曲面筆式加工刀位點(diǎn)曲線的實(shí)時(shí)擬合*

孟書云

(南京工程學(xué)院自動(dòng)化學(xué)院，江蘇南京211167)

復(fù)雜曲面常規(guī)加工是將刀位點(diǎn)軌跡處理成大量直線或圓弧組成的加工代碼，由CNC系統(tǒng)內(nèi)簡單曲線插補(bǔ)功能，生成控制指令來驅(qū)動(dòng)伺服系統(tǒng)。這會(huì)使加工代碼量巨大，機(jī)床需頻繁加減速以及出現(xiàn)加工表面不光順等問題［1－3］。

為避免上述問題，Yang等提出了基于離散刀位點(diǎn)的復(fù)合刀具路徑生成方法［4］;Kang等給出了基于最小二乘法的采用B樣條精確擬合刀位點(diǎn)軌跡的方法［5］;上述方法未提及離散刀位點(diǎn)的來源，同時(shí)為達(dá)到擬合的高精度，需進(jìn)行迭代計(jì)算，運(yùn)算量較大，存在迭代不收斂的可能性。Zhao等利用B3數(shù)學(xué)模型實(shí)現(xiàn)了數(shù)控加工刀位點(diǎn)軌跡規(guī)劃，在反求控制定點(diǎn)時(shí)涉及求取邊界切矢，而擬合曲線對邊界條件敏感，選取不當(dāng)會(huì)使擬合曲線畸變［6］;Chen等面向三角網(wǎng)格曲面提出了圓弧樣條刀軌生成方法，但僅局限于三角片型曲面的刀路規(guī)劃［7］。

針對復(fù)雜曲面筆式加工，提出一種刀位點(diǎn)軌跡實(shí)時(shí)高精度生成算法:根據(jù)插補(bǔ)器中讀入的曲面、刀觸點(diǎn)等幾何信息以及刀具、加工余量等工藝信息，用三次B樣條曲線實(shí)時(shí)重構(gòu)刀位點(diǎn)軌跡線，來高精度逼近理想刀位點(diǎn)軌跡。

1 曲線數(shù)學(xué)模型

曲面筆式加工以曲面局部區(qū)域?yàn)榧庸ο螅吹毒呗窂皆谥付ǖ那婢植考庸^(qū)域上進(jìn)行規(guī)劃。以曲面上某一點(diǎn)的法矢量作為投影方向，將一族空間自由曲線作平移旋轉(zhuǎn)變換，使投影后的一系列曲線能正好落在曲面待加工的局部區(qū)域上。

如圖1所示，以三次B樣條方法描述的初始導(dǎo)引線P(m)，經(jīng)旋轉(zhuǎn)平移變換后，再繞曲面在投影處法矢量旋轉(zhuǎn)，得到目標(biāo)導(dǎo)引線Q(m)。

將目標(biāo)導(dǎo)引線Q(m)沿曲面上投影點(diǎn)的法矢量映射，最終投影在曲面上的曲線才是實(shí)際加工時(shí)的刀觸點(diǎn)跡線。復(fù)雜曲面多采用參數(shù)形式描述，故提出的算法以參數(shù)式曲面作為研究對象，表示為2個(gè)變數(shù)u、v的單值函數(shù)S(u，v)。設(shè)單位投影矢量為O，其刀觸點(diǎn)跡線可表示為

其中:F(m，n)為由目的導(dǎo)動(dòng)線形成的參數(shù)式導(dǎo)動(dòng)曲面;m、n為該曲面的2個(gè)參數(shù)(a≤m≤b，－∞ ＜n＜+∞)，并以三次B樣條方法描述的參數(shù)式曲面S(u，v)作為筆式加工的對象;di，j為曲面的控制頂點(diǎn);s、t分別為參數(shù)u和參數(shù)v方向上的控制頂點(diǎn)數(shù)。

2 刀位點(diǎn)數(shù)據(jù)的獲取

由式(1)可看出，刀觸點(diǎn)跡線由待加工曲面和一族導(dǎo)動(dòng)曲面的交線族組成。由于待加工曲面和導(dǎo)動(dòng)曲面的數(shù)學(xué)描述都是關(guān)于參數(shù)的高次耦合表達(dá)式，故無法直接得到交線的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

為此，從目的導(dǎo)引線出發(fā)，據(jù)其和刀觸點(diǎn)跡線之間的幾何和運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，找到兩者之間的聯(lián)系。由于目的導(dǎo)引線與初始導(dǎo)引線之間存在一一映射的關(guān)系，故初始導(dǎo)引線和曲面上的自由曲線型刀觸點(diǎn)跡線之間亦存在一一對應(yīng)關(guān)系。

如圖2所示，目的導(dǎo)引線Q(m)和刀觸點(diǎn)軌跡線L(u)是一對空間曲線偶。當(dāng)加工的刀具沿L(u)運(yùn)動(dòng)到某點(diǎn)A時(shí)，在目的導(dǎo)引線Q(m)上必存在唯一一點(diǎn)B與之相對應(yīng)，將點(diǎn)A和點(diǎn)B稱為點(diǎn)偶。

設(shè)刀具在刀觸點(diǎn)跡線(即S(u，v)和F(m，n)交線)A處速度為v2，而目的導(dǎo)引線上對應(yīng)點(diǎn)B處速度為v1，兩速度矢量之間的夾角為θ，則

其中NS|A和NF|A分別表示曲面 S(u，v)和 F(m，n)在點(diǎn)A處法矢量;Q′(m)|B表示目的導(dǎo)引線在點(diǎn)B處的切矢量。

設(shè)插補(bǔ)進(jìn)給速度為V，時(shí)間用t表示，由于時(shí)間增量非常小，故可以將兩參數(shù)曲面交線的弧長ds對時(shí)間的微分近似為插補(bǔ)進(jìn)給速度，即

刀具沿該刀觸點(diǎn)跡線加工時(shí)，若保持刀觸點(diǎn)速度的恒定，就能保證恒定的材料去除率，有利于曲面加工質(zhì)量的提高。

為簡化計(jì)算，將速度矢量v1和v2及兩者夾角θ構(gòu)成的一般三角形近似為直角三角形，則

而目的導(dǎo)引線Q(m)上的微段曲線關(guān)于時(shí)間t的一階導(dǎo)數(shù)，有:

同理可求出參數(shù)m關(guān)于時(shí)間t的二階導(dǎo)數(shù)。

從初始導(dǎo)動(dòng)曲線P(m)(a≤m≤b)出發(fā)，考慮該曲線關(guān)于插補(bǔ)周期Δt的Taylor展開式。設(shè)曲線上當(dāng)前點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)值為mk，下一點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)值為mk+1，則

其中:Rn(Δt)是Taylor展開式的高次項(xiàng)。當(dāng)曲線P(m)的曲率不是很小時(shí)，可以將mk+1的值只取至一次項(xiàng)。至此，求出了刀觸點(diǎn)軌跡線上相鄰刀觸點(diǎn)在初始導(dǎo)引線上對應(yīng)點(diǎn)的參數(shù)值。

將式(6)求得的參數(shù)值代入式(1)，可反求出刀觸點(diǎn)跡線的點(diǎn)在曲面上對應(yīng)的(u，v)值，進(jìn)而得到該點(diǎn)的坐標(biāo)值。

目前大多數(shù)數(shù)控系統(tǒng)具有刀補(bǔ)功能，可直接用刀觸點(diǎn)坐標(biāo)插補(bǔ)加工，但當(dāng)加工自由曲面類零件時(shí)，直接用刀補(bǔ)功能將產(chǎn)生較大的誤差，需計(jì)算刀心軌跡，故需根據(jù)上述有序離散刀觸點(diǎn)及曲面、刀具等工藝信息，得到一組有序離散刀位點(diǎn)，進(jìn)而完成刀心軌跡的計(jì)算。

3 刀位點(diǎn)軌跡實(shí)時(shí)高精度構(gòu)造

在刀位點(diǎn)序列(已剔除產(chǎn)生干涉的刀位點(diǎn))中每隔一個(gè)時(shí)間段順次取出4個(gè)點(diǎn)，分段擬合理想刀位點(diǎn)軌跡線。每次擬合計(jì)算以連續(xù)4個(gè)刀位點(diǎn)作為輸入。如圖3所示，為提高刀位點(diǎn)軌跡擬合精度，采取“去兩邊，取中間”的策略，使用三次B樣條曲線作為擬合曲線數(shù)學(xué)模型，即連續(xù)4個(gè)刀位點(diǎn)Pi(i=0，1，…，3)可反求出6個(gè)控制頂點(diǎn)，其決定的曲線如圖3中細(xì)實(shí)線所示(首末控制頂點(diǎn)分別為P0、P3，其余控制頂點(diǎn)di(i=1，…，4)用“Δ”表示)。

每順序4個(gè)控制頂點(diǎn)決定一個(gè)節(jié)點(diǎn)區(qū)間上的曲線段。生成的3段三次B樣條曲線段，保留中間一段，即控制頂點(diǎn)di(i=1，…，4)生成的曲線段，作為對刀位點(diǎn)數(shù)據(jù)P1、P2之間理想刀位點(diǎn)軌跡線的擬合。對于刀位點(diǎn)P2、P3之間的理想刀位點(diǎn)軌跡，由過 Pi(i=0，1，…，3)的三次B樣條曲線擬合，保留位于P2、P3之間的曲線段，依此類推。

在對刀位點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合時(shí)，有兩個(gè)問題需要解決:一個(gè)是如何進(jìn)行準(zhǔn)確的參數(shù)化得到合適的節(jié)點(diǎn)矢量;另一個(gè)是如何確定恰當(dāng)?shù)倪吔鐥l件作為補(bǔ)充條件，用于控制頂點(diǎn)的求取。

顯然，這些有序刀位點(diǎn)數(shù)據(jù)確定的理想刀位點(diǎn)跡線的弧長是個(gè)未知量。由文獻(xiàn)［8］可知，利用通過相鄰刀位點(diǎn)且弦高為δ(即刀心軌跡的加工精度)的圓弧段弧長來近似理想刀位點(diǎn)跡線的弧長，即使用近似圓弧法參數(shù)化方法，比使用均勻節(jié)點(diǎn)法、向心法和累積弦長法要更加精確。

設(shè)相鄰刀位點(diǎn)Pi、Pi+1的連線長度為L，則近似圓弧段的圓弧半徑為

圓弧弧長S為

為保證擬合的三次B樣條曲線通過給定的4個(gè)連續(xù)刀位點(diǎn) Pi(i=j，j+1，…，j+3)，以近似圓弧參數(shù)化法求得的參數(shù)矢量，需在參數(shù)區(qū)間端點(diǎn)設(shè)置重節(jié)點(diǎn)并進(jìn)行歸一處理。

設(shè)輸入的4個(gè)刀位點(diǎn)數(shù)據(jù)為Pi(i=0，1，…，3)以及單位切矢量˙Pi(i=0，…，3)。由樣條曲線性質(zhì)可知，有6個(gè)控制頂點(diǎn)di(i=0，1，…，5)待求，而歸一化后的節(jié)點(diǎn)矢量為 U=［0，0，0，0，u4，u5，1，1，1，1］，其中

每次計(jì)算，僅需更新u4、u5即可。

對于本問題，求解用于擬合的三次B樣條曲線控制頂點(diǎn)的方程組可表示為

其中:Ni，3(ui)(i=0，1，…，3)是節(jié)點(diǎn)區(qū)間端點(diǎn)處的三次四階B樣條基函數(shù)。由基函數(shù)遞推公式可知，非零值共3個(gè)，由于采用了近似圓弧參數(shù)化，每個(gè)基函數(shù)的值需實(shí)時(shí)計(jì)算。

由已知條件得知式(10)解不確定，需再補(bǔ)充2個(gè)條件，擬通過曲線兩端切矢條件建立邊界約束。由刀觸點(diǎn)跡線和刀心軌跡的形成過程可知，用于擬合的三次B樣條曲線，在每個(gè)有序離散刀位點(diǎn)處的切矢方向是可求的，但模長不易確定，而不恰當(dāng)?shù)哪ｉL通過反求得到的刀心軌跡存在畸變的可能［9］。

根據(jù)曲線的微分幾何理論［10］，曲線的弧長是自身的不變量，選取弧長作為參數(shù)來描述曲線，有使曲線上每一點(diǎn)處切向量為單位向量的性質(zhì)。而近似圓弧參數(shù)化方法可以使得擬合的曲線上每一點(diǎn)的切矢量近似為單位切矢。

由于節(jié)點(diǎn)矢量U={ui}，i=0，…，9，假設(shè)算子=ui+j－ui，而刀心軌跡L(u)在指定參數(shù)處的切矢量分別為

則補(bǔ)充的兩個(gè)條件為

4 實(shí)例分析

研究測試加工對象如圖4所示，被加工曲面采用三次B樣條方法描述，曲面控制頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)列于表1中，長寬高分別為120 mm×120 mm×55 mm。

表1 曲面部分控制頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)表 mm

設(shè)定加工進(jìn)給速度為3 000 mm/min，插補(bǔ)周期為8 ms。將平面上的梅花和字符組成的組合圖案，經(jīng)平移旋轉(zhuǎn)變換調(diào)整到合適的狀態(tài)，投影到該曲面上，生成刀觸點(diǎn)軌跡如圖4所示。部分刀觸點(diǎn)相關(guān)數(shù)據(jù)列于表2中。以刀頭直徑為3 mm的球頭刀為加工刀具，沿刀觸點(diǎn)處曲面外法矢量方向作為偏置方向，得到有序的離散刀位點(diǎn)數(shù)據(jù)系列。

表2 部分刀觸點(diǎn)相關(guān)數(shù)據(jù)表 mm

在CPU主頻為1.66 GHz，內(nèi)存為1 M的硬件環(huán)境以及Windows XP操作系統(tǒng)環(huán)境下，基于Visual C++6.0軟件開發(fā)平臺(tái)，由給出的算法對有序離散刀位點(diǎn)進(jìn)行三次B樣條曲線逐段擬合，每4個(gè)刀位點(diǎn)反求6個(gè)控制頂點(diǎn)所需時(shí)間列于表3中，平均用時(shí)0.014 ms。

表3 離散刀位點(diǎn)反求所需時(shí)間表 ms

與傳統(tǒng)的大量連續(xù)直線段作為刀心跡線相比，采用三次B樣條曲線擬合刀位點(diǎn)跡線帶來的曲面輪廓誤差如圖5所示。

因三次B樣條擬合嚴(yán)格通過所給定的刀位點(diǎn)，故加工時(shí)在這些點(diǎn)是沒有誤差的。與直接將離散刀位點(diǎn)順序連接形成的直線段作為刀心跡線相比，采用三次B樣條擬合刀心跡線，弓高誤差明顯減小。

5 結(jié)語

文中探討了復(fù)雜曲面筆式加工時(shí)，使用三次B樣條曲線實(shí)時(shí)高精度逼近理想刀位點(diǎn)軌跡的算法。算法的實(shí)現(xiàn)有利于對自由曲線軌跡進(jìn)行高精度控制，大幅減少了加工代碼量和內(nèi)存占用量，為自由曲面的高精密加工奠定了理論基礎(chǔ)。關(guān)于實(shí)時(shí)剔除會(huì)產(chǎn)生干涉的刀位點(diǎn)的算法，仍以順次4個(gè)刀位點(diǎn)為一組進(jìn)行實(shí)時(shí)干涉分析，待另撰文詳述。

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