一類帶有兩個(gè)參數(shù)變號(hào)四階多點(diǎn)邊值問題的正解

李 東, 方海文, 方秀男, 楊文泉, 康趙敏, 趙 宇

(佳木斯大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 黑龍江 佳木斯 154007)

一類帶有兩個(gè)參數(shù)變號(hào)四階多點(diǎn)邊值問題的正解

李 東, 方海文, 方秀男, 楊文泉, 康趙敏, 趙 宇

(佳木斯大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系, 黑龍江 佳木斯 154007)

應(yīng)用拓?fù)涠壤碚摷跋陆獾姆椒? 討論了以下帶有兩個(gè)參數(shù)的四階多點(diǎn)邊值問題

u(4)(t)+βu′′(t)-αu(t)=μh(t)f(t,u(t),u′′(t)), 0lt;tlt;1,

拓?fù)涠壤碚? 下解; 正解; 變號(hào); 參數(shù); 多點(diǎn)

0 引言

近年來,許多作者應(yīng)用Leray-Schauder不動(dòng)點(diǎn)理論,迭合度理論等方法研究了四階邊值問題解的存在性[1-4].在文[1]中,Li研究了下列四階兩點(diǎn)邊值問題的正解存在性

其中f(t,u):[0,1]×[0,∞)→[0,∞)是連續(xù)的.

受文[5]啟發(fā),在本文中,我們考慮以下四階多點(diǎn)邊值問題:

(1)

(H1)f(t,u,u′′):[0,1]×R2→R是連續(xù)的;

1 相關(guān)引理

引理1 假設(shè)條件(H2)成立,且φj,φj分別是以下線性問題

(2)

和

(3)

和

令

由Liouville公式,我們記

(4)

且

(5)

(6)

有唯一解

(7)

其中

(8)

(9)

且

(10)

(11)

其中Gj(t,s)如(8)式所示.易知,如果Aj(y),Bj(y)分別表示成(9)式,(10)式,則方程(6)的解可表示成(11)式.下面我們將證明Aj(y),Bj(y)分別如(9)式,(10)式所示.(8)式代入(11)式,我們有

(12)

則,

(13)

那么由(12)及(13)式,可得

由于

(14)

(15)

那么由(2),(3)及(14)式

(16)

由(2),(3)及(15)式

(17)

那么由(16)及(17),通過常規(guī)計(jì)算可知

且

引理得證.

(18)

其中

(19)

(20)

證由常規(guī)計(jì)算可完成引理3的證明,這里略去.

那么由(18)式,可知

(21)

易知如下引理

引理5 問題(1)至少存在一個(gè)正解當(dāng)且僅當(dāng)以下問題至少存在一個(gè)正解

(22)

證事實(shí)上,由(18)式,如果u是問題(1)的一個(gè)解,那么,v=-u′′+λ1u是問題(22)的一個(gè)解.另外,若v是問題(22)的一個(gè)解,令u=Sv,由(18)式,我們有-u′′+λ1u=-(Sv)′′+λ1(Sv)=v.那么,u=Sv是問題(1)的一個(gè)解.證畢.

令g(t,Sv,v)=f(t,Sv,λ1(Sv)-v),則問題(22)等價(jià)于以下問題

(23)

引理6[5]假設(shè)T:X→X是全連續(xù)的.定義算子A:TX→X如下

其中ω∈C[0,1],ω≥0,是給定的函數(shù).那么A°T→P也是全連續(xù)的.

2 主要結(jié)果

為方便起見,令

(24)

則邊值問題(23)至少存在一個(gè)正解v*(t)滿足

證令

(25)

定義算子T:P→X如下

(26)

類似引文[6]中的引理2.1的證明,易知算子T是全連續(xù)的.定義算子A:X→P如下

(Av)(t)=max{v(t),0}

(27)

那么由引理6,可知算子A°T:P→P也是全連續(xù)的.

(28)

且?rgt;κgt;0,使得

(29)

令Ω={v∈P:||v||lt;r},那么,對(duì)于v∈?Ω,我們由(28)式及(29)式知

(30)

類似地,

(31)

于是,由(30)及(31)式可知

μδ2(A0+B0)rlt;r.

(32)

假設(shè)(32)式不成立,則存在t0∈[0,1]使得

(33)

事實(shí)上t0≠0,1,如果t0=0,我們有

證類似定理1的證明,我們可完成定理2的證明,這里略去.

[1] Li Y X. Positive solutions of fourth-order boundary value problem with two parameters[J]. J Math Anal Appl, 2003, 281: 477-484.

[2] Ma R, Wang H.On the existence of positive solutions for fourth-order ordinary differential equations[J]. Appl Anal, 1995, 59: 225-231.

[3] Bai C Z.Triple positive solutions of three-point boundary value problems for fourth-order differential equations[J]. Comput Math Appl, 2008, 56: 1364-1371.

[4] Zhang X, Liu L, Zou H. Positive solutions of fourth-order singular three-point eigenvalue problems[J]. Appl Math Comput,2007,189:1359-1367.

[5] Xie D P, Bai C Z, Liu Y, Wang C L, Existence of positive solutions for nth-order boundary value problem with sign changing nonlinearity[J]. Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations, 2008, 8: 1-10.

[6] Greaf J, Yang B, Positive solutions a multi-point Higher order boundary value problem[J]. J. Math Anal Appl, 2006,316:409-421.

[責(zé)任編輯：李春紅]

PositiveSolutionsforFourth-OrderMulti-PointBoundaryValueProblemWithtwoparametersandSignChangingNonlinearity

LI Dong, FANG Hai-wen, FANG Xiu-nan, YANG Wen-quan, KANG Zhao-min, ZHAO Yu

(Department of Mathematics, College of Science Jiamusi University, Jiamusi Heilongjiang 154007, China)

In this paper, we investigate the existence of positive solutions for the furth-order multi-point boundary value problem with sign changing nonlinearity

u(4)(t)+βu′′(t)-αu(t)=μh(t)f(t,u(t),u′′(t)),0lt;tlt;1,

method of lower solution with the method of topology degree; positive solution; multi-point; sign changing nonlinearity

O175.8

A

1671-6876(2012)02-0122-07

2012-01-18

李東(1976-), 男, 吉林長(zhǎng)嶺人, 講師, 碩士, 研究方向?yàn)榉汉治觥⒎蔷€性泛函分析及其應(yīng)用.