一類欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的頻域反步法設(shè)計(jì)

何朕， 王廣雄， 楊文哲

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)控制科學(xué)與工程系，黑龍江哈爾濱 150001)

0 引言

欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)是指系統(tǒng)的控制輸入的個(gè)數(shù)m少于自由度數(shù)目n，即m＜n。在生產(chǎn)和科研活動(dòng)中有不少的機(jī)械系統(tǒng)和運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)都是欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)。對(duì)于用運(yùn)動(dòng)學(xué)模型來(lái)描述的欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，例如輪式機(jī)器人，系統(tǒng)的主要問(wèn)題是具有不可積分的運(yùn)動(dòng)學(xué)(或速率)約束，稱為非完整控制［1］，非完整系統(tǒng)的鎮(zhèn)定需要用不連續(xù)或不光滑的反饋控制律。對(duì)于具有動(dòng)能T的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)問(wèn)題可通過(guò)Lagrange方程來(lái)進(jìn)行描述，欠驅(qū)動(dòng)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)也可能存在類似的約束，即不可積分的動(dòng)力學(xué)(或加速度)約束［2-3］，也是不能用光滑的控制律來(lái)進(jìn)行鎮(zhèn)定的。不過(guò)有相當(dāng)一部分的欠驅(qū)動(dòng)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)并不存在不可積分的約束，這些系統(tǒng)就可以用光滑的控制器。即使是具有不可積分約束的欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，如果只研究其跟蹤控制問(wèn)題，也可以采用連續(xù)控制律［4-7］。對(duì)于這些可以采用連續(xù)控制律的系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，常規(guī)的控制設(shè)計(jì)方法原則上都是可以用的，較為系統(tǒng)性的有Ortega的對(duì)互聯(lián)結(jié)構(gòu)與阻尼進(jìn)行配置的無(wú)源性控制(interconnection and damping assignment-passivity based control，IDA-PBC)［8-9］。不過(guò)這種無(wú)源性IDA-PBC的偏微分方程一般是很難處理的，而且IDA-PBC法一般只談穩(wěn)定性，并不包含控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中的性能(performance)內(nèi)容。與IDA-PBC法平行的各種非線性(狀態(tài)空間)方法原則上也都可以用來(lái)對(duì)欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)，例如輸入輸出精確線性化方法［10］，Kokotovi c＇的反步法 (backstepping)［11-12］和 H∞擾動(dòng)抑制控制［13-15］等方法，其中反步法設(shè)計(jì)也是一種系統(tǒng)性的設(shè)計(jì)方法，并且得到廣泛的認(rèn)同。

對(duì)于欠驅(qū)動(dòng)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，根據(jù)其廣義坐標(biāo)之間的相互關(guān)系還可分為有動(dòng)態(tài)聯(lián)系和無(wú)動(dòng)態(tài)聯(lián)系的系統(tǒng)。有動(dòng)態(tài)聯(lián)系的系統(tǒng)又稱為有耦合的系統(tǒng)，例如對(duì)垂直起降飛機(jī)來(lái)說(shuō)，滾動(dòng)力矩和橫向加速度之間是有耦合的［5］。對(duì)于有耦合的系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，如果采用反步法來(lái)設(shè)計(jì)，就需要通過(guò)坐標(biāo)變換和輸入變換，先將其解耦并變換成嚴(yán)格反饋系統(tǒng)，再采用反步法［3-5］。不過(guò)這種有耦合的系統(tǒng)的設(shè)計(jì)一般還是比較容易處理的。因?yàn)樵谶@種系統(tǒng)中，即使是被動(dòng)的自由度，也還可以通過(guò)耦合項(xiàng)與控制輸入建立聯(lián)系。相比之下，無(wú)動(dòng)態(tài)聯(lián)系的欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的控制設(shè)計(jì)就有一定的難度。因?yàn)闊o(wú)動(dòng)態(tài)聯(lián)系的欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)只能通過(guò)廣義坐標(biāo)建立起聯(lián)系，如果系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，廣義坐標(biāo)等于零，這時(shí)系統(tǒng)中的被動(dòng)自由度與控制輸入的聯(lián)系就中斷了。所以從控制的角度來(lái)說(shuō)，無(wú)動(dòng)態(tài)聯(lián)系的欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的控制設(shè)計(jì)的難度就會(huì)更大一些。本文以無(wú)動(dòng)態(tài)聯(lián)系的欠驅(qū)動(dòng)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)作為欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的代表來(lái)進(jìn)行研究，這樣更能反映出本文所提出的設(shè)計(jì)方法的特點(diǎn)。

從反步法來(lái)說(shuō)，標(biāo)準(zhǔn)的反步法是一種狀態(tài)空間方法［12］，是先從一個(gè)可鎮(zhèn)定的子系統(tǒng)(一般是一個(gè)一階的子系統(tǒng))開(kāi)始，設(shè)計(jì)一反饋控制律。由于該子系統(tǒng)的實(shí)際輸入量并不是設(shè)計(jì)時(shí)用的這個(gè)虛擬輸入，二者是有誤差的，所以要再在該子系統(tǒng)前加一積分環(huán)節(jié)來(lái)消除誤差，這樣逐級(jí)遞推設(shè)計(jì)直到所要加的虛擬輸入是真正的控制輸入 u［4，11，16］。這樣逐級(jí)遞推可得到Lyapunov函數(shù)的一個(gè)遞推公式，根據(jù)該Lyapunov函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要小于零的條件，算得所要求的控制律u。不過(guò)這種狀態(tài)空間反步法也存在著一些問(wèn)題。第一個(gè)問(wèn)題是控制律中的求導(dǎo)運(yùn)算。因?yàn)榉床椒ㄌ幚淼南到y(tǒng)一般都包含不確定性，有的是非線性與未知參數(shù)相乘而形成的參數(shù)不確定性，有些非線性項(xiàng)則僅知其攝動(dòng)的界，而設(shè)計(jì)要求系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要小于零，即V·＜0。根據(jù)這個(gè)不等式來(lái)求解的控制律中就會(huì)出現(xiàn)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，包括對(duì)一些非線性函數(shù)的求導(dǎo)。反步法中一步接一步的遞推運(yùn)算，會(huì)使求導(dǎo)運(yùn)算的項(xiàng)目迅速增加，大量的求導(dǎo)運(yùn)算成為反步法應(yīng)用時(shí)的一個(gè)累贅［3，17-18］。常規(guī)反步法的第二個(gè)問(wèn)題是設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)時(shí)往往是一個(gè)單回路系統(tǒng)［11，18］。由于是單回路系統(tǒng)，魯棒性差，容易受到參數(shù)攝動(dòng)和各種擾動(dòng)的影響，所以反步法設(shè)計(jì)常還要另外附加一些魯棒性和自適應(yīng)的設(shè)計(jì)考慮［11-12］。另外，反步法中還要求這些攝動(dòng)能用有界算子來(lái)描述，如果有相乘的非線性項(xiàng)，例如x1x24，就滿足不了這一要求［11-12］。針對(duì)上述反步法中的問(wèn)題，本文提出一種新的反步法設(shè)計(jì)思路，可以避免或至少可以改善上述的這些問(wèn)題，這就是頻域反步法。

1 頻域反步法設(shè)計(jì)

本文的反步法設(shè)計(jì)不是一個(gè)積分環(huán)節(jié)一個(gè)積分環(huán)節(jié)的往前推進(jìn)，而是根據(jù)可測(cè)到的物理變量，一個(gè)回路一個(gè)回路的往前推進(jìn)。具體來(lái)說(shuō)是，先從一個(gè)可鎮(zhèn)定的子系統(tǒng)開(kāi)始，設(shè)計(jì)一輸出反饋(虛擬的)。再根據(jù)對(duì)象本身的構(gòu)成往前推，設(shè)計(jì)第二個(gè)反饋回路來(lái)消除實(shí)際變量與這個(gè)虛擬輸入變量之間的誤差。這樣逐級(jí)遞推直到所要求的控制量是真正的控制輸入u。由于是一個(gè)回路一個(gè)回路的遞推進(jìn)行，一般系統(tǒng)也就只有2、3個(gè)回路，所以系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)比較簡(jiǎn)單。這里設(shè)所討論的系統(tǒng)的非線性狀態(tài)方程中的各函數(shù)向量都是光滑的，即系統(tǒng)在平衡點(diǎn)是可線性化的，所以可以先按線性化系統(tǒng)來(lái)設(shè)計(jì)，再分析其吸引域或穩(wěn)定區(qū)域。這種反步法從第二步開(kāi)始，系統(tǒng)的復(fù)雜度就增加了。因此作為一種系統(tǒng)性的方法來(lái)說(shuō)，宜采用H∞控制來(lái)進(jìn)行設(shè)計(jì)，即設(shè)計(jì)每一步的輸出反饋下的H∞控制律。這個(gè)H∞優(yōu)化求解與常規(guī)的反步法中遞推求解Lyapunov函數(shù)所起到的作用是相同的，是為了求得保證穩(wěn)定的最終的控制律。H∞控制理論是一種頻域設(shè)計(jì)(指設(shè)計(jì)指標(biāo)和設(shè)計(jì)考慮都是從頻域上來(lái)提出的)和狀態(tài)空間計(jì)算相結(jié)合的控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)理論［19］。因此，相對(duì)于狀態(tài)空間反步法來(lái)說(shuō)，本文的反步法可稱為頻域反步法。由于H∞設(shè)計(jì)中可包含魯棒性要求，而且所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)是由多重反饋回路所構(gòu)成的，所以頻域反步法比單回路的狀態(tài)空間反步法具有更強(qiáng)的魯棒性。不必要像狀態(tài)空間反步法那樣，每一步都要另外附加自適應(yīng)或魯棒性的考慮。

現(xiàn)結(jié)合一球-桿系統(tǒng)來(lái)進(jìn)行說(shuō)明。圖1為球-桿系統(tǒng)的示意圖［8，11，20］。圖中 τ為施加在桿上的力矩，α為桿的轉(zhuǎn)角，x為球在桿上的位置。這個(gè)球的位置x不是直接可控的，x是通過(guò)桿的轉(zhuǎn)動(dòng)來(lái)控制的。之所以舉球-桿系統(tǒng)為例，是因?yàn)榍?桿系統(tǒng)是這類無(wú)動(dòng)態(tài)聯(lián)系的欠驅(qū)動(dòng)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的典型系統(tǒng)。其非線性微分方程中就含有前面所說(shuō)的變量相乘的非線性項(xiàng)+。這里+號(hào)表示正反饋，x1為小球的位置，x4為桿轉(zhuǎn)動(dòng)的速率。從物理概念上來(lái)說(shuō)，就是當(dāng)偏差較大時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)中所產(chǎn)生的離心力會(huì)將桿上的小球甩出去。這種非線性項(xiàng)不能用有界算子來(lái)描述，所以球-桿系統(tǒng)包含了這類系統(tǒng)的設(shè)計(jì)難點(diǎn)，也經(jīng)常是一些新的系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法在提出時(shí)的研究對(duì)象［8，10，11］。

圖1 球－桿系統(tǒng)Fig．1 The ball and beam system

本例的背景是德國(guó)Amira公司生產(chǎn)的BW500球-桿系統(tǒng)，球的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ib=4.32×10-5kg·m2，球的質(zhì)量m=0.27 kg，球的半徑r=0.02 m，桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Iq=0.140 2 kg·m2。

這個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)能為

理論上桿的轉(zhuǎn)動(dòng) α對(duì)小球移動(dòng)的動(dòng)能是有影響的，但現(xiàn)已忽略，所以式(1)中并未出現(xiàn)xα項(xiàng)，即忽略了這兩個(gè)坐標(biāo)之間的動(dòng)態(tài)聯(lián)系。

該系統(tǒng)的勢(shì)能為

式中，g為重力加速度。

根據(jù)Lagrange方程式從式(1)和式(2)可得此球-桿系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程［20］為

現(xiàn)在用頻域反步法來(lái)進(jìn)行設(shè)計(jì)。對(duì)球-桿系統(tǒng)的平衡點(diǎn)x=0來(lái)說(shuō)，可以忽略式(3)和式(4)中的離心力項(xiàng)和哥氏加速度項(xiàng)，并令α→0°，得平衡點(diǎn)x=0處的線性化方程為

代入具體參數(shù)后為

式中:x的量綱為m;α的量綱為rad;u的量綱為V。

頻域反步法設(shè)計(jì)是先從低維的子系統(tǒng)開(kāi)始的，對(duì)該子系統(tǒng)設(shè)計(jì)一個(gè)虛擬的控制輸入。結(jié)合式(7)來(lái)說(shuō)，這第一步的子系統(tǒng)為

式中，uα為代替α的虛擬控制。式(9)的系統(tǒng)比較簡(jiǎn)單，可采用一般的PD控制，即

取此系統(tǒng)的一對(duì)極點(diǎn)為-2、-2，可得比例項(xiàng)和微分項(xiàng)的系數(shù)分別為

但是實(shí)際上α才是式(7)系統(tǒng)的真正輸入，設(shè)α與uα的誤差為Z1=α-uα，所以反步法的第二步是設(shè)計(jì)式(8)中的控制律u(即輸入力矩)來(lái)減少這個(gè)Z1，即使α收斂于這個(gè)虛擬的控制量uα。

圖2為用上述思路進(jìn)行反步法設(shè)計(jì)的框圖，圖中虛線右側(cè)就是與式(7)和式(8)對(duì)應(yīng)的球-桿系統(tǒng)。圖中的Kα(s)為這第2步要設(shè)計(jì)的控制器。圖中從u到誤差信號(hào)-Z1之間整個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)關(guān)系是第2步設(shè)計(jì)中的對(duì)象特性，設(shè)用G(s)來(lái)表示。由于現(xiàn)在的傳遞函數(shù)關(guān)系比較復(fù)雜，故第2步宜采用H∞設(shè)計(jì)，而這個(gè)G(s)就是H∞設(shè)計(jì)中的廣義對(duì)象。這一步設(shè)計(jì)中系統(tǒng)的高頻段和低頻段要求是比較容易確定的，而對(duì)象的正反饋回路中又存在虛軸上的特征值，故這一步宜采用H∞回路成形設(shè)計(jì)［21］。H∞回路成形設(shè)計(jì)中控制器由兩部分構(gòu)成，即

式中:K∞(s)為要通過(guò)回路成形來(lái)設(shè)計(jì)的H∞控制器;W(s)為權(quán)函數(shù)，是用來(lái)反映所要求的系統(tǒng)的高低頻特性。設(shè)W(s)中的增益為K1，則由圖2可知，這個(gè)α回路的低頻特性可近似看成是3.495K1/s2，這個(gè)低頻段特性以-40 dB/dec的斜率在ωc1=處穿越0 dB線，這個(gè)ωc1反映了角度α回路的帶寬大小。故設(shè)計(jì)中取K1=50，使α回路的帶寬約為20 rad/s。另外，Kα(s)的高頻段應(yīng)該有較快的衰減以削弱高頻噪聲的影響，保證系統(tǒng)的魯棒性以及降低對(duì)u值的瞬間要求，故最終取W(s)為

圖2 控制系統(tǒng)的構(gòu)成Fig．2 Formation of the control system

H∞成形設(shè)計(jì)時(shí)這個(gè)W(s)與對(duì)象G(s)構(gòu)成成形對(duì)象Gs(s)=G(s)W(s)。將Gs(s)組成如圖3所示的標(biāo)準(zhǔn)H∞成形設(shè)計(jì)框圖，其中w= [w2]T和z= [z1z2]T分別為回路成形法中的輸入和輸出。利用MATLAB的hinfsyn函數(shù)，求解從w到z系統(tǒng)Tzw的H∞優(yōu)化問(wèn)題，得系統(tǒng)的H∞范數(shù)為

滿足回路成形法γ＜5的魯棒性設(shè)計(jì)要求［21］。所得的H∞控制器為

圖3 回路成形的設(shè)計(jì)框圖Fig．3 Block diagram for the loop shaping design

根據(jù)式(12)得最終的球-桿系統(tǒng)的α回路的控制器為

圖4為控制器的Bode圖，由圖4可知，Kα(s)的幅頻特性在高頻段有較大的衰減，滿足設(shè)計(jì)要求。圖5以及圖6中的曲線a為所設(shè)計(jì)系統(tǒng)在α回路和x回路分別斷開(kāi)時(shí)的Nyquist圖線，即在Kα前斷開(kāi)和在PD前斷開(kāi)得到的圖線。由圖5和圖6可見(jiàn)，無(wú)論從哪個(gè)回路看，系統(tǒng)都具有相當(dāng)大的穩(wěn)定裕度，因而也具有足夠的魯棒性。圖5中曲線的開(kāi)裂點(diǎn)對(duì)應(yīng)于圖2中正反饋回路虛軸上諧振模態(tài)的∞半徑。

圖4 控制器Kα(s)的Bode圖Fig．4 Bode plot of the controller Kα(s)

圖5 角度α回路的Nyquist圖Fig．5 Nyquist plot of the angle loop

圖6中也繪出了反步法第一步對(duì)x采用虛擬控制uα?xí)r的Nyquist圖線b。虛擬控制下的對(duì)象是雙積分環(huán)節(jié)，而現(xiàn)在的對(duì)象則是開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定的，雖然是完全不同的對(duì)象特性，但是在反步法設(shè)計(jì)后，在-1點(diǎn)附近的區(qū)域，仍然逼近虛擬控制時(shí)所指定的特性，即具有非常相似的穩(wěn)定裕度。這也就是本文的反步法設(shè)計(jì)的特點(diǎn)和優(yōu)越性，即系統(tǒng)的主回路(外回路)特性可以采用簡(jiǎn)單的PD設(shè)計(jì)來(lái)給定，再用反步法設(shè)計(jì)來(lái)給于保證。

圖6 球位置x回路的Nyquist圖Fig．6 Nyquist plot of the position loop

這里要說(shuō)明的是，上面的設(shè)計(jì)只是工作點(diǎn)附近的線性化系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。當(dāng)偏差增大時(shí)，非線性系統(tǒng)的特性就顯現(xiàn)出來(lái)了。圖7為所設(shè)計(jì)的控制器在不同初始條件下的調(diào)節(jié)過(guò)程，仿真中用的對(duì)象模型為式(3)和式(4)的非線性方程組。由圖7可知，當(dāng)偏差增大時(shí)，x(t)的初始的反向超調(diào)和α(t)曲線上的反向峰值急劇增大，所要求的功放級(jí)的控制電壓u(t)出現(xiàn)很高的尖峰。

圖7 不同初始條件下的調(diào)節(jié)過(guò)程Fig．7 Transient responses under various initial conditions

圖7中的尖峰現(xiàn)象是非線性系統(tǒng)所特有的非線性現(xiàn)象，是由線性化時(shí)所忽略的未建模非線性引起的。具體來(lái)說(shuō)，是由式(3)中的離心力xα2項(xiàng)所引起的，這一項(xiàng)隨 α的平方而增長(zhǎng)，很快會(huì)超過(guò)式(3)中對(duì)系統(tǒng)起鎮(zhèn)定作用的sinα項(xiàng)，而形成一個(gè)很強(qiáng)的正反饋?zhàn)饔?，又助長(zhǎng) α的增長(zhǎng)，最終可導(dǎo)致不穩(wěn)定。這里雖然是結(jié)合球-桿系統(tǒng)來(lái)說(shuō)的，但尖峰(peaking)現(xiàn)象卻是一種典型的非線性現(xiàn)象［11］。Kokotovic在文獻(xiàn)［11］中將這個(gè)現(xiàn)象稱為 BB綜合癥(ball beam-syndrome)。對(duì)于這種非線性尖峰現(xiàn)象，一般可以用飽和特性來(lái)抑制尖峰項(xiàng)的增長(zhǎng)［11，22］。結(jié)合本例來(lái)說(shuō)，Amira公司的球 -桿系統(tǒng)功放級(jí)的限幅值為±10 V。圖8為利用此限幅特性來(lái)抑制尖峰現(xiàn)象的仿真結(jié)果，由圖8可見(jiàn)，各變量均已進(jìn)入正常范圍，不再有尖峰出現(xiàn)。圖8在仿真時(shí)還考慮了小球的行程限制。該球-桿系統(tǒng)的行程為±0.4 m，兩端有止檔。如圖8所示的仿真情況對(duì)應(yīng)于桿的初始角為-0.5 rad時(shí)，球?？吭谝欢说某跏紶顟B(tài)，代表了該球-桿系統(tǒng)正常工作時(shí)的最大工作范圍(桿的轉(zhuǎn)動(dòng)也有止檔限制，約±30°)。由上面的分析可知，雖然線性化設(shè)計(jì)忽略了系統(tǒng)的非線性特性，而且后者還可能引起嚴(yán)重的尖峰現(xiàn)象，但是只要適當(dāng)運(yùn)用反饋回路中的飽和特性，所設(shè)計(jì)的球-桿系統(tǒng)在實(shí)際的工作范圍內(nèi)都是能夠穩(wěn)定工作的。利用飽和特性來(lái)抑制非線性項(xiàng)的增長(zhǎng)以保證穩(wěn)定性，也是當(dāng)前非線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)的一個(gè)新的動(dòng)向［23］。

圖8 功放級(jí)帶飽和時(shí)的調(diào)節(jié)過(guò)程Fig．8 Transient responses under saturation

2 結(jié)語(yǔ)

本文結(jié)合欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)所提出的頻域反步法，不同于狀態(tài)空間反步法，是逐個(gè)回路遞推進(jìn)行的H∞設(shè)計(jì)。這種反步法的設(shè)計(jì)思路清楚，設(shè)計(jì)后的系統(tǒng)特性基本上可復(fù)現(xiàn)第一步虛擬控制回路的特性。而且由于是逐個(gè)回路的遞推進(jìn)行，一個(gè)回路設(shè)計(jì)一個(gè)控制器，所以系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)是比較簡(jiǎn)單的。又因?yàn)椴捎昧硕嘀鼗芈返慕Y(jié)構(gòu)，系統(tǒng)的魯棒性也較好。雖然這是一種基于線性化的H∞設(shè)計(jì)，將系統(tǒng)的非線性歸入未建模非線性，而且有可能出現(xiàn)尖峰，但是只要在反饋回路中適當(dāng)引入飽和特性，就可避免尖峰現(xiàn)象，保證系統(tǒng)的穩(wěn)定。除欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)外，頻域反步法也可應(yīng)用于其他各類系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。

［1］KOLMANOVSKY I，MCCLAMROCH N H.Developments in nonholonomic control problems［J］.IEEE Control Systems Magazine，1995，15(6):20-36.

［2］REYHANOGLU M，VAN DER SCHAFT A，MCCLAMROCH N H，et al.Dynamics and control of a class of underactuated mechanical systems［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1999，44(9):1663-1671.

［3］劉盛平，吳立成，陸震.PPR型平面欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂的點(diǎn)位控制［J］.控制理論與應(yīng)用，2007，24(3):435-439.

LIU Shengping，WU Licheng，LU Zhen.Point-to-point control of a planar prismatic-prismatic-revolute(PPR)under-actuated manipulator［J］.Control Theory and Applications，2007，24(3):435-439.

［4］JIANG Z P，NIJMEIJER H.Tracking control of mobile robots:a case study in backstepping［J］.Automatica，1997，33(7):1393-1399.

［5］劉盛平，陸震，吳立成.垂直起降飛機(jī)的全局軌跡跟蹤控制［J］.控制與決策，2007，22(8):899-902.

LIU Shengping，LU Zhen，WU Licheng.Global trajectory tracking control of VTOL aircraft［J］.Control and Decision，2007，22(8):899～902.

［6］岳李勇，謝巍.含有驅(qū)動(dòng)器模型的移動(dòng)機(jī)器人自適應(yīng)跟蹤控制［J］.控制理論與應(yīng)用，2008，25(6):1001-1006.

YUE Liyong，XIE Wei.Adaptive tracking control of non-holonomic wheeled mobile robot including actuator dynamics［J］.Control Theory and Applications，2008，25(6):1001-1006.

［7］董國(guó)華，祝曉才，劉振，等.不確定曲面上輪式移動(dòng)機(jī)器人魯棒軌跡跟蹤［J］.南京理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2008，32(1):18-27.

DONG Guohua，ZHU Xiaocai，LIU Zhen，et al.Robust trajectory tracking of wheeled mobile robots moving on uncertain uneven surface［J］.Journal of Nanjing University of Science and Technology:Natural Science，2008，32(1):18-27.

［8］ORTEGA R，SPONG M W，GOMEZ-ESTERN F，et al.Stabilization of a class of underactuated mechanical systems via interconnection and damping assignment［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2002，47(8):1218-1233.

［9］NORDKVIST N，BULLO F.Control algorithms along relative equilibria of underactuated Lagrangian systems on Lie groups［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2008，53(11):2651-2658.

［10］HAUSER J，SASTRY S，KOKOTOVIC P.Nonlinear control via approximate input-output linearization:the ball and beam example［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1992，37(3):392-398.

［11］KOKOTOVIC P V.The joy of feedback:nonlinear and adaptive［J］.IEEE Control Systems Magazine，1992，12(3):7-17.

［12］KOKOTOVIC P V，ARCAK M.Constructive nonlinear control:a historical perspective［J］.Automatica，2001，37(5):637-662.

［13］周紹生，費(fèi)樹(shù)岷，馮純伯.多輸入非線性串級(jí)系統(tǒng)的H∞控制［J］.自動(dòng)化學(xué)報(bào)，2001，27(2):214-218.

ZHOU Shaosheng，F(xiàn)EI Shumin，F(xiàn)ENG Chunbo.H∞control of multi-input cascade nonlinear systems［J］.Acta Automatica Sinica，2001，27(2):214-218.

［14］HE Yuqing，HAN Jianda.Acceleration feedback enhanced H∞disturbance attenuation control［C］//The 33rd Annual Conference of the IEEE Industrial Electronics Society(IFCON)，November 5-8，2007，Taipei，China.2007:839-844.

［15］VAN DER SCHAFT A.非線性控制中的L2增益和無(wú)源化方法:2版［M］.北京:清華大學(xué)出版社，2002:125-134.

［16］KRISHNAMURTHY P，LU W，KHORRAMI F，et al.Robust force control of an SRM-based electromechanical brake and experimental results［J］.IEEE Transactions on Control Systems Technology，2009，17(6):1306-1317.

［17］SWAROOP D，HEDRICK J K，YIP P P，et al.Dynamic surface control for a class of nonlinear systems［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2000，45(10):1893-1899.

［18］SHIEH H J，HSU C H.An integrator-backstepping-based dynamic surface control method for a two-axis piezoelectric micropositioning stage［J］.IEEE Transactions on Control Systems Technology，2007，15(5):916-926.

［19］王廣雄，何朕.應(yīng)用H∞控制［M］.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2010:123-128.

［20］何朕，王毅，周長(zhǎng)浩，等.球-桿系統(tǒng)的非線性問(wèn)題［J］.自動(dòng)化學(xué)報(bào)，2007，33(5):550-553.

HE Zhen，WANG Yi，ZHOU Changhao，et al.Nonlinear roblems of the ball-and-beam system［J］.Acta Automatica Sinica，2007，33(5):550-553.

［21］何朕，孟范偉，劉偉，等.H∞回路成形法的魯棒性［J］.自動(dòng)化學(xué)報(bào)，2010，36(6):890-893.

HE Zhen，MENG Fanwei，LIU Wei，et al.Robustness of H∞loop shaping design［J］.Acta Automatica Sinica，2010，36(6):890-893.

［22］KHALIL H K.非線性系統(tǒng):3版［M］.北京:電子工業(yè)出版社，2005:454-461.

［23］SU Y，Müller P C，ZHENG C.Global asymptotic saturated PID control for robot manipulators［J］.IEEE Transactions on Control Systems Technology，2010，18(6):1280-1288.