(dǎo)向，那么這些數(shù)學(xué)思想方法就成為“無(wú)源之水，無(wú)根之木”.

在平行四邊形性質(zhì)的研究中，首先應(yīng)該通過(guò)創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)那榫?，引?dǎo)學(xué)生把注意力聚焦到平行四邊形這類特殊的四邊形上，引導(dǎo)學(xué)生思考：對(duì)于這類圖形應(yīng)該研究什么，怎樣研究？在學(xué)生保持這些主題目標(biāo)的前提下，引導(dǎo)學(xué)生回顧先前是怎樣研究圖形性質(zhì)的，比如，可以以等腰三角形或平行線為例，從中獲得研究圖形的基本步驟：下定義——研性質(zhì)——探判定，并應(yīng)用這些步驟提出平行四邊形的研究步驟，再把學(xué)習(xí)的主題任務(wù)限定在平行四邊形性質(zhì)的研究上.接著，引導(dǎo)學(xué)生思考：平行四邊形可能有什么性質(zhì)？平行四邊形的構(gòu)成要素是邊和角，相關(guān)要素是對(duì)角線，先研究邊和角的性質(zhì).要研究圖形性質(zhì)，首先要畫出圖形，分析圖形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，通過(guò)平行線聯(lián)系平行四邊形的內(nèi)角得到對(duì)角相等的結(jié)論.其次可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察和測(cè)量，從中發(fā)現(xiàn)平行四邊形的對(duì)邊相等，在學(xué)生提出這一猜想后，引導(dǎo)學(xué)生用推理的方法證明猜想，而在分析證明思路時(shí)，應(yīng)該以規(guī)劃證明思路為重點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生用“逆推法”尋找證明的思路.在完成證明后，讓學(xué)生對(duì)證明過(guò)程及圖形特征的分析方法進(jìn)行評(píng)價(jià)和總結(jié)，從而體驗(yàn)圖形研究的基本步驟：下定義——研性質(zhì)——探判定；圖形結(jié)構(gòu)分析的基本方法——從當(dāng)前圖形中分離出熟悉的圖形，再重新組合發(fā)現(xiàn)圖形的特征；尋找證明思路的基本方法——順推法、逆推法和兩頭湊法；證明過(guò)程的轉(zhuǎn)化思想，通過(guò)連接對(duì)角線，把四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題.在平行四邊形性質(zhì)的探究和證明過(guò)程中，要始終保持學(xué)習(xí)的起點(diǎn)和目標(biāo)，并根據(jù)需要對(duì)目標(biāo)和任務(wù)進(jìn)行不斷的轉(zhuǎn)換，最終形成解決問題的思路，并通過(guò)反思和總結(jié)固化重要的數(shù)學(xué)思想方法——通過(guò)構(gòu)造全等三角形，化陌生為熟悉；通過(guò)起點(diǎn)、目標(biāo)分析，規(guī)劃解決問題的思路.

(3)新授課中的數(shù)學(xué)思想方法學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)是滲透，關(guān)鍵是感悟.在新授課教學(xué)中，顯性的學(xué)習(xí)對(duì)象是具體的知識(shí)內(nèi)容，基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的學(xué)習(xí)是重要和顯性的學(xué)習(xí)任務(wù)，因此教學(xué)設(shè)計(jì)中應(yīng)該以知識(shí)技能的學(xué)習(xí)為顯性的學(xué)習(xí)線索.數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)融合在具體知識(shí)形成和應(yīng)用的活動(dòng)過(guò)程中，因此數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)應(yīng)該是在知識(shí)形成和應(yīng)用過(guò)程中滲透而非告知，讓學(xué)生充分地經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成、應(yīng)用和發(fā)展過(guò)程，讓學(xué)生在不知不覺中使用具體的思想方法進(jìn)行自然合理的數(shù)學(xué)思考，感受具體數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用價(jià)值和使用方法.在知識(shí)形成或解決問題后，讓學(xué)生再回顧自己的思考和操作過(guò)程，體會(huì)思考過(guò)程，通過(guò)交流，形成對(duì)具體數(shù)學(xué)思想方法的初步理解，這就是感悟過(guò)程.通過(guò)感悟，可以固化重要的數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用步驟和思考觀念，為進(jìn)一步明朗化打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).例如，相交線教學(xué)中“化線為角”的思想和“推理論證”的思想是2個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想方法.在教學(xué)過(guò)程中，先給出生活中不同的直線位置關(guān)系的現(xiàn)實(shí)情境，讓學(xué)生感受研究2條直線位置關(guān)系的必要性，然后通過(guò)讓學(xué)生在同一張紙上任意畫2條直線，引導(dǎo)學(xué)生思考：延長(zhǎng)后會(huì)怎樣，有哪些情況？從而得到平面上2條直線的2種位置關(guān)系：相交或平行，并指出本節(jié)課著重學(xué)習(xí)相交線.接著，以剪刀為相交線動(dòng)態(tài)模型，讓學(xué)生觀察直線相交的特點(diǎn)：有一個(gè)公共點(diǎn)(交點(diǎn))，開口有大有小，開口大小決定了2條直線的位置關(guān)系.進(jìn)一步提出問題：怎樣描述開口的大小？很自然地可以想到用角的大小來(lái)表示.接著讓學(xué)生觀察：2條直線相交，構(gòu)成了幾個(gè)小于平角的角(4個(gè))，如果用角的大小表示2條直線相交的開口大小，用哪一個(gè)角？于是，就需要研究這4個(gè)角之間的關(guān)系.再接下來(lái)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)這4個(gè)角的位置關(guān)系的觀察，引出鄰補(bǔ)角和對(duì)頂角關(guān)系，并進(jìn)一步研究其大小關(guān)系，利用“等角的補(bǔ)角相等”推導(dǎo)對(duì)頂角的性質(zhì)，并進(jìn)一步得到：2條直線相交成的4個(gè)角中只要1個(gè)角大小確定，則其余3個(gè)角的大小也唯一確定，因此，可以用其中的任何一個(gè)角來(lái)刻畫2條直線的相對(duì)位置.在完成性質(zhì)探究、說(shuō)理和應(yīng)用后，引導(dǎo)學(xué)生回顧學(xué)習(xí)的進(jìn)程，體會(huì)怎樣從線想到角、怎樣想到要研究鄰補(bǔ)角和對(duì)頂角、怎樣發(fā)現(xiàn)鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角之間的關(guān)系、怎樣用推理的方法推導(dǎo)出對(duì)頂角性質(zhì)并讓人信服.盡管學(xué)生可能說(shuō)得不太清楚，但只要有認(rèn)識(shí)，就是成功，這就是對(duì)“化線為角”和“推理論證”思想的感悟.

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