反正切函數(shù)聯(lián)合參數(shù)的凸組合最小均方濾波算法

謝子殿,　董志國,　崔師明

(黑龍江科技學(xué)院 電氣與信息工程學(xué)院, 哈爾濱 150027)

?

反正切函數(shù)聯(lián)合參數(shù)的凸組合最小均方濾波算法

謝子殿,董志國,崔師明

(黑龍江科技學(xué)院 電氣與信息工程學(xué)院, 哈爾濱 150027)

為解決傳統(tǒng)最小均方自適應(yīng)濾波算法聯(lián)合參數(shù)λ(n)運(yùn)算量大、收斂速度慢的問題，提出一種基于修正的反正切函數(shù)的凸組合最小均方濾波算法，并應(yīng)用Matlab軟件對不同信噪比算法進(jìn)行仿真比較。結(jié)果表明：該算法在保證運(yùn)算量的前提下，能夠加快算法的收斂速度及減小其穩(wěn)態(tài)誤差。反正切函數(shù)聯(lián)合參數(shù)的凸組合最小均方濾波算法具有更好的濾波性能。

凸組合; 自適應(yīng)濾波; 反正切函數(shù)

0　引　言

自適應(yīng)濾波技術(shù)可應(yīng)用于通信領(lǐng)域的自動均衡、回波消除、天線陣波束形成,以及其他有關(guān)信號處理的參數(shù)識別、噪聲消除、譜估計(jì)等方面。自20世紀(jì)40年代N.維納采用最小均方LMS準(zhǔn)則設(shè)計(jì)最佳線性濾波器以來,各種基于LMS的改進(jìn)算法層出不窮[1-3]。

凸組合自適應(yīng)濾波算法具有并行運(yùn)算、較快的收斂速度和較小的穩(wěn)態(tài)誤差的特點(diǎn)。它的基本原理是:利用兩個步長分別為μ1和μ2的自適應(yīng)濾波器并行獨(dú)立處理數(shù)據(jù)。其中,μ1為小步長濾波器步長,μ2為大步長濾波器步長,聯(lián)合參數(shù)λ(n)調(diào)節(jié)μ1和μ2的比例。傳統(tǒng)的凸組合濾波算法CLMS的聯(lián)合參數(shù)λ(n)是Sigmoid的函數(shù),文獻(xiàn)[4]提出了一種基于萁舌線函數(shù)的CLMS算法。這兩種算法收斂速度慢、λ(n)函數(shù)運(yùn)算復(fù)雜。

筆者在文獻(xiàn)[5]的基礎(chǔ)上提出一種基于改進(jìn)的反正切函數(shù)快速凸組合最小均方濾波算法ATLMS。與Sigmoid的函數(shù)和萁舌線函數(shù)不同,提出的改進(jìn)反正切函數(shù)在迭代運(yùn)算中期以前具有比較緩慢的變化,從而保證μ2在算法中起主要調(diào)節(jié)作用以加快收斂。在運(yùn)算上,Sigmoid函數(shù)引入指數(shù)運(yùn)算,萁舌線函數(shù)運(yùn)算時需要判斷迭代運(yùn)算的正負(fù),都有較大的運(yùn)算量。

1　凸組合自適應(yīng)濾波原理

凸組合自適應(yīng)濾波是由兩個權(quán)系數(shù)分別為ω1(n)和ω2(n)的LMS濾波器組成，由圖1中虛線框所示。二者獨(dú)立并行運(yùn)行,互不干擾,各自輸出值Y1(n)和Y2(n)在聯(lián)合參數(shù)λ(n)的調(diào)解下重新組合得到系統(tǒng)的最終輸出Y(n)。

圖1　凸組合自適應(yīng)濾波原理

現(xiàn)假定ω1(n)為小步長濾波器權(quán)值,ω2(n)為大步長濾波器權(quán)值,輸入為x(n),期望響應(yīng)為d(n),u1、u2分別為兩濾波器的步長因子,則:

ω1(n+1)=ω1(n)+u1×e1(n)x(n),

ω2(n+1)=ω2(n)+u2×e2(n)x(n)。

根據(jù)自適應(yīng)濾波原理的穩(wěn)定性,步長u需滿足如下收斂條件:0

系統(tǒng)等效輸出為

Y(n)=λ(n)×Y1(n)+(1-λ(n))×Y2(n)。

等效輸出誤差:

E(n)=λ(n)e1(n)+[1-λ(n)]e2(n),

式中，λ(n)——基于S函數(shù)。

λ(n)=sgm [a(n)]=1/(1+e-a(n))。

(1)

輸出誤差:

E(n)=d(n)-Y(n)。

參數(shù)a(n)的值決定了聯(lián)合參數(shù)λ(n),進(jìn)而直接決定輸出Y(n)誤差大小。通常采用最小均方法確定:

a(n)-uaE(n)(e1(n)-

e2(n))λ(n)(1-λ(n)),

式中,ua——a(n)的自適應(yīng)步長。

在凸組合自適應(yīng)濾波中,聯(lián)合參數(shù)λ(n)決定著系統(tǒng)性能的優(yōu)劣。Sigmoid函數(shù)具有更快速的趨近于上下邊界的性能,這對于CLMS算法來說非常不利,因?yàn)榻?jīng)過大量的復(fù)雜運(yùn)算后,得出的聯(lián)合參數(shù)往往由于非常逼近0或1而導(dǎo)致凸組合函數(shù)失去實(shí)際的效能[5]?；诖丝紤],常常需要限制a(n)的取值范圍,要求a(n)∈[-4,+4]。

文獻(xiàn)[4]提出了基于萁舌線函數(shù)的凸組合濾波器。萁舌線函數(shù)在收斂初始和結(jié)束時有比較平穩(wěn)的變化,但是在a(n)=0附近和Sigmoid函數(shù)一樣,依舊有比較快的下降/上升速度。這樣的變化曲線導(dǎo)致的結(jié)果是:隨著迭代運(yùn)算進(jìn)行,λ(n)的值幾乎由0跳變到1。

2　反正切函數(shù)的聯(lián)合參數(shù)

為了解決S函數(shù)和萁舌線函數(shù)在迭代速度和運(yùn)算量上的缺陷,筆者提出基于改進(jìn)的反正切函數(shù)的聯(lián)合參數(shù)表達(dá)式:

(2)

為了改進(jìn)函數(shù)形狀以滿足不同條件下的算法要求,可加入?yún)?shù)因子A,即式(2)改為

(3)

其函數(shù)圖形如圖2所示。

圖2　Sigmoid函數(shù)與改進(jìn)的反正切函數(shù)對比

Fig. 2Comparison diagram of Sigmoid and improved arc-tangent function

由圖2可以看出,改進(jìn)的反正切函數(shù)與Sigmoid函數(shù)相比較(萁舌線函數(shù)同Sigmoid函數(shù)類似,分析略),在迭代初期和末期保持較平穩(wěn)的變化,使λ(n)的值保持在0或1,而在運(yùn)算中期λ(n)保持在0.5左右。

現(xiàn)把基于改進(jìn)的反正切函數(shù)的迭代運(yùn)算過程分為三個部分:迭代運(yùn)算開始被稱為加速收斂期。此時λ(n)→0,由式(1)得,系統(tǒng)輸出值Y(n)≈Y2(n),即大步長LMS趨于單獨(dú)作用而小步長LMS被屏蔽,故加速收斂。運(yùn)算中期被稱為過渡期。這段時間里對運(yùn)算的收斂速度和穩(wěn)定性并無嚴(yán)格的要求,因而取λ(n)值約為0.5。同時為了適應(yīng)不同的算法要求,可以修改參數(shù)因子A的大小以加快或減少過渡期如圖3所示,體現(xiàn)了該算法的靈活性。例如,當(dāng)環(huán)境要求算法要對均方差有更快的響應(yīng)速度時,可增加A值使其過渡期更小,加速收斂期更大以加快收斂速度。同時,當(dāng)外界噪聲比較嚴(yán)重時,系統(tǒng)對算法的魯棒性有更高的要求,減小A值使過渡期進(jìn)而減慢收斂速度。迭代后期稱為穩(wěn)定期。λ(n)→1,系統(tǒng)輸出值Y(n)≈Y2(n),小步長LMS趨于單獨(dú)作用而大步長LMS近似被屏蔽,以減少算法的穩(wěn)態(tài)誤差。

圖3　不同A值函數(shù)對比

Fig. 3Comparison diagram of arc-tangent function with different parameter values

比較S函數(shù)和文中所提出的函數(shù),在收斂速度上,該算法具有明顯的優(yōu)勢,尤其能夠靈活的適應(yīng)不同的環(huán)境要求;在運(yùn)算量上,ATLMS算法不需要進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算因而能夠節(jié)約大量的運(yùn)算;在收斂性能上二者基本相同,因此整體上該算法較傳統(tǒng)的CLMS具有較大的優(yōu)勢。

3　凸組合濾波性能分析

3.1假設(shè)

對凸組合系統(tǒng)進(jìn)行如下假設(shè)[7]:

(1)期望信號d(n)與輸入信號x(n)的線性衰減模型:

式中:ω0——未知的權(quán)向量;

e0(n)——方差為σ2的獨(dú)立噪聲。

(2)兩濾波器的初始權(quán)向量ω1(0)、ω2(0)與初始a(0)對任意的n值獨(dú)立{x(n),d(n),e0(n)}。

(3)E[x(n)]=0,E[x(n)xT(n)]=R,

E[d(n)]=0,E[e0(n)]=0。

(4)μ和e(n)、x(n)、Δω(n)相互獨(dú)立。

3.2參數(shù)

單個濾波器和組合濾波器定義如下參數(shù):

單個濾波器的權(quán)值向量誤差:

Δω(n)=ω(n)-ω0,

先驗(yàn)誤差:

ea(n)=ΔωT(n)x(n)。

3.3性能

濾波器的性能用額外均方誤差EMSE來表示,其定義為濾波器在工作時除最小均方差以外的額外誤差項(xiàng)。濾波器輸出誤差項(xiàng):

e(n)=ea(n)+e0(n),

有兩個濾波器的EMSE表達(dá)式:

定義基于先驗(yàn)誤差的交叉EMSE表達(dá)式:

根據(jù)上式和柯西不等式有如下結(jié)論:

Jex,12(∞)≤max{Jex,1(∞),Jex,2(∞)},即交叉EMSE不會同時高于兩個濾波器的EMSE。

以下證明,濾波器工作時,組合濾波器優(yōu)于任何單個濾波器的性能。

組合濾波器的誤差為

e(n)=λ(n)e1(n)+[1-λ(n)]e2(n)+e0(n)。

為了簡化運(yùn)算,不考慮噪聲引入,得組合濾波器先驗(yàn)誤差項(xiàng):

ea(n)=λ(n)ea,1(n)+[1-λ(n)]ea,2(n)。

則有組合濾波器的EMSE:

λ2(n)Jex,1(∞)+[1-λ(n)]2Jex,2(∞)。

由于λ(n)∈(0,1),根據(jù)不等式定理有:

Jex(∞)

Jex(∞)

即組合濾波器優(yōu)于單個濾波器的性能。

4　仿真分析

仿真系統(tǒng)為20階FIR模型,取1 000個采樣點(diǎn)分別進(jìn)行200次運(yùn)算取平均值。輸入信號x(n)為幅值10的正弦波信號,系統(tǒng)噪聲r(n)為與輸入信號不相關(guān)的高斯白噪聲,信噪比為30 dB。

4.1對比實(shí)驗(yàn)

基于S函數(shù)與反正切函數(shù)的凸組合自適應(yīng)濾波算法作為對比實(shí)驗(yàn),對式(3)取修改因子A=3,分別得到兩種算法的誤差曲線,如圖4所示。

圖4　S函數(shù)與反正切函數(shù)算法誤差

Fig. 4Error of S function and arc tangent function algorithm

由圖4可見,ATLMS算法比傳統(tǒng)的CLMS算法在收斂速度上較快,而在穩(wěn)態(tài)誤差方面,二者幾乎相近(圖4中穩(wěn)態(tài)時期的波紋是由于截圖是在原圖縮放情況下截取造成的)。

4.2參數(shù)A對算法的影響

在不同的環(huán)境下,可以通過調(diào)節(jié)過渡期的長短來滿足算法要求?，F(xiàn)取不同的A值研究其對算法的影響,分別取A=1.5、3作對比,如圖5所示。

圖5　不同A值對ATLMS算法影響

Fig. 5Effect of CLMS algorithm with different parameter values

如圖5所示,當(dāng)A較大時,過渡期較短,算法的收斂速度較快,這和文中原理分析是吻合的。

4.3信噪比對算法收斂性的影響

圖6　SNR=20兩種算法的學(xué)習(xí)曲線

Fig. 6Comparison of two CLMS algorithms under condition of SNR=20

由圖6可見,在高信噪比下,反正切算法較CLMS算法有更快的收斂速度。由于兩種算法采用同樣的框架,因而在穩(wěn)態(tài)性能上基本一致,反正切算法沒有優(yōu)勢。

圖7　SNR=2兩種算法的學(xué)習(xí)曲線

Fig. 7Comparison of two CLMS algorithms under condition of SNR=2

由圖7可見,在低信噪比條件下,兩種算法的性能都急劇下降,穩(wěn)態(tài)誤差上升。在收斂速度方面,反正切算法有微弱的優(yōu)勢,但較之其他的自適應(yīng)濾波算法,反正切算法還是具有較好的收斂性能。

5　結(jié)束語

改進(jìn)的反正切函數(shù)的凸組合濾波算法ATLMS較傳統(tǒng)自適應(yīng)濾波算法LMS在收斂速度和算法復(fù)雜程度上都有顯的優(yōu)勢,同時，在穩(wěn)態(tài)誤差方面保留了原算法的優(yōu)點(diǎn)。調(diào)節(jié)改進(jìn)的反正切聯(lián)合參數(shù)λ(n)的過渡期大小,可以滿足算法在不同的環(huán)境條件下的要求。

[1]李建平, 蒙建波. 基于雙曲函數(shù)的變步長LMS算法及其分析[J]. 傳感器與微系統(tǒng), 2011, 30(5): 127-128.

[2]袁江南, 湯碧玉, 陳輝煌. 基于信噪比的改進(jìn)變步長LMS算法及應(yīng)用[J]. 廈門大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2011, 50(5): 829-833.

[3]王新. 自適應(yīng)濾波器的新型變步長算法及其應(yīng)用[J]. 電機(jī)與控制學(xué)報(bào), 2011, 15(4): 23-27.

[4]于霞, 劉建昌, 李鴻儒. 基于箕舌線函數(shù)的快速凸組合最小均方算法[J]. 系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào), 2010, 22(5): 1097-1105.

[5]ARENAS GARCIA J, FIGUEIRAS VIDAL A R, SAYED A H. Steady state performance of convex combinations of adaptive filters [J]. IEEE Signal Processing, 2005, 4(4): 33-36.

[6]何振亞.自適應(yīng)濾波處理[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2003: 22-38.

[7]ARENAS GARCIA J, FIGUEIRAS VIDAL A R, SAYED A H. Mean-square performance of a convex combination of two adaptive filters[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2006, 54(3): 1078-1090.

[8]龐彥軍, 劉立民, 馬麗濤, 等. 基于非線性序轉(zhuǎn)換的層次分析模型[J]. 河北工程大學(xué)學(xué)報(bào)： 自然科學(xué)版, 2011, 28(2): 109-112.

(編輯李德根)

Convex combination of least mean square algorithm based on arc-tangent function

XIEZidian,DONGZhiguo,CUIShiming

(College of Electric & Information Engineering Heilongjiang Institute of Science & Technology, Harbin 150027, China)

Aimed at a solution to complex computation and poor convergence performance of the convex parametric ofλ(n) in the least-mean-square(LMS) algorithm, this paper proposes a new CLMS algorithm based on improved arc-tangent function and introduces simulation comparison of algorithms with different SNR by using MATLAB math software. The simulation indicates that this new algorithm, able to quicken the convergence and reduce steady state error, along with assuring less computation, demonstrates a better filtering performance.

convex combination; adaptive filter; arc-tangent function

1671-0118(2012)06-0608-05

2012-10-08

謝子殿(1962-),男,黑龍江省鶴崗人,教授,研究方向:計(jì)算機(jī)自動控制、嵌入式系統(tǒng)技術(shù),E-mail:xiezd@163.com。

TN713

A