關(guān)于k-折對稱點(diǎn)的近于凸函數(shù)和擬凸函數(shù)子類的鄰域

劉名生，黃蕥媛

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣東廣州 510631)

關(guān)于k-折對稱點(diǎn)的近于凸函數(shù)和擬凸函數(shù)子類的鄰域

劉名生*，黃蕥媛

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣東廣州 510631)

單葉函數(shù); 近于凸函數(shù); 擬凸函數(shù); Hadamard 乘積;k-折對稱點(diǎn);δ-鄰域

假定k,n≥1 是2個取定的正整數(shù)，-1≤B

和

其中fg表示函數(shù)f從屬于g，fk(z)由下式定義:

(ε= exp (2i/k),εk=1),

這里

(1)

根據(jù)引理 1, 可得

注意到g(0)=G(0)=0,和

所以

對z=r證明我們的估計是充分的,否則可以考慮fk的一個旋轉(zhuǎn). 此時有

(2)

如果B≠0,在式(2)兩邊積分, 可得

引理4 假定 -1≤B

(3)

(4)

根據(jù)ψθ的定義和Hadamard乘積的性質(zhì)可得

(5)

(6)

其中ψθ(z)由式(3)定義.

(7)

δk,n(1-|z|)>0.

(8)

直接計算可得

注2 在定理 1和推論1中令k=1 和n=1, 可得文獻(xiàn)[2]的相應(yīng)結(jié)果.

對于B≤0，δk,n的值是最好的可能.

根據(jù)定理 1 的證明, 有

于是可得

現(xiàn)在根據(jù)ψθ的定義或者式(5),應(yīng)用最小值原理可得

根據(jù)引理 3, 可得

(9)

取定 0

根據(jù)引理 4知,f*ψθ是單葉的，所以從0到(f*ψθ)(z0)的線段的原像L是 |z|≤r內(nèi)的一條弧. 從而可得，對于 |z|≤r，有

|(f*ψθ)(z)|≥|(f*ψθ)(z0)|=

由式(9)可得

令

和

(0

顯然有v′(r)<0 (00 或者B<0時，有

(10)

這樣式(11)的右邊確定δk,n.

為了證明δk,n是最好的可能, 可考慮

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Keywords： univalent function; close-to-convex function; quasi-convex function; Hadamard product;k-symmetric points;δ-neighborhood

OntheNeighborhoodsofCertainSubclassesofClose-to-ConvexandQuasi-ConvexFunctionswithRespecttok-SymmetricPoints

LIU Mingsheng*, HUANG Yayuan

(School of Mathematics, South China Normal University, Guangzhou 510631, China)

2011-02-21

教育部高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金項(xiàng)目(20050574002)

*通訊作者，liumsh@scnu.edu.cn

1000-5463(2012)01-0014-05

O174.51

A

【責(zé)任編輯 莊曉瓊】