基于人工噪聲的MISO保密容量分析

吉江，金梁，黃開(kāi)枝

（國(guó)家數(shù)字交換系統(tǒng)工程技術(shù)研究中心，河南 鄭州 450002）

1 引言

無(wú)線信道的時(shí)變特性、隨機(jī)特性和差異性是區(qū)別于有線信道的重要特征，也是無(wú)線通信物理層加密的研究重點(diǎn)。1975年Wyner提出了接線竊聽(tīng)加密模型，首次討論信道對(duì)系統(tǒng)安全性的影響，并引入了保密容量來(lái)衡量系統(tǒng)安全性能[1]。在文獻(xiàn)[2]中，按照接線竊聽(tīng)模型I. Csiszár和J. Kōner 推導(dǎo)出廣播信道情況下的保密容量為

其中，X為發(fā)送信息；Y為授權(quán)用戶(hù)接收的信息；Z為第三方用戶(hù)接收的信息。通過(guò)式（1）可計(jì)算出當(dāng)發(fā)送端與授權(quán)用戶(hù)通信時(shí)，第三方完全無(wú)法截獲的前提下授權(quán)用戶(hù)的最大信道容量為sC。文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[2]的研究引發(fā)了利用信息論討論各種場(chǎng)景接線竊聽(tīng)模型的熱潮。文獻(xiàn)[3]討論了存在加性高斯噪聲情況下的接線竊聽(tīng)模型，并給出了此時(shí)的保密容量，由于AWGN（adding gaussian white noise）在無(wú)線通信研究中的基礎(chǔ)地位，接線竊聽(tīng)模型隨后被進(jìn)一步發(fā)展。2008年，文獻(xiàn)[4]對(duì)已有的接線竊聽(tīng)模型下不同應(yīng)用場(chǎng)景的保密容量、安全信道編碼方式等方面做了總結(jié)。接線竊聽(tīng)模型為無(wú)線物理層加密提供了較好的解決思路，但其要求授權(quán)用戶(hù)的信道質(zhì)量好于第三方用戶(hù)。

隨著無(wú)線安全研究的不斷發(fā)展，近幾年出現(xiàn)的利用MISO系統(tǒng)多天線發(fā)射人工噪聲來(lái)實(shí)現(xiàn)物理層加密的方法[5]較好地解決了上述問(wèn)題。該方法通過(guò)在與授權(quán)用戶(hù)信道特征正交的空間內(nèi)發(fā)射噪聲，降低第三方的接收信號(hào)質(zhì)量，從而可以提高保密容量。所以即使第三方用戶(hù)端的信號(hào)信噪比高于授權(quán)用戶(hù)端的信號(hào)信噪比，通過(guò)發(fā)射人工噪聲可以使授權(quán)用戶(hù)獲得可觀的保密容量。同時(shí)文獻(xiàn)[5]中給出了在 AWGN信道中的保密容量下限。文獻(xiàn)[6]隨后對(duì)其在衰落環(huán)境下的保密容量進(jìn)行了討論。文獻(xiàn)[7]中討論的是如何根據(jù)衰落信道狀況動(dòng)態(tài)分配多根發(fā)射天線上的功率。事實(shí)上，影響系統(tǒng)安全性的一個(gè)重要問(wèn)題是當(dāng)發(fā)射總功率一定時(shí)，如何分配人工噪聲和傳輸信息的功率從而使得系統(tǒng)保密容量最大，并且利用該分配方法如何生成人工噪聲。

針對(duì)此問(wèn)題，文中首先建立基于人工噪聲的MISO物理層安全系統(tǒng)模型，在系統(tǒng)分析后，將人工噪聲等效成為第三方用戶(hù)的接收信號(hào)引入了加性的噪聲。隨后根據(jù)信息論相關(guān)原理，功率受限的條件下，高斯分布具有最大信息熵，所以人工噪聲的分布為高斯分布時(shí)系統(tǒng)具有最大保密容量。由于發(fā)送端的總發(fā)射功率一定，文中對(duì)功率在信息和人工噪聲間的分配進(jìn)行了討論，采用空間投影的分析方法可知，人工噪聲物理層安全方法是在與授權(quán)用戶(hù)信道特征向量正交的空間內(nèi)引入噪聲，從而只對(duì)與授權(quán)用戶(hù)信道存在差異的接收方產(chǎn)生干擾，借助于信道特征向量的空間位置關(guān)系推導(dǎo)了最佳功率分配方案。在此基礎(chǔ)上利用Box-Muller變換方法給出高斯加性人工噪聲的具體生成方法。

2 基于人工噪聲的MISO系統(tǒng)安全模型

2.1 MISO系統(tǒng)模型

首先介紹MISO的系統(tǒng)模型，設(shè)MISO系統(tǒng)的發(fā)射端（后文用“Alice”表示）有M( 2M≥ )根天線；授權(quán)用戶(hù)（后文用“Bob”表示）有1根天線；第三接收方（后文用“Eve”表示）有 1根天線。若定義 Alice的 M根天線上發(fā)射信號(hào)為 X =，其中的元素獨(dú)立同分布。發(fā)送端的M根天線到Bob端天線的信道特征（信道狀態(tài)）歸一化向量為，其中，， A表示第i根發(fā)射天線i傳輸?shù)絾胃邮仗炀€的信號(hào)幅度；φi為第i根發(fā)射天線傳輸?shù)絾胃邮仗炀€的信號(hào)相角值；所以Bob單根天線接收的信號(hào)為

其中， nB表示單根接收天線上的高斯加性噪聲； xi為第i根發(fā)射天線發(fā)送的信號(hào)，是X中的元素。發(fā)送端的 M 根天線到第三方用戶(hù)端天線的信道特征歸一化向量為，其中，即第三方的接收信號(hào)為

其中， Ei表示第i根發(fā)射天線傳輸?shù)浇邮仗炀€的信號(hào)幅度；φi為第i根發(fā)射天線傳輸?shù)浇邮仗炀€的信號(hào)相角值； nE表示接收天線上的高斯加性噪聲； xi為第i根發(fā)射天線發(fā)送的信號(hào)。

2.2 MISO系統(tǒng)物理層安全模型

后文所用的物理層安全模型可描述如下：首先Alice將信源數(shù)據(jù)X送往加密系統(tǒng)G，經(jīng)過(guò)加密后發(fā)送到無(wú)線信道中。按照前述，Alice與Bob的無(wú)線信道特征向量為 hb，與Eve的無(wú)線信道特征向量為 he；Bob接收到的信號(hào)為 yB，第三方用戶(hù)收到的信號(hào)為 yE。為使加密系統(tǒng)與后續(xù)的 hb和 he分別形成新的信道特征（等效信道特征），加密系統(tǒng)可表示為

Eve接收天線的接收信號(hào)為

事實(shí)上，現(xiàn)有物理層安全方案中的人工噪聲可由加密系統(tǒng)G引入，所以有 G = G1+G2，其中，G1用于傳輸信息；G2用于為Eve端引入人工噪聲，可用作承載人工噪聲 R來(lái)增加保密容量。為避免在Bob的接收信號(hào)中引入人工噪聲，通常有 G2hb=0。根據(jù)式（4）、式（5）在引入人工噪聲后 Bob端接收天線的接收信號(hào)為

Eve接收天線的接收信號(hào)為

從式（6）、式（7）可以看出， G1用于傳送信息X；而 G2承載人工噪聲R只作用于Eve端，因此Alice的總發(fā)射功率 PX通過(guò)加密系統(tǒng)后分散在2部分中，第 1部分為 G1X，其中保留有信息X，令這一部分的功率為；另外一部分為G2R，用于在Eve的信道中引入噪聲，令這一部分的功率為，功率滿(mǎn)足

所以后續(xù)討論的保密容量為安全傳輸X的最大傳輸速率， G2R為隨機(jī)人工噪聲向量。

按照上述描述，利用加性人工噪聲提高物理層安全性的模型如圖1所示，Alice端的信息S經(jīng)過(guò)編碼器后變?yōu)?X + R，加密系統(tǒng)利用信道特征從其中分離出信息部分 G1X和人工噪聲部分 G2R，其中人工噪聲只在Eve端可以收到。所以需滿(mǎn)足

若令總發(fā)射功率為 PX=1，不考慮人工噪聲G2R，當(dāng) hbG1X服從高斯分布時(shí)，文中的MISO系統(tǒng)可為高斯竊聽(tīng)信道模型，按照文獻(xiàn)[3]中所述其保密容量為

按照?qǐng)D1所示引入加性人工噪聲 G2R后，由于在實(shí)際系統(tǒng)中人工噪聲的功率受限，所以人工噪聲項(xiàng)服從高斯分布時(shí)，系統(tǒng)具有最大安全容量。

結(jié)論 1 如果在式(7)和式(8)表示的加性人工噪聲模型中，噪聲 nB和 nE都服從正態(tài)分布，則當(dāng)服從正態(tài)分布，并且與X相互獨(dú)立時(shí)，系統(tǒng)達(dá)到最大安全信道容量

3 發(fā)射功率的最優(yōu)化討論

下面討論如何通過(guò)空間投影的方法設(shè)計(jì)加密系統(tǒng)，從而使得高斯噪聲條件下，圖1所示的MISO系統(tǒng)的人工噪聲模型保密容量最大化。

由于 G2R和 G1X同為 M ×1維向量。在式(11)中，由于隨機(jī)矩陣 G2和 hb的方向垂直。按照向量的投影計(jì)算可得

其中，αb=0為hb和G1X的夾角；αe2為he和G2R的夾角；令αe1為he和G1X的夾角。

圖1 加性人工噪聲系統(tǒng)模型

圖2 G2R沿直線方向變化的投影示意

如圖2所示，如果固定 G2R的方向在 g2上，此時(shí)αe2服從αe2∈ ｛ α,α + π｝的二項(xiàng)分布。則根據(jù)結(jié)論一可知當(dāng)投影量服從高斯分布時(shí)，可達(dá)到式(11)的最大保密容量。由于=PX2cosαe2，所以當(dāng)αe2服從等概率的二項(xiàng)分布時(shí)，并且服從高斯分布時(shí)。根據(jù)式(11)，此時(shí)保密容量為

可以解出得到λ，排除掉一個(gè)不符合取值范圍的解后，最終得如下的解：

結(jié)論2 當(dāng)MISO系統(tǒng)加性人工噪聲模型達(dá)到結(jié)論 1的保密容量時(shí)，如果信息X的分配因子λ=λ*，則保密容量達(dá)到最大值

4 人工噪聲的生成算法

事實(shí)上，由于Eve為第三方用戶(hù)，其信道特征 he往往未知，所以在式(16)中 he、 c os2αe和cos2α未知，且保密容量C是cosα的增函數(shù)，

e1sece所以如果固定G2的方向則有可能αe→90°，he在較小。

由于 he未知，為獲得平均意義下 he在 G2R方向上的投影值，需變化 G2R的方向。由于 he的未知性，可認(rèn)為 he在整個(gè)空間均勻分布。為此需要在與 G1X垂直的空間內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng) G2R，使 G2R均勻地分布于整個(gè)

圖3 G 2沿平面轉(zhuǎn)動(dòng)的投影示意

其中，由于Eve的信道特征向量 he未知，可認(rèn)為式(18)中的α服從均勻分布。按照結(jié)論 1可知，當(dāng)heG2R服從高斯分布時(shí)，系統(tǒng)可以達(dá)到保密容量。代入式(18)可得

對(duì)于每一個(gè)Eve來(lái)說(shuō)， he和α為恒定值。所以需要設(shè)計(jì)的概率分布方式，從而使式(19)服從高斯分布。按照文獻(xiàn)[8]中的Box-Muller變換方法，若相互獨(dú)立的 U1和 U2均服從[0,1)的均勻分布。則令

結(jié)論4 當(dāng)模型達(dá)到結(jié)論3的保密容量時(shí)，如果功率的分配因子 λ =λ1*，則保密容量達(dá)到最大值：

此時(shí)

至此，當(dāng)模型中能達(dá)到的最大的保密容量在式(22)中給出，并且當(dāng)加密系統(tǒng)的 G1與 hb同向且 G2R按照式(20)和式(21)分布，同時(shí)此時(shí)的分配因子λ=λ*時(shí)，可以達(dá)到該保密容量。

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5 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)基于人工噪聲的 MISO物理層安全系統(tǒng)進(jìn)行了深入分析，主要解決了人工噪聲的功率分配問(wèn)題和人工噪聲最優(yōu)化概率分布的生成問(wèn)題。文中通過(guò)將人工噪聲等效為加性信道噪聲，指出當(dāng)加性人工噪聲項(xiàng)服從高斯分布時(shí)，系統(tǒng)具有最大的保密容量。隨后推導(dǎo)出其保密容量表達(dá)式，以保密容量最大化為目標(biāo)，給出了最佳功率分配方案。最后文中對(duì)人工噪聲的方法進(jìn)行討論，利用 Box-Muller變換方法產(chǎn)生符合系統(tǒng)保密容量最大化的加性人工噪聲。

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