關(guān)于過程能力指數(shù)和不合格品率之間的關(guān)系研究

陶靖軒

（中國計量學(xué)院 經(jīng)濟與管理學(xué)院，浙江 杭州310018）

長期以來，工業(yè)生產(chǎn)過程的過程能力指數(shù)與產(chǎn)品不合格品率之間的關(guān)系研究是質(zhì)量專業(yè)學(xué)術(shù)界和實際工作者關(guān)注的一個熱點，人們熱衷于尋找一個確定的模型用過程能力指數(shù)準(zhǔn)確地?fù)Q算產(chǎn)品不合格品率，但是很快就發(fā)現(xiàn)單靠一個過程能力指數(shù)（CP或CPK）很難表達出過程產(chǎn)品的不合格品率［1］；而給定某個過程產(chǎn)品的不合格品率也不能唯一確定過程能力指數(shù).比如：針對過程分布中心和標(biāo)準(zhǔn)中心（規(guī)范中心）重合時的情況以及分布中心與標(biāo)準(zhǔn)中心不重合時的情況推導(dǎo)的相關(guān)數(shù)學(xué)模型：

其中，TU、TL分別表示某產(chǎn)品規(guī)定的單一質(zhì)量特性值上、下容差限，Cp表示中心重合算出的程能力指，k代表偏移系2ε／T（里T 指容差限度），p指某過程產(chǎn)品的不合格品率.

然而在生產(chǎn)過程中過程中心常常發(fā)生偏移，以上所說CP僅僅是一個理想化的過程能力指數(shù)（又稱潛在的過程能力指數(shù)），當(dāng)過程已經(jīng)發(fā)生偏移時，利用偏移后的過程能力指數(shù)能否確定過程的產(chǎn)品不合格品率？兩個生產(chǎn)過程產(chǎn)生了相同的不合格品率是否說明他們有相同的過程能力？這兩個概念之間究竟是什么關(guān)系？本文對此進行討論，就教于同行專家.以下首先從過程能力的基本概念說起.

1 過程能力的概念

過程能力人們常常稱作工序能力，也有作者說［1］是因為近年將服務(wù)業(yè)質(zhì)量管理引入質(zhì)量管理，故改稱過程能力.它被定義為過程滿足客戶期望的能力，過程能很好滿足客戶要求，就認(rèn)為過程有能力；反之就說過程能力不足.仔細(xì)地說是指過程加工質(zhì)量方面的能力，它是衡量過程加工一致性的準(zhǔn)繩，是穩(wěn)態(tài)下的最小波動［3］.

當(dāng)過程處于穩(wěn)態(tài)時——也即處于受控狀態(tài)，這時我們認(rèn)為過程一般只受隨機因素影響，而隨機因素一般可以認(rèn)為是相互獨立的，他們的合成也具有隨機性的性質(zhì)，考慮到極限定理的約束作用，質(zhì)量特性值的波動常常按正態(tài)分布處理.1951年美國統(tǒng)計學(xué)家費根堡姆（Feigenbaum）和朱蘭（Juran）給出了過程能力的量化定義：即用6倍過程標(biāo)準(zhǔn)差描述過程內(nèi)在的波動——用6西格瑪作為過程能力的測度.在正態(tài)分布前提下，Kane（1989）、Montgomerg （1991）、Wheeler And Chambers（1992）、Wheeler（1998）給出了更一般的定義，即處于統(tǒng)計控制狀態(tài)下（統(tǒng)計穩(wěn)態(tài)）的過程覆蓋過程分布中心99.73%的寬度.

以上定義可以說主要表達了過程的“聲音”（Voice of process），并沒有將過程能力與過程加工產(chǎn)品的規(guī)范（規(guī)格—也即客戶期望）直接聯(lián)系起來，而產(chǎn)品的不合格品率p是與以規(guī)格為標(biāo)準(zhǔn)的量化指標(biāo)，所以它也無法與過程能力建立量化的關(guān)系模型.

當(dāng)然這并不能說，過程能力B＝6西格瑪與不合格品率p沒有關(guān)系，從理論和實踐兩方面分析，B＝6西格瑪越小，過程質(zhì)量能力越強，由此過程生產(chǎn)的產(chǎn)品不合格品率應(yīng)該越低.

早在1991年，Carr就提出將期望不合格率（不合格品率之比——作者注）作為過程能力指數(shù)，用觀測值來估計.Yeh Bhattacharya提出了兩個新過程能力指數(shù)，一個是用期望的不合格品率與實際的不合格品率（不合格品率觀測值）的比值p0／.另一個過程能力指數(shù)是：

其中，上標(biāo)L、U分別表示X 是小于LSL（的不合格品率），還是大于USL（的不合格品率）.但這兩個過程能力指數(shù)只不過是從不合格品率符合程度的角度觀察過程能力，與本文所述過程能力不是一個概念.

2 過程能力指數(shù)

朱蘭（Juran）1961年用過程波動B與規(guī)格長度T來決定是否改進過程，從而使過程的波動B和規(guī)格極限（規(guī)范限，也即加工產(chǎn)品質(zhì)量特性值合格與否的標(biāo)準(zhǔn)）緊密聯(lián)系起來，從而使B與產(chǎn)品的不合格品率p建立了某種聯(lián)系.重大的突破是1974年，Juran提出了過程能力比這一過程波動與過程規(guī)范（規(guī)格）相比的標(biāo)準(zhǔn).從此之后，各種關(guān)于過程能力的研究全面展開，尤其是近20年間美國、日本、中國、英國等國家至少發(fā)表了500多篇相關(guān)的學(xué)術(shù)論文，一大批學(xué)者修改了過程能力假設(shè)的前提，向非正態(tài)、非對稱公差、多元化等方向發(fā)展.但是，這些研究不論做了多少改進，其基本的研究模式并未脫離能力比這一框架.

傳統(tǒng)的過程能力指數(shù)計算要求滿足四個基本條件：（1）過程處于穩(wěn)態(tài)，沒有異常因素出現(xiàn)，也沒有發(fā)生漂移和震蕩.因此對于需要評價的對象過程，應(yīng)首先判斷是否處于穩(wěn)態(tài)，只有穩(wěn)態(tài)才能計算過程能力指數(shù)；（2）過程觀測的產(chǎn)品質(zhì)量特性值服從正態(tài)分布（本文不涉及非正態(tài)分布情形）；（3）樣本具有代表性而且相互獨立；（4）規(guī)范限能夠準(zhǔn)確地反映顧客要求.在此前提之下，最早（Kane 1986）提出的過程能力指數(shù)是：

（4）式（5）式稱為單側(cè)過程能力指數(shù)，綜合（4）、（5）人們規(guī)定了CPK即第二代過程能力指數(shù)：

從式（1）人們可以在中心重合的理想條件下由過程能力指數(shù)CP唯一確定過程產(chǎn)品的不合格品率，而利用（6）的派生公式則有：

由此可得：

但是公式（8）并不是CPK與p的直接對應(yīng)關(guān)系；換言之，給定CPK不可能唯一確定過程產(chǎn)品的不合格品率（詳細(xì)的論述請參看文獻［5］）；他們的具體關(guān)系是利用CPK推斷出了過程產(chǎn)品的不合格品率p的一個上界（詳細(xì)推導(dǎo)請參看文獻［7］）.

（9）式說明CPK提供了過程產(chǎn)品的不合格品率的一個上界，所以CPK（實際的過程能力指數(shù)）與CP相比更能反映實際的質(zhì)量能力水平.而且由此我們知道了較強的過程能力（CP或CPK較大），不合格品率p至多不會超過上界2φ（-3CPK）.也就是說好的過程能力必將導(dǎo)致產(chǎn)品的合格品率1-p較高；而較高的產(chǎn)品合格品率1-p是好的過程能力的一個必要條件——或者說沒有較高的合格品率1-p，就不可能會有較高的過程能力.

3 過程產(chǎn)品的不合格品率與過程能力指數(shù)的關(guān)系

現(xiàn)在我們提出另一個問題，過程產(chǎn)品的合格品率1-P較高，是否意味著一定是較好的過程能力呢？以下我們從兩個方面進行討論：

現(xiàn)在我們將A廠和B廠的產(chǎn)品進行比較，盡管A廠和B廠的產(chǎn)品都滿足公差要求，甚至B廠產(chǎn)品的不合格品率比A廠還要小，但從質(zhì)量水平來看，A廠卻優(yōu)于B廠，一個內(nèi)行（專業(yè)）的采購人員如果想購買一批產(chǎn)品（而不是一個產(chǎn)品），一定會購買A廠的產(chǎn)品，因為A廠產(chǎn)品質(zhì)量特性值小誤差的比例比B廠高.其原因在于A，B兩廠產(chǎn)品質(zhì)量特性值分布性質(zhì)有本質(zhì)不同，A廠產(chǎn)品測量值近似服從正態(tài)分布，因此有更大比率產(chǎn)品接近理想目標(biāo)值m0，在使用過程中其損失較小，也就是說有更高的質(zhì)量水平，其生產(chǎn)過程有更強的工序能力.

2）在質(zhì)量特性值為屬性總體（比如只考慮產(chǎn)品是否合格品或不合格品）的離散情況下，如果我們研究總體的過程不合格品率P，假設(shè)也是對比兩家工廠的產(chǎn)品，當(dāng)其不合格品率相同情況下，能否說明他們有相同的過程能力（指數(shù)）呢？不能.因為這還應(yīng)該看兩個樣本的大小——即樣本量.單純看不合格品率P1＝P2＝P是不能說明問題的，因為樣本量如果不同（n1≠n2），那么兩個樣本的不合格品率p1、p2的抽樣誤差是不相同的：

我們看到，樣本量越大抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤差就越小，這一不合格品率P就越穩(wěn)定，過程能力就越強.

我們可以用下面的例子進一步說明這個問題：要比較兩個優(yōu)秀射手的能力水平問題，如果他們的命中率都是100%，而其中一個人是只射擊一槍而碰巧命中，而另一個人是連續(xù)打了100槍，槍槍命中.顯然，我們判斷后者的命中水平應(yīng)該更高一些，主要原因在于后者的射擊水平發(fā)揮比較穩(wěn)定，其擊中能力是久經(jīng)考驗的.從統(tǒng)計學(xué)的角度看就是后者命中率的抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤差更小.

4 結(jié) 語

綜上所述，過程能力指數(shù)與過程生產(chǎn)的產(chǎn)品不合格品率是兩個有密切聯(lián)系同時又有本質(zhì)不同的概念，過程能力指數(shù)是穩(wěn)態(tài)情況下過程波動大小的相對測度，而不合格品率是將產(chǎn)品總體看作屬性總體時不合格品數(shù)的結(jié)構(gòu)（比重）相對數(shù)指標(biāo)；通常用來表示符合性質(zhì)量水平.它們都與性能指標(biāo)的規(guī)范限發(fā)生聯(lián)系，從不同的角度、不同的層面描述了過程的質(zhì)量水平：好的過程能力（質(zhì)量能力）可以保正產(chǎn)品的不合格品率限制在某一水平之下，也就是說好的不合格品率是良好的過程能力的必要條件，如果沒有好的產(chǎn)品不合格品率，就不可能有較高的過程能力.

另一方面，僅僅能保證產(chǎn)品的不合格品率并不是過程能力好的充分條件；產(chǎn)品合格與否只不過是其質(zhì)量特性值是否符合起碼的規(guī)范限，而僅僅符合起碼的規(guī)范限只是一個較低的要求，并不是說過程產(chǎn)品都達到了優(yōu)質(zhì)品的要求，不足以說明生產(chǎn)過程一定有好的過程（質(zhì)量）能力.要提高產(chǎn)品的質(zhì)量水平，不僅要盡最大努力降低產(chǎn)品的不合格品率，而且更需要查找分析波動產(chǎn)生的原因，采取措施加以消除，納入標(biāo)準(zhǔn)，真正提高過程能力.

［1］王斌會，胡志萍，過程能力指數(shù)與不合格品綠的關(guān)系模型［J］.數(shù)理統(tǒng)計與管理，2007（1）：57-61.

［2］陶靖軒，劉春雨，張月義，等.六西格瑪管理簡明教程［M］.北京：中國計量出版社，2005：72-75.

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［5］陶靖軒，陳意華，宋明順，等.關(guān)于過程能力分析的若干思考［J］.科技通報，2006（3）：34-37.

［6］SON S，KENT T，ZACKS S.現(xiàn)代工業(yè)統(tǒng)計：質(zhì)量與可靠性的設(shè)計及控制［M］.北京：中國統(tǒng)計出版社，2002：378-380.

［7］陶靖軒，度量工業(yè)過程能力的重要指標(biāo)CPK［J］.中國計量學(xué)院學(xué)報，2010（3）：63-69.