一類半群的結(jié)構(gòu)

劉心馳

(渭南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，陜西渭南714000)

半群代數(shù)理論是代數(shù)學(xué)的一個(gè)分支.自半群的系統(tǒng)研究至今，半群及其子類的研究一直是半群理論研究中的一個(gè)熱點(diǎn).它的研究受到越來越多人的關(guān)注.半群代數(shù)理論十分豐富，它的思想和方法已經(jīng)滲透到自然學(xué)科的許多領(lǐng)域，有許多文獻(xiàn)專門研究半群的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)，得到了許多重要結(jié)果［1－3］.本文給出一類半群的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)，結(jié)合學(xué)習(xí)研究內(nèi)容，也給出了此類半群的一個(gè)實(shí)例.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)S是非空集合，在S上定義二元運(yùn)算“·”，如果?a，b，c∈S，(a·b)·c=a·(b·c)，則稱(S，·)為半群.例如，全體正整數(shù)的集合N連同普通的整數(shù)加法運(yùn)算作成一個(gè)半群(N，+).

設(shè)(S1，·)與(S2，?)都是半群，φ 是 S1到 S2的一個(gè)映射，如果 ?a，b，c∈ S，φ(a·b)= φ(a) ?φ(b)，則稱φ是S1到S2的一個(gè)同態(tài)映射，若φ還是一一映射，則稱φ是S1到S2的一個(gè)同構(gòu)映射，這是稱半群(S1，·)與(S2，?)是同構(gòu)的.

在半群(S，·)中，我們可以簡單地記為S，而省略運(yùn)算符號(hào)“·”，并且在運(yùn)算式中用ab表示a·b，這樣an就表示n個(gè)a連續(xù)作半群運(yùn)算“·”的結(jié)果，讀作a的n次冪，顯然，在一個(gè)半群中，aman=am+n，(am)n=amn.

設(shè)S是半群，T是半群的非空子集，如果對(duì)于?a，b∈T，有ab∈T，則稱T是S的子半群.

設(shè)A是S的一個(gè)非空子集，S中所有包含A的子半群的交集記為〈A〉，則〈A〉是S的子半群［1］，顯然〈A〉有下列性質(zhì)：

(1)A?〈A〉，

(2)若S1是S中包含A的子半群，則〈A〉?S1.

我們稱〈A〉是S的由A生成的子半群.若S=〈A〉，則稱半群S是由A生成的，特別地，當(dāng)A={a}時(shí)，記為S=〈a〉，S是由元素a生成的，稱S為單演半群.

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)S=〈a〉，如果 ?m，n∈N，a∈S，am=an?m=n，則S=〈a〉同構(gòu)于半群(N，+).

證明 由于 ?m，n∈N，am=an?m=n，

顯然φ是S到N的一一映射，并且aman=am+n→m+n，即φ(aman)=m+n=φ(am)+φ(an)，所以φ是S到N的同構(gòu)映射，因此S=〈a〉與半群(N，+)同構(gòu).

定理2 設(shè)S=〈a〉，如果存在x，y∈N(x≠y)，使得ax=ay，則存在r，t∈N，有：① 當(dāng)0 ＜ p＜ r時(shí)(p∈N)，對(duì)任意q∈N，(q≠p)，aq≠ap.② 當(dāng)p≥r時(shí)，存在p1∈N，r≤p1≤r+t－1，使得ap=ap1.

證明 ① 設(shè)X={x∈N|存在y∈N，ax=ay，x≠y}，由已知條件知X非空，依最小數(shù)原則，X中必有最小數(shù)，記為r，這時(shí)若0 ＜p＜r，則p?X，依X的定義可知對(duì)任意q∈N(q≠p)，aq≠ap.

② 記Y={x∈N|ar+x=ar}，由于r∈X，所以Y非空，Y也有最小數(shù)，記為t，這時(shí)，ar=ar+t=arat=ar+tat=ar+2t，這樣，對(duì)q≥0，ar=ar+qt，依Y 的定義，a1，a2，a3，…，ar，ar+1，…，ar+t－1是互不相同的，當(dāng) p≥r時(shí)，依帶余除法［4］，p=r+qt+u，q≥0，0 ≤ u ≤ t－ 1，則 ap=ar+qt+u=ar+qtqu=arau=ar+u，由于0 ≤u≤t－1，所以r≤ r+u≤r+t－1，取 p1=r+u，則 ap=ap1.

由此可以看出半群 S= 〈a〉是一個(gè)有限半群，它的全部元素為{a，a2，a3…，ar，ar+1，…，ar+t－1}，共有 r+t － 1 個(gè)，即 S= 〈a〉={a，a2，a3…，ar，ar+1，…，ar+t－1}.

設(shè) B={α，α1，α2，α3，α4，α5，α6}，容易驗(yàn)證，當(dāng) p ＞ 6 時(shí)，存在4 ≤ q≤6 使得 αp= αq，B 是由 α 生成的一個(gè)有限半群，B=〈α〉.

(指導(dǎo)老師：朱天民)

［1］Howie M.Fundamentals of semigroup theory［M］.Oxford：Oxford University Press，1995.

［2］Gratzer G.Unversal algebra［M］.New York：Springer-wriag，1979.

［3］Petrich M，Reilly N.R.Completely regular semigroups［M］.New York：wiley，1999.

［4］閔嗣鶴，嚴(yán)士建.初等數(shù)論［M］.北京：高等教育出版社，2008.

［5］趙雨清.單演半群的幾條性質(zhì)［J］.湘潭師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2004，26(1)：20－21.