投資組合模型的動(dòng)態(tài)規(guī)劃解法

陳國華，廖小蓮,吳 娜

(湖南人文科技學(xué)院 數(shù)學(xué)系,湖南 婁底 417000)

0 引言

投資組合選擇在企業(yè)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中有著重要的指導(dǎo)作用。Markowitz[1]的均值方差理論為近代證券投資組合理論奠定了基礎(chǔ)。而均值方差模型的實(shí)質(zhì)上是一個(gè)以二次規(guī)劃優(yōu)化模型。為了減少參數(shù)、簡化計(jì)算，不少文獻(xiàn)[2，3]提出了線性化投資組合模型，但是，將一定數(shù)量的資金有選擇地投入多種產(chǎn)業(yè)，可以作為一個(gè)多階段決策過程，即動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型。利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃研究投資組合問題的方法已有一些研究[5，6，7]。在文[5]中，作者對均值－方差模型建立一種動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型和遞推算法。文[6]對多階段資產(chǎn)投資問題，給出了在滿足一定的風(fēng)險(xiǎn)承受能力情況下的、以總收益盡可能大為決策目標(biāo)的資產(chǎn)投資組合模型，利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法求得多階段投資的最優(yōu)投資組合，文[7]引導(dǎo)投資者選擇最佳投資策略,將動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型應(yīng)用于組合投資理論，文[8]在允許賣空的情況下,以終端財(cái)富最大化為目標(biāo),通過建立輔助問題,利用逆序動(dòng)態(tài)規(guī)劃的求解方法，文[9]利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法解決帶交易費(fèi)用的均差模型,給出了有交易費(fèi)用均差模型的解析解。

1 投資組合模型模型的建立

設(shè)有資金M，可在一個(gè)時(shí)期內(nèi)投資于市場上的n種資產(chǎn)A1,A2,…,An或存款銀行A0，用指標(biāo)凈收益盡可能大與總風(fēng)險(xiǎn)盡可能小來衡量投資方案的優(yōu)劣，假定通過統(tǒng)計(jì)分析，得到各資產(chǎn)Ai的平均收益率為ri，與風(fēng)險(xiǎn)損失qi。銀行存款A(yù)0的利率為r0且無風(fēng)險(xiǎn)(q0=0)。購買資產(chǎn)Ai的交易費(fèi)是分段函數(shù)：收費(fèi)率為 pi，但當(dāng)購買量不足ui時(shí)，交易費(fèi)按購買ui計(jì)算。因此，購買Ai的收益須減去交易費(fèi)之后得到凈收益。在本文中，我們以投資各個(gè)Ai的風(fēng)險(xiǎn)損失和來度量總體風(fēng)險(xiǎn)。設(shè)xi表示購買資產(chǎn)Ai的資金(1 ≤i≤n)，x0為銀行存款。則交易費(fèi)可表為：

在本文中我們利用線性加權(quán)法把雙目標(biāo)規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃問題?？紤]到風(fēng)險(xiǎn)的特殊性，我們附加一個(gè)約束從而得到如下的投資組合模型：

其中t為參變量。由于ci(xi)是分段線性函數(shù)(在xi=0處不連續(xù))，模型為非線性規(guī)劃問題，下面我們利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃來求解。

2 模型的動(dòng)態(tài)規(guī)劃解法

在模型（1）中，對n+1種資產(chǎn)的資金分配看成n+1階段決策過程，其中xi作為第i階段的決策變量，從第0階段到第i階段所分配的資金，記為si，作為第i階段的狀態(tài)變量。那么，n+1階段所分配的總資金為si=M，且狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)則為：

當(dāng)狀態(tài)變量si給定時(shí)，決策變量xi的取值范圍稱為第i階段的決策集，記為Di()Si。根據(jù)上面的模型，我們有：

在每一階段決策時(shí)都要求xi∈Di(si)。這樣一來，靜態(tài)模型(1)就轉(zhuǎn)化為一個(gè)動(dòng)態(tài)決策過程。

2.1 動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法

根據(jù)前面的分析，總資金M作為第n+1階段的終止?fàn)顟B(tài)，我們利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的順推算法來求解。設(shè)最優(yōu)值函數(shù)fk(s)=直到第k階段投資金額不超過s的最大收益，得到：

根據(jù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的最優(yōu)化原理，得到最優(yōu)值函數(shù)序列滿足的遞推方程如下：

3 數(shù)值算例

假使經(jīng)過統(tǒng)計(jì)分析，決策者已獲得了如下的數(shù)據(jù)(見表1)。

表1

i可以不考慮起點(diǎn)金融ui，那么它就可以用線性函數(shù)pix 來代替。）

首先將M離散化，插入分點(diǎn)0，0.5，1，1.5，2=M

進(jìn)行回代，得出最優(yōu)解：

得到最優(yōu)投資組合(y0,y1,y2,y3)=(0 ,0,1,0 )，即：向A2投資200萬元。

4 結(jié)束語

投資組合是現(xiàn)實(shí)社會(huì)的一個(gè)廣泛而重要的課題，本文主要探討了將動(dòng)態(tài)規(guī)劃最優(yōu)性原理應(yīng)用于投資組合的研究，針對資金分配、資產(chǎn)投資及多目標(biāo)資產(chǎn)投資建立了數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃對問題進(jìn)行了求解，數(shù)值算例說明了模型的可行性，對指導(dǎo)投資決策具有一定的知道意義。

[1]Markowitz.H.M.Portfolio[J].Journal of Finance,1952,(7).

[2]陳煒,楊玲.具有交易費(fèi)用的均值一極大極小半絕對偏差投資組合模型[J].首都經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)學(xué)報(bào),2009,(6).

[3]陳國華,廖小蓮.基于區(qū)間規(guī)劃的投資組合模型[J].遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2010,29(5).

[4]丁元耀,賈讓成.一種證券組合的投資選擇建模[J].運(yùn)籌與管理,1999,8(2).

[5]林浩,投資組合問題的動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法[J].運(yùn)籌與管理,2000,9(3).

[6]宿潔,劉家壯.多階段資產(chǎn)投資的動(dòng)態(tài)規(guī)劃決策模型[J].中國管理科學(xué),2001,9(3).

[7]伍勇,劉春.動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型在“組合投資”理論中的應(yīng)用[J].北京機(jī)械工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào),2008,23(2).

[8]孫世杰,高巖.摩擦市場下多階段投資組合的均值方差模型[J].上海理工大學(xué)學(xué)報(bào),2008,30(4).

[9]花秋玲,蘇孟龍,呂顯瑞,王銳.帶交易費(fèi)用投資組合問題的動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)(理學(xué)版),2009,47(5).