關(guān)于上(下)半連續(xù)函數(shù)的討論

尚朝陽(yáng)

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院， 江蘇 南京 210046)

關(guān)于上(下)半連續(xù)函數(shù)的討論

尚朝陽(yáng)

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院， 江蘇 南京 210046)

給出了拓?fù)淇臻g上的上(下)半連續(xù)函數(shù)的概念及其等價(jià)命題,證明了上(下)半連續(xù)函數(shù)的一些基本性質(zhì), 最后介紹常用的Hardy-Littlewood極大函數(shù)的下半連續(xù)性以及弱下半連續(xù)泛函.

拓?fù)淇臻g; 上(下)半連續(xù); 極大函數(shù); 泛函

0 引言

函數(shù)的連續(xù)性在分析學(xué)中有著重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值,而如今人們對(duì)函數(shù)的連續(xù)性已經(jīng)了解得較為透徹.在連續(xù)函數(shù)的理論及其應(yīng)用的推動(dòng)下,一些學(xué)者紛紛將連續(xù)的條件進(jìn)行減弱,并且在此基礎(chǔ)上得出了許多漂亮和有用的結(jié)果,如函數(shù)的上(下)半連續(xù)性和泛函的弱上(下)半連續(xù)性等等. 函數(shù)的上(下)半連續(xù)性在廣義函數(shù)理論、積分理論以及凸分析等很多研究領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1,2]. 然而泛函的弱上(下)半連續(xù)性在極值理論中也有許多應(yīng)用[3], 尤其重要的是在著名的Ekeland變分原理[3]及Caristi不動(dòng)點(diǎn)定理[3]等方面的應(yīng)用. 本文在文獻(xiàn)[4,5]的基礎(chǔ)上討論一般拓?fù)淇臻g中上(下)半連續(xù)函數(shù)的幾個(gè)等價(jià)命題、四則運(yùn)算性質(zhì)、有界性、保半連續(xù)性以及半連續(xù)函數(shù)都可以用一致連續(xù)函數(shù)進(jìn)行單調(diào)逐點(diǎn)逼近. 最后我們還介紹常用的Hardy-Littlewood極大函數(shù)的下半連續(xù)性和弱下半連續(xù)泛函,以及上(下)半連續(xù)函數(shù)的例子.

1 上(下)半連續(xù)性的概念和等價(jià)命題

定義1 設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g,f:X→R是定義在X上的一個(gè)實(shí)值函數(shù),x0∈X,稱f(x)在x0處上半連續(xù),如果?εgt;0,存在x0的一個(gè)鄰域U(x0),使得當(dāng)x∈U(x0)時(shí),恒有f(x)lt;f(x0)+ε.又稱f(x)在x0處下半連續(xù),如果?εgt;0,存在x0的一個(gè)鄰域U(x0),使得當(dāng)x∈U(x0)時(shí),恒有f(x)gt;f(x0)-ε.當(dāng)且僅當(dāng)f(x)在?x∈X處上(下)半連續(xù)時(shí),稱f(x)在X中上(下)半連續(xù).

注1f(x)在x0處連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)f(x)在x0處既上半連續(xù)又下半連續(xù).

定理1 設(shè)f(x)是在度量空間X上的一個(gè)實(shí)值函數(shù),x0∈X. 則下列命題等價(jià):

1)f(x)在x0處上半連續(xù);

3)?α∈R,集合{x∈X:f(x)lt;α}是開(kāi)集.

3)?1) ?εgt;0,取α=f(x0)+ε,因?yàn)榧螮={x∈E:f(x)lt;α}是開(kāi)集且f(x0)lt;f(x0)+ε,故x0∈E,于是存在x0的一個(gè)鄰域U(x0),使得當(dāng)x∈U(x0)時(shí),有f(x)lt;f(x0)+ε.

注2 上半連續(xù)性與下半連續(xù)性是對(duì)偶概念. 以上只證明了上半連續(xù)的結(jié)果,同理可證明關(guān)于下半連續(xù)的相應(yīng)結(jié)論.

推論1 1) 開(kāi)集上的特征函數(shù)是下半連續(xù)的.

2) 閉集上的特征函數(shù)是上半連續(xù)的.

下證對(duì)?α∈R,A={x:χE(x)gt;α}是開(kāi)集.當(dāng)α≥1時(shí),A=?是開(kāi)集.當(dāng)0≤αlt;1時(shí),A=E是開(kāi)集,當(dāng)αlt;0時(shí),A=X是開(kāi)集.故?α∈R,A是開(kāi)集.

要證明對(duì)?α∈R,A={x:χE(x)lt;α}是開(kāi)集. 當(dāng)αgt;1時(shí),A=X是開(kāi)集. 當(dāng)0lt;α≤1時(shí),A=EC是開(kāi)集. 當(dāng)α≤0時(shí),A=?是開(kāi)集. 因此?α∈R,A都是開(kāi)集. 因此,由定理1可知1)和2)均成立.

推論2 1) 設(shè){fn:n∈I}是X上的任意一族下半連續(xù)函數(shù),則其上確界也是下半連續(xù)的.

2) 設(shè){fn:n∈I}是X上的任意一族上半連續(xù)函數(shù),則其下確界也是上半連續(xù)的.

2 上(下)半連續(xù)函數(shù)的一些基本性質(zhì)

定理1(四則運(yùn)算性質(zhì)) 設(shè)f(x),g(x)均定義在拓?fù)淇臻gX上的實(shí)值函數(shù),則有下列命題成立:

1) 若f(x),g(x)都上(下)半連續(xù),則f(x)+g(x)上(下)半連續(xù).

2) 若f(x)上(下)半連續(xù),則-f(x)為下(上)半連續(xù).

3) 若f(x)gt;0及g(x)gt;0且都上半連續(xù)(或f(x)lt;0及g(x)lt;0,且都下半連續(xù)),則它們的積f(x)g(x)為上半連續(xù).

4) 若f(x)gt;0上(下)半連續(xù),g(x)lt;0為下(上)半連續(xù),則f(x)g(x)下(上)半連續(xù).

證明1)和2)可通過(guò)上(下)半連續(xù)的定義直接得出.

3) 如果f(x)及g(x)gt;0且上半連續(xù),那么?εgt;0,?x0∈X,取

存在x0的一個(gè)鄰域U(x0),使得當(dāng)x∈U(x0)時(shí)有0lt;f(x)lt;f(x0)+ε0,0lt;g(x)lt;g(x0)+ε0.

則有

f(x)g(x)lt;(f(x0)+ε0)(g(x0)+ε0)=f(x0)g(x0)+ε,故f(x)g(x)在X上上半連續(xù).

4) 當(dāng)f(x)gt;0上半連續(xù),g(x)lt;0為下半連續(xù)時(shí),有-g(x)gt;0為上半連續(xù),由3)知-f(x)g(x)為上半連續(xù),得f(x)g(x)為下半連續(xù)

注3 如果把上述推論中的下半連續(xù)函數(shù)換成上半連續(xù)函數(shù),則相應(yīng)的結(jié)論不成立. 反例如下:

定理2 (有界性)設(shè)X是拓?fù)淇臻g,如果f:E→R為上(下)半連續(xù)函數(shù),E?X且E是緊集,那么f在E上必有上(下)界,并且達(dá)到上(下)確界,即若f(x)在緊集E上上(下)半連續(xù),則

1)f(x)在E上有上(下)界,即?Mgt;0,使f(x)≤M,?x∈E(或?mlt;0,使m≤f(x), ?x∈E).

同理證明下半連續(xù)的有界性.

定理3 (保半連續(xù)性)設(shè)函數(shù)列fn(x)(n=1,2,…)在拓?fù)淇臻gX上上半連續(xù),且fn(x)單調(diào)遞減趨于f(x),即f1(x)≥f2(x)≥…fn(x)≥fn+1(x)≥…,?x∈X

又因?yàn)閒n(x)單調(diào)遞減趨于f(x),故有f(x)≤fn(x), 從而當(dāng)x∈U(x0)時(shí)有f(x)lt;f(x0)+ε,于是f(x)在X上上半連續(xù).

類似地證明關(guān)于下半連續(xù)函數(shù)的保下半連續(xù)性結(jié)果.

下面給出上半連續(xù)函數(shù)的一種刻畫(huà),即它可以作為單調(diào)一致連續(xù)函數(shù)序列的極限.

證明應(yīng)用定理3可知充分性,下面證明必要性.

定義函數(shù)fn(x)=sup{f(p)-nd(x,p):p∈X},x∈X,則fn(x)(n=1,2,…)都是X上的有限函數(shù)并且由定義知函數(shù)序列{fn(x)}是單調(diào)遞減的.

由上確界的定義知,?εgt;0,存在p1∈X使得

fn(y)-εlt;f(p1)-nd(y,p1)

(1)

由函數(shù)的定義知

fn(x)≥f(p)-nd(x,p),?p∈X

(2)

當(dāng)p取p1時(shí),有

fn(x)≥f(p1)-nd(x,p1)

(3)

通過(guò)1)和3)且令ε→0+,有fn(x)-fn(y)≥nd(y,p1)-nd(x,p1)≥-nd(x,y),

再互換x,y,有fn(y)-fn(x)≥-nd(x,y),故有|fn(x)-fn(y)|≤nd(x,y),

注4 由上述定理可知,上半連續(xù)函數(shù)可用一致連續(xù)函數(shù)從上方來(lái)逼近,關(guān)于下半連續(xù)函數(shù)也有類似的結(jié)論,即下半連續(xù)函數(shù)也可用一致連續(xù)函數(shù)從下方來(lái)逼近.

3 上(下)半連續(xù)函數(shù)的一些常見(jiàn)的例子及應(yīng)用

3.1 應(yīng)用上(下)半連續(xù)的性質(zhì)和等價(jià)刻畫(huà)判定常見(jiàn)函數(shù)的半連續(xù)性

1)D(x)在有理點(diǎn)處上半連續(xù),但不下半連續(xù).

2)D(x)在無(wú)理點(diǎn)的情況恰恰相反.

例2 Riemann函數(shù)

則有:1)R(x)在無(wú)理點(diǎn)處既上半連續(xù)又下半連續(xù).

2)R(x)在有理點(diǎn)處上半連續(xù),但不下半連續(xù).

由此可知Riemann函數(shù)在無(wú)理點(diǎn)處連續(xù),在有理點(diǎn)處不連續(xù).

3.2 半連續(xù)函數(shù)的兩個(gè)應(yīng)用

利用半連續(xù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)來(lái)證明常用的Hardy-Littlewood極大函數(shù)是下半連續(xù)的可測(cè)函數(shù).

在Banach空間中,如果將上(下)半連續(xù)的條件適當(dāng)減弱,可以得到泛函的弱上(下)半連續(xù)性及其相關(guān)性質(zhì).最后我們以泛函弱下半連續(xù)性的一個(gè)有趣例子來(lái)結(jié)束本文,而對(duì)于弱上半連續(xù)的泛函也有類似的結(jié)果.

[1] 黃金瑩,趙宇. 關(guān)于半連續(xù)函數(shù)與凸函數(shù)的注記[J]. 高等數(shù)學(xué)研究,2010,32(2):91-92.

[2] 韋麗蘭. 預(yù)擬不變凸函數(shù)與半連續(xù)函數(shù)的關(guān)系[J]. 江西師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2009,33(2):242-244.

[3] 孫經(jīng)先. 非線性泛函分析及其應(yīng)用[M]. 北京:科學(xué)出版社,2008.

[4] 盧天秀,朱培勇. 拓?fù)淇臻g上半連續(xù)函數(shù)的一些性質(zhì)[J]. 西南民族大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,2008,34(6):1133-1137.

[5] Walter Rudin. Real and Complex Analysis (Third Edition)[M]. Beijing: China Machine Press,2004.

[6] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))[M]. 3版. 北京:高等教育出版社,2001.

[責(zé)任編輯：李春紅]

DiscussionsontheUpper(Lower)SemicontinuousFunctions

SHANG Zhao-yang

(School of Applied Mathematics, Nanjing University of Finance and Economics, Nanjing Jiangsu 210046)

In this paper, first we give the concepts of the upper(lower) semicontinuous functions on a topological space and their equivalent propositions, and then show a few basic properties of the upper(lower) semicontinuous functions, finally present the lower semicontinuity of common Hardy-Littlewood maximal functions and weakly semicontinuous functionals.

topological space; upper (lower) semicontinuous function; maximal function; functional

O29

A

1671-6876(2012)02-0137-05

2012-03-02

尚朝陽(yáng)(1988-), 男, 江蘇無(wú)錫人, 碩士研究生, 研究方向?yàn)榉蔷€性泛函分析及其應(yīng)用.