一類新的數(shù)論函數(shù)

管訓(xùn)貴

（泰州師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)理信息學(xué)院，江蘇 泰州 225300）

1 引言及主要結(jié)論

長期以來，數(shù)論函數(shù)的性質(zhì)一直是數(shù)論中一個引人關(guān)注的課題[1].2004年，A.Murthy和M.Bencze[2]引入了數(shù)論函數(shù)f（n），其定義如下：

定義 對于正整數(shù)n，如果存在正整數(shù)k可使kn+1是素數(shù)，k|( )n-1 且（n-1）/k不是合數(shù)，則設(shè)f（n）表示適合此條件的最小的k；否則f（n）=0.當(dāng)f（n）=0時，n稱為函數(shù)f（n）的一個零點；當(dāng)f（n）=1時，n稱為函數(shù)f（n）的一個單位.容易算得表1.

對此，A.Murthy和M.Bencze[2]曾提出如下猜想：

猜想1f（n）有無窮多個零點.

2011年，樂茂華[3]運用素數(shù)分布的結(jié)果證實了此猜想，不過他的證明非初等.

通過表1，我們又得到

猜想2 當(dāng)且僅當(dāng)p=1或p與p+2是一對孿生素數(shù)時，f（p+1）是f（n）的一個單位.本文運用初等方法證明了上述猜想，即證明了

定理1 當(dāng)且僅當(dāng)p=1或p與p+2是一對孿生素數(shù)時，f（p+1）=1.

定理2若素數(shù)p≡1（mod 6），則f（p+1）=0.

推論f（n）有無窮多個零點.

2 引理

引理 形如p≡1（mod 6）的素數(shù)有無窮多個.

證明 可參見文獻(xiàn)[4].

3 定理的證明

先證定理1.

當(dāng)p=1時，由表1知，f（2）=1.設(shè)p與q=p+2是一對孿生素數(shù)，n=p+1，此時適合k|( )n-1的正整數(shù)k僅有k=1和p.顯然，當(dāng)k=1時，kn+1=n+1=p+2=q是素數(shù)，且（n-1）/k=n-1=p不是合數(shù)，故f（p+1）=f（n）=1.

表1 不超過100的n對應(yīng)的f(n)的函數(shù)值Tab.1 The function value of f(n)corresponds to n＜100

反之，設(shè)f（n）=1，則由定義知kn+1=n+1=q應(yīng)為素數(shù).又（n-1）/k=n-1不是合數(shù)，故n-1=1或p（p為素數(shù)）.此時n=2或p+1.再由n=p+1=q-1知q-p=2，故p，q是一對孿生素數(shù).證畢.

再證定理2.

設(shè)p是奇素數(shù)，且p≡1（mod 6），n=p+1，此時適合k|( )

n-1 的正整數(shù)k僅有k=1和p.當(dāng)k=1時，kn+1=n+1=p+2≡3（mod 6）不是素數(shù)；當(dāng)k=p時，kn+1=p（p+1）+1≡3（mod 6）也不是素數(shù)，故f（p+1）=f（n）=0.證畢.

由引理知，形如p≡1（mod 6）的素數(shù)有無窮多個，故f（n）的零點p+1有無窮多個，推論得證.

此外，從表1還可以得出：f（n）是非積性函數(shù).

由于f（n）是一個新的數(shù)論函數(shù)，它還有許多性質(zhì)值得人們?nèi)ヌ接?比如

問題1當(dāng)正整數(shù)n為何值時，f（n）=n-1？

問題2f（n）是否存在無窮多個單位？

問題3 當(dāng)m，n滿足怎樣的關(guān)系時，f（m）=f（n）？

[1]Guy R K.Unsolved problemsin number theory[M].New York：Springer Verlag,1981.

[2]Murthy A,Bencze M.Open question 1520[J].Octogon Math.Mag,2004,12(2)：1009.

[3]樂茂華.一類數(shù)論函數(shù)的零點[J].湛江師范學(xué)院學(xué)報,2011,32（6）：41-42.

[4]管訓(xùn)貴.初等數(shù)論[M].合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2011：184-185.