路徑積分法在隨機動力系統(tǒng)中的應(yīng)用

莫協(xié)強

（梧州學(xué)院 數(shù)理系，廣西 梧州 543000）

路徑積分法在隨機動力系統(tǒng)中的應(yīng)用

莫協(xié)強

（梧州學(xué)院 數(shù)理系，廣西 梧州 543000）

路徑積分法在隨機動力系統(tǒng)中有著重要作用，本文介紹了基于Guass-Lgenedre公式的路徑積分法的原理和算法，并研究了諧和激勵與隨機激勵作用下的Duffing一Ryaelihg振子，推導(dǎo)用于計算時間上的平均概率密度路徑積分數(shù)值表達式，探討隨機跳躍現(xiàn)象存在性和概率密度峰的個數(shù)之間的關(guān)系.

路徑積分法；隨機動力系統(tǒng)；Guass-Legenedre公式

它的基本思想是在空間和時間路徑積分的離散化,將取代路徑和積分、非線性隨機動力系統(tǒng)可能有復(fù)雜結(jié)構(gòu)的確定性和隨機響應(yīng)反應(yīng),Yim和Naess,等等…隨機響應(yīng)分析混沌響應(yīng)的概率密度,即通過不確定性系統(tǒng)中激勵引進隨機干擾,混沌吸引子的不確定性系統(tǒng)存在也能有效地使用相空間的隨機響應(yīng)的概率密度演化來描述.本文主要利用路徑積分方法研究了非線性隨機動力系統(tǒng)混亂的反應(yīng).

1 路徑積分法的原理

在空間和時間是途徑和離散化,而不是整體,這是路徑積分方法的基本思想.即通過短期的轉(zhuǎn)移概率密度的連接形式的全球轉(zhuǎn)移概率密度,得到狀態(tài)向量的聯(lián)合概率密度函數(shù).雖然每條路徑的貢獻的定性概念的總和是透明的,但它應(yīng)該給予的總和更精確的數(shù)學(xué)定義,路徑是一個高階無限數(shù)目的音樂,是道路的間隔什么樣的措施應(yīng)給與不明顯.目的是為了給這樣的數(shù)學(xué)定義,該定義是挺麻煩的.路徑積分法是最優(yōu)越的特性可以得到負面,更準確的尾部概率密度.此外,路徑積分法也可以計算非平穩(wěn)信號的系統(tǒng)暫態(tài)概率密度和問題,如第一次通過.最簡單的定義路徑積分方法是連續(xù)的過程離散化在空間和時間限制的小格子點通透.然而,一個連續(xù)的過程的離散并不是唯一的.因此,對于不同的離散規(guī)則,你有許多不同的路徑積分方法.為建立路徑積分協(xié)變的,需要選擇特定離散規(guī)則,導(dǎo)致許多研究人員并沒有被具體的離散規(guī)則,提出了各種各樣的推導(dǎo)的路徑積分法協(xié)變.Wehner和wolfer路徑積分方法研究首次提出以尋求“非線性隨機“FPK方程可得到精確穩(wěn)態(tài)解形式解.給出不確定的道路路徑積分的近似解的初始值適當(dāng)?shù)狞c,路徑積分形式的解決方案可能在平衡熱力學(xué)領(lǐng)域熱力學(xué)平衡延續(xù)的概念.實際上大部分人致力于用路徑積分表示下列FPK方程：

其中P（q1,q2,…,qn,t）是滿足上述“非線性隨機”FPK方程的概率密度，是擴散張量，是漂移向量，重復(fù)下標表示求和.即將方程（1.1）的解表示為如下形式的泛函積分：

其中Dμ(q)是積分測度，通?？醋魇荗nsgear-Machl up泛函.若使等式(1.2)是協(xié)變形式，那就是當(dāng)來自行星光狀態(tài)矢量空間的非線性隨機點變換,Onsgaer-Machl up功能也根據(jù)通常的計算規(guī)則了相應(yīng)的改造,那么問題將變得更為復(fù)雜.因此,困難的路徑積分是不可能Onsgaer-Machl up唯一肯定的功能.如果你想獲得基于路徑的非平衡熱力學(xué)理論一致的積分,那么這個屬性是必不可少的.最簡單的定義路徑積分方法是連續(xù)的過程離散在時間和空間充滿了小有限網(wǎng)格點.然而,一個連續(xù)的離散化過程不僅這樣的話,分別對應(yīng)著不同的離散規(guī)則,你有許多不同的路徑積分方法.建立了路徑積分協(xié)變的,需要選擇特定離散規(guī)則.在所有可能的路徑,一個特定的路徑由適當(dāng)?shù)臈l件決定,最低的原則是表示,此次行動是最桶色條件的一種方式.換句話說.存在一定數(shù)量的年代,我們可以計算出,每條路徑,經(jīng)典軌道;是最少的年代的軌道.事實上,真正的條件S只是一個極值.也就是說,如果這路徑;X稍作改變,S價值為一階來表達相同的,所以我們不給出具體如此在各種規(guī)則的建議是協(xié)變的沿程積分方法.在實際應(yīng)用中,即使路徑積分法的概念具有一定的參考價值,而是解析解和數(shù)值,公式(1.2)的計算是不太可能推廣到一般的情況,wehner和wol f er首先討論基于方程(1.2)的數(shù)值計算方法,提出了等效離散形式,起點是路徑,路徑積分或離散網(wǎng)格.的目的是尋求FPK方程可得到精確穩(wěn)態(tài)解(1.1)的解決方案,路徑,并能很好的為基礎(chǔ)的數(shù)值計算方法.路徑和通常寫成：

其中 G(qi+1,qi,τ)=μiexp[-τv(qi+1,qi,τ)]稱作短時傳播子，不同離散規(guī)則有不同的G，傳播子的唯一條件是它滿足方程（1.1）達到O(τ2).確定數(shù)值方法的簡單的、最準確的路徑和公式是：

2 基于Gauss-Legendre公式的路徑積分法

在許多喬條件出現(xiàn)的特色功能是一種高斯分布,泊松分布假設(shè)隨機脈沖,從而介紹其二階近似的指數(shù)關(guān)系,并得到高斯功能,事實上,一些本質(zhì)的物理過程看起來像個他們分布.在傳統(tǒng)的風(fēng)險理論,高斯分布符合物理現(xiàn)象.這是因為很多隨機出現(xiàn)的綜合結(jié)果的獨立的事情.這就是那個機遇去中心極限定理理論的結(jié)論,同樣的結(jié)論適用于分布的功能.因為許多路徑積分可以劃分為若干路徑積分因素、制度是在一個特定國家和功能,可以寫每種模式下的是產(chǎn)品的一個因素.最基本的理念是路徑積分在空間和時間離散化、道路、而不是整體,即通過連接短期轉(zhuǎn)移概率密度形成全球轉(zhuǎn)移概率密度,得到狀態(tài)向量的聯(lián)合概率密度函數(shù).設(shè)(X)t是n維狀態(tài)向量，其演化概率密度為

其中q(x,t|x(0),t0)是轉(zhuǎn)移概率密度，由非線性隨機動力學(xué)系統(tǒng)相應(yīng)的FPK方程確定，p(x(0),t0)是X（t）在t=t 0處初始概率分布，R 是X（t）的 n維狀態(tài)空間.將[t 0，t]分成 N 個子區(qū)間可得：

實際上，路徑積分是在縮減的狀態(tài)空間Rx內(nèi)積分，Rx之外的區(qū)域轉(zhuǎn)移概率密度因為充分小而忽略不計.即：

利用不同的插值公式就形成不同的路徑積分數(shù)值方法.目前主要有兩類廣泛應(yīng)用的路徑積分數(shù)值方法.一種是，Naess等利用三次B樣條插值來離散積分式(2.3)，可以計算尾部低于10-6數(shù)量級的平穩(wěn)概率密度.進一步,Naess提出了概率密度的B樣條插值的對數(shù)函數(shù)代替直接在概率密度自身的插值,能明顯地提高計算精度和效率.另一個是,玉將(2.3)根據(jù)Guass-Lgenedre公式離散化,得到Guass-Legnedre基于路徑的積分公式數(shù)值計算方法.高斯積分點其他的點概率密度能通過插值.所以,只有我i時刻高斯積分點計算相應(yīng)的轉(zhuǎn)移概率密度,大大減少了計算量.最終可得到適合編程實現(xiàn)的表達式.一維情形即：

其中K是子區(qū)間數(shù),Lk是第k子區(qū)間的高斯積分點數(shù)，δk是第k子區(qū)間的長度，xkl是高斯積分點，ckl是相應(yīng)的權(quán)值.這種方法的優(yōu)點是沒有重新構(gòu)造插值函數(shù)數(shù)值積分團聚的,可以直接利用Guass-Lgenedre離散積分公式的類型(2.4).對時變系統(tǒng),特別是膨脹系數(shù)漂移或包含一個傳播周期函數(shù)的系統(tǒng),它的時刻就在時間迫使一個騎表達期刊,用簡單的方法是通過求解一個周期的時間步ChangShang力矩方程出發(fā).每一刻的解方程周期保持不變,為下星期期間短期轉(zhuǎn)移概率密度的均值和方差的估計.路徑積分的數(shù)值方法,主要計算是一種轉(zhuǎn)移概率密度的近似,因為相同的電力系統(tǒng)的時候,正好方程表達不依賴時間的,只要計算一下方程;不為高斯白噪聲的動態(tài)激勵機制,一般沒有辦法直接轉(zhuǎn)矩方程d只有通過開拓系統(tǒng)d系統(tǒng)推力矩方程出發(fā),再用路徑積分擴張維數(shù)值對應(yīng)的FPK方程可得到精確穩(wěn)態(tài)解高維系統(tǒng)的分析.噪音強度在一定的非線性隨機系統(tǒng)狀態(tài)估計的概率密度演化可以用來描繪了混沌算子的吸引結(jié)構(gòu)特點.

3 路徑積分法基于Gauss-Legenedre公式求解時間上平均概率密度

對時變系統(tǒng),特別是漂移或包含在擴散系數(shù)的周期函數(shù)的系統(tǒng),介紹了概率密度定義的平均時間.

其中T=2π/ω,ω一般是諧和激勵或周期系數(shù)的角頻率.當(dāng)（3.1）式中t'充分大，在整個諧和激勵周期T上平均的概率密度可逼近系統(tǒng)響應(yīng)的近似平穩(wěn)概率密度.將Yu的路徑積分數(shù)值方法推廣到時間上平均的概率密度的計算，不難導(dǎo)出利用Gauss-Legnedre公式計算平均概率密度的表達式.即積分表達式(3.1)可離散成如下的Guass-Legendre積分表達式

其中K是[t'，t'+T]內(nèi)的子區(qū)間數(shù)，Lk是第k子區(qū)間的高斯積分點，δK是第k子區(qū)間的長度，每一tkl是一個周期內(nèi)的高斯積分時刻，而ckl是相應(yīng)的權(quán)重，而p(x1,x2,tkl)的計算可直接參考上面的計算方法.Guass-Legnedre于使用路徑積分公式法研究了高斯白噪聲的沖擊只有幾個隨機非線性動態(tài)系統(tǒng),結(jié)果表明該方法在計算盡頭的一個更小的概率密度是歷史上其他數(shù)值方法精度高,本研究是首次通過更重要.合理假設(shè)短期轉(zhuǎn)移概率密度為高斯分布,利用高斯三種方法已關(guān)閉的力矩方程出發(fā),推導(dǎo)出能算出這道短的轉(zhuǎn)移概率密度的一階矩和二階矩.在此基礎(chǔ)上,利用路徑積分法求解系統(tǒng)的平滑概率密度.不同于簡單形狀的激情,基于路徑積分方法Guass-Lgenedre公式的隨機性和沖突,促進共同作用的非線性隨機動力學(xué)系統(tǒng),利用非線性動態(tài)系統(tǒng)參與的隨機研究更為復(fù)雜.這些研究結(jié)果將和其他數(shù)值方法的結(jié)果進行了比較,得出了計算尾概率密度具有較高的計算精度.

4 結(jié)語

在路徑積分對幾串理論的這些應(yīng)用中，如果被積函數(shù)是高斯型的.那么我們就可以大量地應(yīng)用這個技術(shù).這些問題正好都是一些用其他方法也可以解決的問題，不一定要用路徑積分.人們可以有理由懷疑路徑積分有無實際用途.如果問題不是高所型的，則至少可以用路徑積分研究它并將其公式化.然而，路徑積分方法使一個問題的各種表述方式之間可以迅速地相互轉(zhuǎn)換，并且常常清楚而迅速地得到關(guān)于某個關(guān)系式的提示，而用更通常的方式推導(dǎo)它會要慢一些.

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1673-260X（2012）05-0009-03