一類(lèi)磁滯動(dòng)力學(xué)方程的輻角穩(wěn)定性判別法

杜　紅,　于存光

(黑龍江科技學(xué)院 理學(xué)院, 哈爾濱 150027)

?

一類(lèi)磁滯動(dòng)力學(xué)方程的輻角穩(wěn)定性判別法

杜紅,于存光

(黑龍江科技學(xué)院 理學(xué)院, 哈爾濱 150027)

筆者利用分布切削力的特性建立的一種磁滯動(dòng)力學(xué)微分-積分方程為例，提出了一種新的穩(wěn)定性判別法，給出動(dòng)力學(xué)方程漸近穩(wěn)定條件及穩(wěn)定性判別理論，通過(guò)計(jì)算特征方程的輻角變化量來(lái)判別方法的穩(wěn)定性。該方法計(jì)算簡(jiǎn)單，可以成為切削加工的穩(wěn)定性理論研究的一種新判別方法。

微分-積分方程; 幅角原理; 穩(wěn)定性

0　引　言

力-熱耦合模型是基于在切削過(guò)程中加工材料本構(gòu)關(guān)系、溫度等物理特性對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響提出的一種顫振形式。切削過(guò)程是切削工具和工件之間動(dòng)力交換的結(jié)果。因此,在數(shù)學(xué)描述中要考慮到切屑的幾何形狀、工件的力學(xué)及熱力學(xué)性質(zhì)等。在切削過(guò)程中,存在Coulomb摩擦或材料的彈塑性產(chǎn)生磁滯現(xiàn)象,2001年,G.Stépan[1]考慮了切削力的分布特征,得到了切削力變化和切削厚度變化之間的黏彈性關(guān)系,建立了一個(gè)線(xiàn)性時(shí)滯微分-積分方程。2002年,Kalmar-Nagy在車(chē)削加工中系統(tǒng)闡述了由于Coulomb摩擦或加工材料本身的彈塑性也會(huì)引發(fā)振動(dòng),基于磁滯回復(fù)力諧振子模型,建立了一階磁滯微分方程[2]。Poddar、Pratap和Moon等提出了磁滯切削力[3-5],給出了分片線(xiàn)性磁滯力模型。Caughey[6]和Iwan[7]考慮了帶有磁滯無(wú)阻尼擺的切削力的振動(dòng),給出了周期與準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)的磁滯環(huán)。

穩(wěn)定Lobe圖能很好的體現(xiàn)偏微分方程平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。構(gòu)造穩(wěn)定性圖的方法主要有Stépn提出的D曲線(xiàn)法[8]、時(shí)間有限元法[9]、半離散法(Semi-discret ization method)[10]和全離散法[11]。筆者將利用分布切削力的特性建立的反映磁滯現(xiàn)象的動(dòng)力學(xué)方程為例,探究動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的幅角判別方法,通過(guò)計(jì)算特征方程的幅角變化量來(lái)判別方程的穩(wěn)定性。

1　方程的建立

(1)

式中,ωn是無(wú)阻尼振動(dòng)的角頻率,ζ是阻尼系數(shù),x(t)為位移,xτ表示x(t)的延遲量,切削力系數(shù)k1是在標(biāo)準(zhǔn)切厚切削力變化率。

其中

該方程也被稱(chēng)為典型的線(xiàn)性模型。

如圖1所示,考慮作用在刀具前刀面的切削力的分布,建立磁滯動(dòng)力學(xué)微分-積分方程[2]。

圖1　刀具上切削力分布Fig. 1　Distribution of cutting force on tools

圖1中s是局部坐標(biāo),表示從s=0到切片卷曲離開(kāi)刀具s=l的可測(cè)距離。W(s)是切屑形狀函數(shù),是標(biāo)準(zhǔn)形狀函數(shù),因此

(2)

(3)

Stépn將切削力表示成

(4)

穩(wěn)定切削過(guò)程中,對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)切削厚度f(wàn)0,切削力則為

(5)

設(shè)切屑流動(dòng)速度為

(6)

r為工件半徑,Ω為主軸旋轉(zhuǎn)角速度,那么,切屑流到刀具所需的時(shí)間

(7)

記再生延遲時(shí)間為

(8)

故τ和h的比率是常數(shù)

(9)

當(dāng)這個(gè)比率很小時(shí),h被稱(chēng)為短延遲。

因?yàn)榍衅穸葹閒=f0+Δf,切片厚度是時(shí)間的函數(shù),因此,為考慮切片運(yùn)動(dòng),引入局部時(shí)間θ

(10)

應(yīng)力分布函數(shù)w表示為:

(11)

(12)

利用變量代換,式(12)的右端變換為

這里仍沿用原式積分變量,故式(12)為

(13)

即

(14)

其中,x(θ)=φ(θ),-h<θ≤0,X(t)∈Rn,R(θ),K(θ)∈Rn×n,φ(θ)∈C1(-h,0]。矩陣R(θ)=(rij),K(θ)=(kij)滿(mǎn)足

i,j=1,2,…,n,

(15)

令

(16)

對(duì)式(16)進(jìn)行Laplace變換,得到特征方程:

(17)

2　主要結(jié)果

引理2(Brown輻角原理[13])設(shè)曲線(xiàn)C是一條閉曲線(xiàn),函數(shù)f(z)滿(mǎn)足

(1)f(z)在C的內(nèi)部除了極點(diǎn)外是解析的;

(2)f(z)在C上解析且不為零;

(3)Z是C的內(nèi)部零點(diǎn)的個(gè)數(shù),Y是C的內(nèi)部極點(diǎn)的個(gè)數(shù);

則

其中ΔCargf(z)=argf(c2)-argf(c1),c1,c2分別為曲線(xiàn)的起點(diǎn)和終點(diǎn)。

證明z是方程(14)在右半平面Rz≥0的特征根,有

定理結(jié)論成立。

記la為兩點(diǎn)d1=(r,π/2),d2=(r,-π/2)在虛軸上的直線(xiàn)段,

圖2　D和Q區(qū)域Fig. 2　D and Q area

定理2在引理1的條件下,系統(tǒng)(14)是漸進(jìn)穩(wěn)定的充要條件是

P(z)≠0,z∈l,

(18)

和

ΔlargP(z)=0,其中ΔlargP(z)為P(z)沿曲線(xiàn)l一周輻角的變化量。

證明先證必要性。假設(shè)系統(tǒng)(14)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。即特征方程P(z)的所有零點(diǎn)都在左半平面,故當(dāng)z∈l時(shí),P(z)≠0,P(z)沿曲線(xiàn)l一周輻角的變化量為零。

定理2′在引理1的條件下,系統(tǒng)(14)是漸進(jìn)穩(wěn)定的充要條件是

P(z)≠0,z∈d1O,

(19)

和

Δl′argP(z)=0,

其中O=(0,0)。

定理3在引理1的條件下,如果

P(z)≠0,z∈d1O,

(20)

和

(21)

系統(tǒng)(14)是不穩(wěn)定的。其中Z是系統(tǒng)不穩(wěn)定特征根的個(gè)數(shù)。

3　數(shù)值實(shí)驗(yàn)

以下給出系統(tǒng)(12)的穩(wěn)定性判定實(shí)驗(yàn),對(duì)應(yīng)不同的參數(shù)計(jì)算系統(tǒng)的特征函數(shù)P(z)沿曲線(xiàn)l′一周相平面圖。

對(duì)于式(12),取形狀函數(shù)為

θ∈(-∞,0],

(22)

其中l(wèi)0表示有效接觸長(zhǎng)度,q0為短延遲比率。將式(12)兩邊對(duì)t求導(dǎo),并利用分部積分得到

(1+p)x(t)-px(t-τ)=0,

(23)

得到式(23)的特征方程為

D(λ)=q0τλ3+(1+2ζq0τ)λ2+(2ζ+q0τ)λ+

(1+p)-pe-λτ=0。

(24)

當(dāng)m=50kg,ζ=0.05,ωn=775rad/s,q0=0.01時(shí),按照文中給出的判別方法,取k1=3.36×107,Ω=300和Ω=1 000時(shí),式(15)的相平面圖見(jiàn)圖3,穩(wěn)定圖見(jiàn)圖4。

圖3中P(z)的相曲線(xiàn)與虛軸有交點(diǎn)或包含原點(diǎn)O=(0,0),則系統(tǒng)不穩(wěn)定,并且不穩(wěn)定根的個(gè)數(shù)為相曲線(xiàn)包含原點(diǎn)的周數(shù),也為P(z)沿曲線(xiàn)l′一周輻角變化量2π的倍數(shù)。如果P(z)的相平面在右半平面變化,則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。利用文中給出的判別法,最終可給出系統(tǒng)(12)的穩(wěn)定性圖。

圖3　相曲線(xiàn)P(z)圖Fig. 3　Phase graph of P(z)

圖4　特征方程(24)的穩(wěn)定圖Fig. 4　Stability figure of characteristic equations (24)

[1]STéPAN G. Modelling nonlinear regenerative effects in metal cutting[J]. Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 2001, 359(1781): 739-757.

[3]PODDAR B, MOON F C, MUKHERJEE S. Chaotic motion of an elastic-plastic beam[J]. Journal of Applied Mechanics, Transactions ASME, 1988, 55(1): 185-189.

[4]PRATAP R, MUKHERJEE S, MOON F C. Dynamic behavior of a bilinear hysteretic elasto-plastic oscillator, part II: oscillations under periodic impulse forcing[J]. Journal of Sound and Vibration, 1994, 172(3): 339-358.

[5]MOON F C, KALMR-NAGY T. nonlinear models for complex dynamics in cutting materials[J]. Philosophical Transactions of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 2001, 359(1781): 695-711.

[6]CAUGHEY T K. Sinusoidal excitation of a system with bilinear hysteresis[J]. Journal of Applied Mechanics, 1960, 27(4): 640-643.

[7]IWAN W D. The steady-state response of a two-degree-of-freedom bilinear hysteretic system[J]. Journal of Applied Mechanics, Transactions ASME, 1965, 32(1): 151-156.

[9]BAYLY P V, HALLEY J E, MANN B P. Stability of interrupted cutting by temporal finite element analysis[J]. Journal of Manufacturing Science and Engineering, 2003, 125(2): 220-225.

[10]MANN B P, YOUNG K A. An empirical approach for delayed oscillator stability and parametric identification[J]. Proceedings of the Royal Society A,Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 2006, 462(2071): 2145-2160.

[11]DING YE, ZHU LIMIN, ZHANG XIAOJIAN, et al. A full-discretization method for prediction of milling stability[J]. International Journal of Machine Tools and Manufacture, 2010, 50(5): 502-509.

[12]KOLMANOVSKII V B, MYSHKIS A. Applied theory of functional differential equations[M]. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1992.

[13]BROWN J W, CHURCHILL R V. Complex variables and applications[M]. 7th ed.Beijing: McGraw-Hill Companies, Inc. and China Machine Press, 2004.

(編輯徐巖)

Argument stability criterion method of a hysteresis dynamic equation

DUHong,YUCunguang

(College of Sciences, Heilongjiang Institute of Science & Technology, Harbin 150027, China)

This paper proposes a new stability criterion method, based on a hysteresis dynamic differential-integral equation derived from using properties of distributed cutting force. The paper offers asymptotically stable conditions for Kinetic equation and stability criterion theories and identifies stability of systems by calculating change in argument of characteristic equation. The method features an easy operation and promises as a new criterion method for theoretical study of stability of cutting process.

differential-integral equation; argument principle; stability

1671-0118(2012)03-0325-05

2012-04-30

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51105135)；黑龍江省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(A201015)

杜紅(1972-),女，黑龍江省密山人，教授，博士后，研究方向：再生核、小波分析在圖像處理中的應(yīng)用，E-mail:du_hong163@163.com。

O175.6;O175.13

A