基尼系數(shù)按收入來源分解的一種新方法

戴平生，莊 赟

(1.廈門大學(xué)經(jīng)濟學(xué)院，廈門 361005；2.廈門集美大學(xué)財經(jīng)學(xué)院，廈門 361021)

0 引言

Fei等人被認為是最早從事基尼系數(shù)按收入來源分解研究的學(xué)者[1]。在研究中他們把按收入來源分解稱為要素分解，根據(jù)各要素收入與總收入的相關(guān)性確定各要素基尼系數(shù)在分解式中的符號，相關(guān)系數(shù)小于0時則取負號；Pyatt等人利用集中率對基尼系數(shù)的要素分解做了改進，設(shè)定的各要素基尼系數(shù)的權(quán)數(shù)符號大于0，且總量基尼系數(shù)為各分量基尼系數(shù)的加權(quán)平均[2]；Shorrocks利用偽基尼系數(shù)(不按從小到大排序)，將總體基尼系數(shù)表示為各分量偽基尼系數(shù)的加權(quán)平均[3]；Lerman和Yitzhaki利用基尼系數(shù)的協(xié)方差表達式給出基尼系數(shù)要素分解的協(xié)方差形式[4]。但上述對總體基尼系數(shù)的分解都以針對個體微觀數(shù)據(jù)為出發(fā)點，并沒有對組數(shù)據(jù)的基尼系數(shù)按收入來源分解問題給出較好的解決方案。而實際應(yīng)用中存在大量的組數(shù)據(jù)，如我國的統(tǒng)計年鑒收入數(shù)據(jù)通常以地區(qū)人均收入出現(xiàn)。本文試圖利用組數(shù)據(jù)基尼系數(shù)的線性表述，給出基尼系數(shù)按收入來源分解的表達式，嘗試解決組數(shù)據(jù)中基尼系數(shù)按收入來源分解問題。

1 組數(shù)據(jù)的基尼系數(shù)按收入來源分解

基尼系數(shù)有多種等價表達式。本文給出在組數(shù)據(jù)情況下基尼系數(shù)的線性表述形式，它可以方便地將總體基尼系數(shù)按收入來源分解。

1.1 基尼系數(shù)的等價表達式

設(shè)n組收入按從小到大排列依次為y1≤y2≤…≤yn，各組人口數(shù)為q1,q2,…,qn，滿足q1+q2+…+qn=q，記pi=qi/q稱為第i組的人口份額，F(xiàn)i=p1+p2+…+pi稱為累計人口份額(i=1,2,…,n)，基尼系數(shù)可以用收入份額加權(quán)給出：

其中，si/S(i=1,…,n)稱為第i組的收入份額，它是第i組收入在總收入中所占的比重。下面證明它是基尼系數(shù)的一種等價形式。

證明：用Li表示對應(yīng)于Fi的累計收入份額，并記L0=0，F(xiàn)0=0。有

等式右邊為組數(shù)據(jù)的基尼系數(shù)常用計算公式，因此式(1)為基尼系數(shù)的一個等價形式。該表達式具有明確的經(jīng)濟含義，即各組收入份額的加權(quán)和。權(quán)數(shù)wi為收入分布Fi的函數(shù)，這意味著由各組收入份額、權(quán)數(shù)就可以計算基尼系數(shù)，基尼系數(shù)可以看作是收入份額、權(quán)數(shù)兩個向量的內(nèi)積。因此，只要把收入份額與權(quán)數(shù)一一對應(yīng)，不受后面按收入來源重新排序的影響，十分方便總體基尼系數(shù)按收入來源的分解。

權(quán)數(shù)wi(i=1,…,n)具有以下良好的性質(zhì)。①權(quán)數(shù)關(guān)于i是單調(diào)遞增的；②權(quán)數(shù)與相應(yīng)人口份額的內(nèi)積等于0；③權(quán)數(shù)是有界的，介于p1-1與1-pn之間；④前面權(quán)數(shù)小于等于0，后面權(quán)數(shù)大于0。

性質(zhì)①由定義可以直接得到，性質(zhì)②只要對權(quán)數(shù)做以下變形：

容易得到與人口份額的內(nèi)積為0的結(jié)論；性質(zhì)③性質(zhì)④可以由性質(zhì)①直接推出。權(quán)數(shù)小于等于0的項可以求解wi=0得到，大致在累計人口份額接近50%的項。n個權(quán)數(shù)中必定存在一個小于等于0的項，它的左側(cè)權(quán)數(shù)小于0，右側(cè)權(quán)數(shù)大于0，該項也稱為政策項，即僅增加其左側(cè)某項的收入份額可以改善收入不平等，增加其右側(cè)某項的收入份額會提高收入的不平等程度。

1.2 基尼系數(shù)按收入來源分解

定理假定收入y來源于如工資、資產(chǎn)性收入和轉(zhuǎn)移收入等r個不同的要素(y1,y2,…,yr)，滿足y=y1+y2+…+yr。有

其中，用帶星號(*)和不帶星號的權(quán)數(shù)分別表示按總量排序、按分量排序時的對應(yīng)權(quán)數(shù)。Sk為第k個要素的收入總和，Gk為第k個要素的基尼系數(shù)(k=1,2,…,r)。

證明：由基尼系數(shù)的線性表述有

Kakwani指出基尼系數(shù)按收入來源分解，總體基尼系數(shù)不超過其各來源基尼系數(shù)關(guān)于收入份額的加權(quán)平均數(shù)[5]。因此，式(2)右邊的第二部分小于0。式(2)表明總體基尼系數(shù)可以分解為兩大部分：第一部分為各個分量基尼系數(shù)關(guān)于收入份額的加權(quán)平均，第二部分為根據(jù)收入來源各分量重新排序產(chǎn)生的差異，簡稱為序差。序差實際上由各個收入來源數(shù)據(jù)占總體收入的收入份額因排序產(chǎn)生的內(nèi)積變化構(gòu)成，是一個具有明確經(jīng)濟含義可直接計算的調(diào)整項。式(2)第一等號的右邊只是單純的按各個收入來源分為r個部分，可以把第i個部分與總體基尼系數(shù)的比值稱為第i個收入來源對總體基尼系數(shù)的綜合貢獻率，記為s(i)(i=1,2,…,r)，它是研究各個收入來源對總體基尼系數(shù)邊際效應(yīng)的一個重要指標(biāo)。

2 基尼系數(shù)按收入來源分解的性質(zhì)

式(1)給出的基尼系數(shù)線性表述，在排序后僅強調(diào)收入份額與權(quán)數(shù)(收入分布的函數(shù))的一一對應(yīng)，因此便于總體基尼系數(shù)的分解和計算。它的作用更多的是提供一種算法，其次才是形式上的表達方式。

2.1 各收入來源的邊際效應(yīng)

設(shè)第m個收入來源增長百分之d，從ym變?yōu)?1+d)ym，收入y就相應(yīng)變化為y’=y+dym，相應(yīng)的基尼系數(shù)變化增量為

其中，分別用星號和帶撇號(’)標(biāo)識按總體收入增加前后的權(quán)數(shù)，s(m)表示第m個收入要素對總體基尼系數(shù)的綜合貢獻率，Δ1為總體收入在第m個要素增長百分之d前后因排序變化產(chǎn)生差別，當(dāng)d的變化較小時，該差別很小可以忽略不計，因此有

符號ηm稱為結(jié)構(gòu)彈性，是第m個要素對總體基尼系數(shù)的綜合貢獻率與收入份額的比值。當(dāng)ηm大于等于1時，由式(4)可以推出基尼系數(shù)上升；當(dāng)結(jié)構(gòu)彈性小于1時，基尼系數(shù)下降。這一結(jié)論與Lerman和Yitzhaki(1985)的研究一致，在關(guān)系式的推導(dǎo)過程中他們假定各個收入來源的增長對總體收入分布的影響可以忽略不計，從而使收入來源變化與總體收入分布的協(xié)方差計算簡化。這種簡化產(chǎn)生的誤差就是式(3)中的Δ1，且他們的結(jié)論僅適用于個體數(shù)據(jù)。個體數(shù)據(jù)可以看作組數(shù)據(jù)當(dāng)人口份額等于1/n時的特例，因此式(4)既適用于個體數(shù)據(jù)和也適用于組數(shù)據(jù)，它反映了各收入來源增長對總體基尼系數(shù)的邊際影響，這種關(guān)系被稱為各要素的邊際效應(yīng)。

在式(3)的推導(dǎo)過程中對要素m增長百分之d、其它要素不變進行了假定，實際上如果各要素增長或減少同一百分數(shù)，不會改變基尼系數(shù)值，因為收入份額并沒有改變。因此收入份額是它的本質(zhì)，某項收入來源可能增長了，但它的收入份額可能沒有增加。由于結(jié)構(gòu)彈性為綜合貢獻率與收入份額的比值，所以各收入來源對基尼系數(shù)的綜合貢獻率、收入份額的大小關(guān)系，決定著該要素對總體基尼系數(shù)邊際影響的作用方向。

2.2 按收入來源分解的社會福利含義

基尼系數(shù)可以直接反映由不平等所帶來的社會福利損失。如果社會福利函數(shù)W定義為S×(1-G)，那么SG就是福利損失。式(2)可以通過恒等變形得到

說明總體不平等的福利損失可以分解為各要素不平等造成的福利損失，加上對福利損失的調(diào)整項。該調(diào)整項小于等于0，所以可以理解為各要素不平等造成的社會福利損失存在重疊，即被重復(fù)計算的部分，因而要給予剔除。

3 農(nóng)村居民收入不平等的實證分析

下面利用2010年《中國統(tǒng)計年鑒》中《各地區(qū)按來源分農(nóng)村居民家庭人均純收入(2009年)》的數(shù)據(jù)，說明如何使用式(2)的算法對總體基尼系數(shù)按收入來源進行分解。該表給出了中國大陸31個省、市、自治區(qū)(不含港澳臺)農(nóng)民純收入和按來源分的工資性收入、家庭經(jīng)營純收入、財產(chǎn)性收入和轉(zhuǎn)移性收入，由于組數(shù)據(jù)基尼系數(shù)的計算還涉及各地區(qū)農(nóng)村居民人口數(shù)，因此除以上數(shù)據(jù)外還需要從年鑒中獲取2009年各地區(qū)1%人口抽樣調(diào)查的農(nóng)村居民年末人口數(shù)。為了對各地區(qū)農(nóng)村居民收入進行動態(tài)比較，同時獲取了2005～2008年的相應(yīng)數(shù)據(jù)，相應(yīng)的各地區(qū)農(nóng)村人口數(shù)取自相應(yīng)年度各地區(qū)1%人口抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)?；嵯禂?shù)的計算在Excel表格中直接利用了數(shù)表的排序功能實現(xiàn)。

3.1 農(nóng)村居民收入來源不平等的總體變化趨勢

我國農(nóng)民人均純收入從2005年的3289.27元上升到了5189.56元(未剔除通脹因素，下同)，總體增長了58%。其中工資性收入、家庭經(jīng)營性收入、財產(chǎn)性收入和轉(zhuǎn)移性收入分別遞增了73%、38%、95%和171%。除家庭經(jīng)營性收入占總收入份額從2005年的55.97%下降到2009年48.82%外，工資性收入、財產(chǎn)性收入和轉(zhuǎn)移性收入都有明顯上升(參見表1)；各個收入來源分布的不均等除家庭經(jīng)營性收入有所上升外，工資性收入、財產(chǎn)性收入和轉(zhuǎn)移性收入分布的不均等都出現(xiàn)一定程度的改善，其中轉(zhuǎn)移性收入分布的不均等下降尤其明顯。

表1 農(nóng)民純收入結(jié)構(gòu)變化對收入基尼系數(shù)的影響

農(nóng)民人均純收入總體基尼系數(shù)從2005年的0.17183下降到2009年的0.15967，說明農(nóng)村居民收入的不平等狀況出現(xiàn)了明顯的改善。我國城鄉(xiāng)居民的收入基尼系數(shù)近年來都在0.4以上，主要產(chǎn)生于城鄉(xiāng)居民的收入差距。收入份額增長對總體基尼系數(shù)的邊際影響中能夠改善收入不平等的收入來源，從2005年的家庭經(jīng)營性收入一項，發(fā)展為2009年的家庭經(jīng)營性收入、轉(zhuǎn)移性收入兩項。經(jīng)營性收入主要為農(nóng)村家庭從事農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和第三產(chǎn)業(yè)的服務(wù)收益，其收入份額雖然隨著農(nóng)村家庭工資性收入的增長有所下降，但仍然是農(nóng)村居民家庭收入的主要來源。轉(zhuǎn)移性收入從2005年至2009年在農(nóng)村家庭的收入結(jié)構(gòu)中比重明顯上升，其邊際效應(yīng)即收入份額增長對總體基尼系數(shù)的影響，從2005年的加大收入不平等到2009年的改善不平等產(chǎn)生了質(zhì)的變化，說明轉(zhuǎn)移性收入在農(nóng)村居民家庭之間的分配更為平等，真正起到調(diào)整貧富差距的作用，農(nóng)業(yè)直補、農(nóng)村居民的醫(yī)療保險和養(yǎng)老保險等社會保障產(chǎn)生了積極的影響。

3.2 收入來源對總體基尼系數(shù)邊際效應(yīng)的動態(tài)分析

對各個收入來源基尼系數(shù)及其收入份額增長對總體基尼系數(shù)邊際效應(yīng)隨著時間變化的動態(tài)分析，有利于從整體上了解農(nóng)村居民各收入來源的均等性和邊際影響的動態(tài)變化。表2給出了2005～2009年各收入來源基尼系數(shù)和反映邊際效應(yīng)作用方向的結(jié)構(gòu)彈性。

表2 農(nóng)村居民各收入來源的基尼系數(shù)及其對收入不平等的邊際影響

從基尼系數(shù)看，家庭經(jīng)營性收入的基尼系數(shù)在各年的4類收入來源中都是最低的，雖然近年來出現(xiàn)了一定程度的上升，但仍然是穩(wěn)定和改善農(nóng)村居民總體收入不平等的基礎(chǔ)；工資性收入、財產(chǎn)性收入和轉(zhuǎn)移性收入的基尼系數(shù)都呈現(xiàn)明顯的下降趨勢，并推動總體基尼系數(shù)的改善，圖1反映了各個收入來源基尼系數(shù)的變化走勢。

各收入來源的結(jié)構(gòu)彈性反映了它們對總體基尼系數(shù)的邊際影響，其邊際效應(yīng)曲線的變化由圖2給出。表2的結(jié)構(gòu)彈性計算結(jié)果表明農(nóng)村居民的工資性收入、財產(chǎn)性收入關(guān)于總體基尼系數(shù)變化的彈性系數(shù)都在1.5以上，前者的結(jié)構(gòu)彈性隨著時間變化有所下降、后者則有所增強(參見圖2)，兩者收入份額的增長都可能導(dǎo)致總體基尼系數(shù)的上升；家庭經(jīng)營性收入各年的結(jié)構(gòu)彈性很小而且變化也不大，因此其收入份額的增長能夠持續(xù)改善農(nóng)村居民收入的不平等；轉(zhuǎn)移性收入的結(jié)構(gòu)彈性從2005年1.2逐漸減少到2009年0.65，變化呈現(xiàn)出明顯的下降趨勢，相應(yīng)基尼系數(shù)也從2005年的0.27逐漸下降到2009年0.19，說明隨著農(nóng)村居民轉(zhuǎn)移性收入的逐年增加其分配的均等性也逐步增強，收入份額增長對總體基尼系數(shù)的邊際影響也發(fā)生了質(zhì)的變化，從2005、2006、2007年對總體基尼系數(shù)的增大效應(yīng)，轉(zhuǎn)化為2008、2009年的縮小效應(yīng)，即產(chǎn)生了改善農(nóng)村居民收入不平等、調(diào)整貧富差距的政策效應(yīng)?？傮w基尼系數(shù)不僅受到各收入來源邊際效應(yīng)的影響，而且也受到各收入來源分布均等性的影響。如工資性收入其收入份額的增長推動總體基尼系數(shù)的上升，同時其自身基尼系數(shù)的下降又對總體基尼系數(shù)產(chǎn)生了反向作用，資產(chǎn)性收入也是如此。而最終得到的總體基尼系數(shù)是各種影響綜合作用的結(jié)果。

圖1 2005～2009年各收入來源基尼系數(shù)

圖2 2005～2009年各收入來源邊際效應(yīng)

4 結(jié)論

在組數(shù)據(jù)情況下對基尼系數(shù)按收入來源分解長期以來沒有得到較好的解決。通過基尼系數(shù)的線性表述，本文提出了一種有效的解決方案。在這種線性表述下，基尼系數(shù)可以按收入來源分解為兩大部分：第一部分為各收入來源基尼系數(shù)關(guān)于各自收入份額的加權(quán)平均；第二部分為各收入來源按從小到大排序每項收入產(chǎn)生的新權(quán)數(shù)與相應(yīng)于總收入排序時的權(quán)數(shù)之差，乘以其收入份額的和。由該分解式可以得到各收入來源收入份額增長對總體基尼系數(shù)的邊際影響，一些收入來源其收入份額的增長有利于改善收入的不平等，而另一些收入來源的作用則相反。

把本文提出的基尼系數(shù)按收入來源分解的方法，應(yīng)用于2005～2009年對我國地區(qū)農(nóng)村居民收入不平等的研究發(fā)現(xiàn)了一些有意義的結(jié)果：一是近年來我國農(nóng)村居民收入不平等處于一個相對較為平穩(wěn)的狀態(tài)，而且整體上有所改善；二是各個收入來源的基尼系數(shù)，除家庭經(jīng)營性收入在較低水平上有所上升外，工資性收入、財產(chǎn)性收入和轉(zhuǎn)移性收入的不平等都出現(xiàn)了明顯的下降；三是轉(zhuǎn)移性收入對總體基尼系數(shù)的邊際影響出現(xiàn)了可喜的變化，收入份額的增長從擴大收入不平等轉(zhuǎn)變?yōu)楦纳撇黄降?；四是家庭?jīng)營性收入的增長始終是改善農(nóng)村居民收入不平等的重要基礎(chǔ)。因此可以得到這樣的政策含義：較大幅度增加農(nóng)村居民的轉(zhuǎn)移性收入能夠改善他們的收入不平等，積極鼓勵農(nóng)村居民家庭提高經(jīng)營性收入能夠改善總體的收入不平等。

[1]Fei,J.,Ranis,G.，Kuo,S.Growth and the Family Distribution of In?come by Factor Components[J].The Quarterly Journal of Economics,1978,92.

[2]Pyatt,G.Chen,C.N.,Fei,J.The Distribution of Income by Factor Components[J].The Quarterly Journal of Economics,1980,95.

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[5]Kakwani,N.C.Applications of Lorenz Curves in Economic Analysis[J].Econometrica,1977,45.