模擬訓(xùn)練機(jī)模型簡化算法的研究

孟慶松， 原海勃

(哈爾濱理工大學(xué)自動化學(xué)院，哈爾濱 150080)

0 引言

目前，現(xiàn)代模擬訓(xùn)練機(jī)仿真理論及技術(shù)已發(fā)展成為獨(dú)立的高科技領(lǐng)域，對于高精確度和昂貴的模擬設(shè)備系統(tǒng)而言，其優(yōu)點(diǎn)尤為明顯。由于模擬訓(xùn)練機(jī)的仿真品質(zhì)直接取決于復(fù)現(xiàn)被仿真過程參數(shù)的精確度，所以仿真過程的數(shù)學(xué)模型就成為了模擬訓(xùn)練機(jī)仿真系統(tǒng)中一個非常重要而又獨(dú)立的關(guān)鍵部分。而過程數(shù)學(xué)模型的解算需要求解復(fù)雜高階矩陣方程的數(shù)值解，其求解的復(fù)雜性使得很多現(xiàn)代模擬訓(xùn)練機(jī)控制過程的仿真變得難以全真實(shí)時實(shí)現(xiàn)。在研究模擬訓(xùn)練機(jī)的仿真問題時，在滿足人的感官和視覺要求的前提下，通常對其模型的解算進(jìn)行簡化，即對其完成各種實(shí)際動作或過程的控制系統(tǒng)采用模型簡化的算法加以仿真實(shí)現(xiàn)，以適應(yīng)仿真效果的實(shí)時性和真實(shí)感。其實(shí)，存在許多種系統(tǒng)模型簡化的方法，而模型簡化的基本方法大致可分為時域法和頻域法兩種，比較常見的時域法包括連分式法［1］、Pade逼近法［2］、Routh 逼近法［3］等，而頻域法包括集結(jié)法［4－5］、平衡降階法［6］等。其中有些方法只適用于單輸入單輸出系統(tǒng)，有些方法不能保持系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還有些方法無法保證較高的輸出精確度。當(dāng)然也有將模型簡化與神經(jīng)網(wǎng)、預(yù)測控制等控制理論相結(jié)合的方法，因其實(shí)用性、應(yīng)用范圍等因素的限制而實(shí)際應(yīng)用很少。

本文研究的是仿真過程中數(shù)學(xué)模型的降階算法和求解高階矩陣方程的簡化仿真算法，提出一種設(shè)計思想，即在過程動態(tài)時采用通用濾波器的快速仿真算法，在穩(wěn)態(tài)時采用模型降階和時矩輸出擬合相結(jié)合的算法。該設(shè)計理念不僅適用于多輸入多輸出系統(tǒng)，還可以保持系統(tǒng)的穩(wěn)定性、可控性和可觀性，并具有較高的輸出擬合精確度。采用對過程的模型降階和動態(tài)響應(yīng)快速仿真等算法，目的是提高過程動態(tài)和穩(wěn)態(tài)仿真解算時的準(zhǔn)確度和實(shí)時性。

1 降階算法

對于模擬訓(xùn)練機(jī)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型降階算法，下面簡單介紹兩種比較典型的方法，即基于內(nèi)平衡理論的奇異攝動降階方法和基于有序?qū)峉chur分解理論的降階方法。這兩種方法主要針對的是多輸入多輸出線性穩(wěn)定系統(tǒng)，具有輸出精確度高、靈活簡便等優(yōu)點(diǎn)。

1.1 基于內(nèi)平衡理論的奇異攝動降階方法

Moore利用系統(tǒng)的可控、可觀的概念，最先提出了一種平衡降階方法，即所謂系統(tǒng)的內(nèi)平衡實(shí)現(xiàn)理論［7］。基于這種理論，可以確定線性定常、漸近穩(wěn)定系統(tǒng)的降階模型。

考慮線性多變量定常系統(tǒng)S1，即

式中:X∈Rn×1為狀態(tài)向量;U∈Rm×1為輸入向量;Y∈Rp×1為輸出向量;A、B、C 為常量矩陣。則該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為

式中，In為n階單位陣。

1)根據(jù)內(nèi)平衡理論，利用可控與可觀Grammian矩陣可將系統(tǒng)S1等價變換為平衡系統(tǒng)S2，即

2)根據(jù)系統(tǒng)G(s)的奇異值大小分布，可將系統(tǒng)S2作如下形式分解，即

系統(tǒng)G(s)的奇異值σi的定義為σi［G(s)］=［λi(WcWo)］1/2，其中，λi為特征值，i=1，2，…，n，Wc為可控Grammian陣，Wo為可觀Grammian陣，而且二者滿足Lyapunov方程，即

若σk+1?σk，其中，k為降階模型的階次，則狀態(tài)中的部分基本上不影響系統(tǒng)的輸入輸出行為，即剔除狀態(tài)中弱的可控可觀部分對系統(tǒng)的行為沒太大影響［8］。這說明系統(tǒng)S3:{}是原系統(tǒng)的良好的低階近似，即低階模型的傳遞函數(shù)陣為

式中，Ik為k階單位陣。

1.2 基于有序?qū)峉chur分解理論的降階方法

同樣對于如式(1)所示的系統(tǒng)，設(shè)A陣的特征根按實(shí)部遞減順序排列為λ1，λ2，…，λn，且Re［λk］?Re［λk+1］，其中，k＜n。

1)根據(jù)有序?qū)峉chur分解定理可知，存在正交矩陣U，使得A陣的有序?qū)峉chur分解為

式中:A11∈Rk×k;A12∈Rk×(n－k);A22∈R(n－k)×(n－k);λi(A11)= λi(A)，i=1，2，…，k;UT=U－1;而λ(A11)、λ(A)分別為 A11、A 陣的特征根。

于是，在等價變換T=UV下，原系統(tǒng)S1變?yōu)镾～

2，即

由于U為正交矩陣，且求解Sylvester方程(7)是數(shù)值可靠的，所以變換T=UV是數(shù)值穩(wěn)定的。

式中:G1(s)=C1(sIk－A11)－1B1;G2(s)=C2(sIn－k－A22)－1B2;而 G(s)=C(sIn－ A)－1B=Ca(sIn－Aa)－1Ba。也就是將原系統(tǒng)S1分成為兩個獨(dú)立的子系統(tǒng)之和，取主導(dǎo)極點(diǎn)子系統(tǒng)作為降階系統(tǒng)，即

1.3 時矩輸出擬合

依據(jù)降階準(zhǔn)則，根據(jù)式(5)或式(10)可得

下面討論兩種情況:

可以看出，這樣得出的降階模型S4可以保持原系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)值，但由于其前饋傳輸矩陣為 Dr=，而在一般情況下，矩陣D和原系統(tǒng)的r零陣是不相等的，因此降階模型S4的初始響應(yīng)值可能與原系統(tǒng)不一致。

為使降階模型S4具有與原系統(tǒng)S1相同的初始響應(yīng)值和相近的穩(wěn)態(tài)值，必須再對所得的系統(tǒng)模型S4加以修正。

首先將模型S4形式修正成模型S5，如式(13)所示，然后再進(jìn)行其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)值的時矩擬合。

式中，B'r∈Rk×m為需要擬合的輸入矩陣。模型形式這樣處理可使模型S5與原模型S1具有相同的初始響應(yīng)值，但為保證二者還具有相同或相近的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)值，則必須滿足下列條件，即

1)當(dāng)k/p=j，j為整數(shù)時，可唯一求得B'r陣。

2)當(dāng)k/p=j，j不為整數(shù)時，利用最小二乘原理化為正規(guī)方程組，從而得到其最小二乘解，即以最小誤差擬合穩(wěn)態(tài)響應(yīng);或者可再適當(dāng)列寫一些方程，使其與矩陣方程(14)構(gòu)成一個封閉方程組來求解B'r陣。這樣使得降階模型進(jìn)一步逼近原系統(tǒng)，如在動態(tài)響應(yīng)、穩(wěn)態(tài)響應(yīng)及相對穩(wěn)定性等方面作進(jìn)一步的擬合逼近。

圖1 模型S1與S5的單位階躍響應(yīng)之差曲線Fig．1 The unit step response difference of Models S1and S5

1.4 實(shí)例仿真

對某型號坦克模擬訓(xùn)練機(jī)的雙輸入雙輸出的六階控制系統(tǒng)降維到四階系統(tǒng)，采用上述的基于系統(tǒng)矩陣有序?qū)峉chur分解的降階方法和時矩輸出擬合的方法，通過Matlab仿真可以得到六階原系統(tǒng)與四階降階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)之差，其曲線如圖1所示。

由圖1可知，采用時矩擬合的降階模型可以滿足輸出響應(yīng)的精確度要求，比如在本例的雙輸入雙輸出系統(tǒng)的響應(yīng)中，輸出擬合的精確度范圍可達(dá)輸入幅值的0.000 5～0.058倍。還可以通過適當(dāng)增加降階系統(tǒng)的階次進(jìn)一步提高輸出的精確度。

2 通用濾波器的快速仿真算法

為了提高模擬訓(xùn)練機(jī)仿真系統(tǒng)的實(shí)時性，同時保證人體感受的仿真效果，提出根據(jù)通用濾波器的計算結(jié)果近似仿真過程動態(tài)響應(yīng)的建模方法。這種方法將系統(tǒng)的動態(tài)行為或過程通過通用濾波器的設(shè)計方法進(jìn)行線性擬合，盡可能使通用濾波器的輸出較好地逼近系統(tǒng)的實(shí)際輸出，以滿足模擬機(jī)的仿真精確度要求。也就是說，針對高階復(fù)雜系統(tǒng)，包括非線性系統(tǒng)，其動態(tài)響應(yīng)的當(dāng)前值用過去時刻的系統(tǒng)輸出值做一個適當(dāng)?shù)木€性組合，達(dá)到輸出擬合的目的。由于采用線性化擬合的設(shè)計思想，使得在線仿真的計算量較小，同時可通過編程靈活地改變其延遲時間和相應(yīng)的擬合系數(shù)以提高仿真精確度。由于需要實(shí)時仿真計算的動態(tài)模型是大量的，為了降低仿真過程中的計算負(fù)荷，不能完全采用如上的降階方法，而是采用通用濾波器的快速算法對對象過程的動態(tài)響應(yīng)進(jìn)行仿真擬合。

該算法采用n階濾波器進(jìn)行仿真計算時，應(yīng)遵循以下3個準(zhǔn)則:1)使人無法覺察到與原系統(tǒng)的實(shí)際動態(tài)響應(yīng)值的偏差;2)過渡過程時間大約為n倍的延遲時間;3)濾波器的參數(shù)(包括延遲時間和系數(shù)向量)可人為在線修改。

應(yīng)用n階濾波器對過程的動態(tài)特性快速仿真擬合算法可按如下步驟進(jìn)行［11］:

1)給定原系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及輸入信號的形式，并得到相應(yīng)的輸出響應(yīng)特性;

2)根據(jù)原系統(tǒng)的動態(tài)特性及變化趨勢確定濾波器的延遲時間和濾波器的階數(shù);

3)將濾波器與原系統(tǒng)的輸出響應(yīng)的初始值點(diǎn)置為重合;

4)按照濾波器系數(shù)向量的先后次序分別湊試取值，使濾波器與原系統(tǒng)的輸出響應(yīng)逐步逼近到允許的公差范圍之內(nèi)，一直到二者的響應(yīng)取得滿意的擬合效果，否則再從步驟2)重新修正。

下面給出某模擬訓(xùn)練機(jī)一個側(cè)向運(yùn)動動態(tài)模型G(s)，即

式中:Fk，t=Eke|t－(k+1)τ|，t=0 ～ 511 s;Ek=［0.006，0.005，0.007 4，0.009，0.01，0.01，0.008，0.009］。

通過Matlab仿真，可得到該模型采用通用濾波器的快速算法后的輸出擬合曲線，如圖2所示。這里需要注意的是擬合過程有一定的延時，所以為了更方便的比對，圖2中將原系統(tǒng)與濾波器的方波響應(yīng)(實(shí)際上二者的響應(yīng)被放大了10倍)平移到相同的時刻上。

這里，輸入信號用e表示，擬合延時用τ表示，取τ=20 s。這樣，對模型輸出y的線性擬合采用下式來進(jìn)行，即

圖2 通用濾波器與原系統(tǒng)階躍響應(yīng)的輸出曲線Fig．2 The unit step response of universal filter and the original system

由圖2可知，通用濾波器的輸出曲線較好地模擬了系統(tǒng)的實(shí)際輸出，達(dá)到了模擬機(jī)仿真的感官效果。

3 結(jié)語

通過上述的理論分析可知，基于系統(tǒng)矩陣Schur分解或平衡變換的模型降階方法適用于多輸入多輸出的線性系統(tǒng)，可以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性、可控性和可觀性。從仿真的結(jié)果來看，在動態(tài)時為了提高實(shí)時性，簡化模型的解算過程，可以采用通用濾波器的快速仿真算法，以達(dá)到人體感官滿意的模擬效果，而在穩(wěn)態(tài)時為了提高簡化模型的近似精確度，可以采用模型降階和時矩擬合相結(jié)合的算法，以獲取更高的輸出擬合精確度。因此，在模擬訓(xùn)練機(jī)控制系統(tǒng)的仿真和建模時，將對象仿真的過程分為動態(tài)和穩(wěn)態(tài)兩個階段，過程的動態(tài)特性仿真通過通用濾波器的設(shè)計方法進(jìn)行簡單的線性擬合，盡可能使通用濾波器的輸出較好地逼近系統(tǒng)的實(shí)際輸出，以達(dá)到模擬機(jī)對人體感官的仿真效果。而穩(wěn)態(tài)特性則采用基于系統(tǒng)矩陣Schur分解或平衡變換的模型降階與時矩輸出擬合相結(jié)合的算法以獲取較高的擬合精確度。這樣，在實(shí)際系統(tǒng)工作時可大大縮短計算模型所耗費(fèi)的機(jī)時，提高過程模擬的反應(yīng)速度。

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