獨立指數(shù)分布卷積的矩的計算

丁 勇

（南京醫(yī)科大學數(shù)學教研室，南京 210029）

獨立指數(shù)分布卷積的矩的計算

丁 勇

（南京醫(yī)科大學數(shù)學教研室，南京 210029）

求和；指數(shù)分布；矩

1 引 言

矩是隨機變量的重要數(shù)字特征.對于隨機變量X，若E（Xr）存在，則稱它為X的r階原點矩；若E（［X－E（X）］r）存在，則稱它為X的r階中心矩.一階原點矩即為數(shù)學期望，二階中心矩即為方差，而偏度與峰度則與三階、四階矩有關(guān)［1］，利用各階矩可對隨機變量分布的參數(shù)進行估計.近年來，高階矩在其它領(lǐng)域的應(yīng)用日益廣泛［2－6］.高階矩計算量大，找到簡便計算公式或易于計算機計算的算法，很有必要［7－9］.

指數(shù)分布是最常用的分布之一，在Poisson過程、增殖過程、更新過程和生存分析等方面有重要應(yīng)用［10］.本文探討?yīng)毩⒅笖?shù)分布卷積的矩的計算問題.為此先解決如下求和公式

其中λi為s個互不相同的實數(shù)，s，r為整數(shù)，且s≥2，簡記為θs，r.

對0≤r＜s，θs，r的求和結(jié)果已得到［10－11］

下面討論θs，r其它各種情況的計算公式.

2 r≥s的遞推公式

故（4）式成立.

上述遞推公式特別適用于計算機編程.

3 r＜0的轉(zhuǎn)換公式

4 特殊情況的解析公式

證取r＝－1，由（5），（2）式可得（9）式.取r＝－2，由（5），（6）式可得（10）式.取r＝－3，由（5），（7）式可得（11）式.取r＝－4，由（5），（8）式可得（12）式.

5 λi有相等的極限公式

在（1）式的θs，r定義中，要求λi互不相同，但從（6）～（8）式看出，λi可以相同，甚至全都相同，這提示我們有如下的極限公式.

6 獨立指數(shù)分布卷積的矩的計算

設(shè)X1，X2，…，Xs是s個相互獨立的服從指數(shù)分布的隨機變量，Xi的密度函數(shù)為

則它們的和X＝X1＋X2＋…＋Xs的密度函數(shù)為各Xi的密度函數(shù)的卷積［9－10］

更高階的原點矩的計算量更大，公式復雜，尋找簡便計算方法很有必要，命題2和命題1較好地解決了這一問題.

在（17），（18）式中假定了λi≠λj，由命題3可知，實際上可取消λi≠λj的限制，從而對于λi＝λj也可計算各階矩.

證X的密度函數(shù)為Xi的密度函數(shù)的n次卷積，服從gamma分布［10］.由（18），（5），（15）可得E（Xr）的表達式.

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Moment Calculation for Convolution of the Independent Exponential Distribution

DINGYong
（Department of Mathematics，Nanjing Medical University，Nanjing 210029，China）

exponential distribution；convolution；moment

O211

C

1672－1454（2012）04－0124－05

2010－03－25；［修改日期］2010－07－09