直線滾動導(dǎo)軌副動態(tài)特性分析

李 磊，張建潤，劉洪偉

(1.東南大學(xué) 機械工程學(xué)院，南京 211189;2.江蘇科技大學(xué) 機械工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212000)

直線滾動導(dǎo)軌副由于運動阻力小、定位精度高等優(yōu)點逐漸取代滑動導(dǎo)軌成為高速高精度數(shù)控機床的重要功能部件，其動態(tài)特性建模特別是導(dǎo)軌滑塊結(jié)合面建模精度對機床整機動態(tài)分析有重大影響。國外早在上世紀(jì)90年代便開始對滾動導(dǎo)軌副動態(tài)特性進(jìn)行了深入研究，主要包括結(jié)合面運動機理研究和動態(tài)特性建模研究［1－2］。近年來，結(jié)合面非線性特性引起了國外學(xué)者的重視［3］。國內(nèi)對于直線滾動導(dǎo)軌建模研究也廣泛開展:劉陽等［4］通過有限元方式建立了導(dǎo)軌結(jié)合面模型應(yīng)用于機床整機建模和分析并進(jìn)行了實驗驗證，毛寬民等［5］結(jié)合有限元方法提出了一種新的直線滾動導(dǎo)軌副結(jié)合部動力學(xué)模型，文獻(xiàn)［6］使用彈簧阻尼單元模擬滑塊導(dǎo)軌結(jié)合面取得了良好的結(jié)果。以上模型主要是基于有限元方法，其建模精度受到結(jié)合面單元分布形式和結(jié)合面參數(shù)的影響;同時，由于忽略了結(jié)合面非線性因素的影響，建模精度不高，制約了高速、高精度數(shù)控機床動態(tài)特性建模和分析的可靠性。

基于前人的研究［1－2，7］，本文針對一款直線滾動導(dǎo)軌，探討結(jié)合部剛度計算方法，通過模態(tài)理論和拉格朗日方程建立該導(dǎo)軌副動力學(xué)模型，分析其固有特性，并運用模態(tài)實驗進(jìn)行了分析驗證;同時，考慮結(jié)合面非線性特性，基于實驗討論了預(yù)緊力和外部激勵等對導(dǎo)軌系統(tǒng)剛度和阻尼特性的影響，為精確建立高速、高精度機床整機動態(tài)模型和系統(tǒng)穩(wěn)定性分析奠定了基礎(chǔ)。

1 導(dǎo)軌系統(tǒng)結(jié)合面模型及其特性參數(shù)獲取

直線滾動導(dǎo)軌主要由導(dǎo)軌、滑塊、保持架以及導(dǎo)軌滑塊間的滾動鋼球組成(如圖1)，其動態(tài)特性很大程度上取決于鋼球和導(dǎo)軌滑塊間的結(jié)合部剛度。為此，建立導(dǎo)軌系統(tǒng)動態(tài)特性模型首先要建立結(jié)合部剛度模型，方法主要有赫茲理論法和基于模態(tài)理論的模態(tài)參數(shù)法。

圖1 直線滾動導(dǎo)軌副結(jié)構(gòu)簡圖Fig.1 Configuration of linear motion guide(LMG)

1.1 赫茲理論法

赫茲理論是接觸力學(xué)的經(jīng)典理論，由赫茲理論可知滾動導(dǎo)軌副的鋼球－導(dǎo)軌及鋼球－滑塊結(jié)合面接觸區(qū)域是橢圓面。為了計算局部變形，可以這樣簡化:每個物體可以看成是彈性半空間體，載荷作用在平表面的一個小的橢圓區(qū)域內(nèi)。根據(jù)赫茲理論，鋼球剛度可由下式獲?。?］:

1.2 模態(tài)參數(shù)識別法

滾動導(dǎo)軌副工作時承受的載荷可以分解到垂直于滑塊連接面(法向)和側(cè)向(切向)。對機床導(dǎo)軌的每個方向進(jìn)行剛度測試時，導(dǎo)

軌可以簡化成一個單自由度系統(tǒng)。導(dǎo)軌與滑塊接觸面的每個方向的接觸剛度及其相應(yīng)的阻尼都可通過識別滑塊在導(dǎo)軌上所表現(xiàn)出來的模態(tài)來獲得［6］。

根據(jù)分量分析法，通過實驗測得導(dǎo)軌副傳遞函數(shù)(圖2)，通過半功率法可以識別該方向上的剛度及阻尼值:

圖2 直線滾動導(dǎo)軌傳遞函數(shù)Fig.2 Transfer function of linear motion guide

其中:ζr=(ωa－ ωb)/2ωi為阻尼比，M 為滑塊質(zhì)量，f=ωi為系統(tǒng)頻率，ωa、ωb為半功率點。

赫茲理論法可獲取系統(tǒng)靜剛度，模態(tài)參數(shù)識別法獲取系統(tǒng)動剛度，文獻(xiàn)［6］中證明了兩種方法的在滾動導(dǎo)軌結(jié)合面建模中的一致性和可靠性。

2 直線滾動導(dǎo)軌系統(tǒng)動力學(xué)特性理論分析［1］

拉格朗日方程利用廣義坐標(biāo)描述非自由質(zhì)點系的運動，在解決微幅振動問題和剛體動力學(xué)問題中起了重要的作用:

滾動直線導(dǎo)軌的系統(tǒng)動能可由下式求解:

由于導(dǎo)軌滑塊結(jié)合面表現(xiàn)出彈性阻尼特性，可以將滾珠簡化成彈簧，其勢能為:

其中:k=KV/4lsin2α［1］，為鋼球?qū)к壝娴膯挝婚L度法向剛度，KV為鉛垂方向的剛度(根據(jù)模態(tài)參數(shù)法獲取)，α為滾珠與滑塊的接觸角，l為接觸區(qū)長度，x為變形量，其它結(jié)構(gòu)見圖1。

將系統(tǒng)動能與系統(tǒng)勢能代入拉格朗日方程，運用MATLAB軟件開發(fā)通用計算程序求解得到［1］:

滑塊振動的豎向固有頻率:

滑塊振動的擺動固有頻率:

滑塊振動的斜向振動頻率:

由f=ω/2π可得低階和高階滾動固有頻率。且:

以上固有頻率表達(dá)式表明:系統(tǒng)固有頻率是結(jié)合面剛度的函數(shù)(不考慮阻尼)。然而，結(jié)合面特性影響因素眾多且表現(xiàn)出強烈的非線性，要建立準(zhǔn)確的機床分析模型必須考慮導(dǎo)軌結(jié)合面的非線性特性。有學(xué)者提出結(jié)合面剛度和阻尼的表達(dá)式［8］:

其中:p，ω，x分別為法向壓力、外載荷激振頻率和單位結(jié)合面位移激勵幅值;α，β，γ，η為特性系數(shù)，其值與結(jié)合面材料加工方式、表面粗糙度潤滑狀態(tài)和油膜介質(zhì)類型相關(guān)。后面將進(jìn)一步對其非線性特性進(jìn)行討論。

3 實驗分析

結(jié)合一款滾動直線導(dǎo)軌分析其動態(tài)特性，其具體參數(shù)如表1(滑塊質(zhì)量為4.7 kg，剛度通過模態(tài)實驗法獲取):

表1 導(dǎo)軌參數(shù)Tab.1 Parameters of linear motion guide

將導(dǎo)軌參數(shù)代入可求出導(dǎo)軌滑塊系統(tǒng)的前五階固有頻率(見表2)。

對該導(dǎo)軌用大直徑螺栓固定于地面進(jìn)行約束狀態(tài)下的模態(tài)實驗，實驗原理如圖3所示，實物圖如圖4所示，采用力錘對滑塊進(jìn)行激勵，使用三向加速度傳感器獲取加速度信息，通過頻譜分析并結(jié)合振型分析得到其傳遞函數(shù)如圖5所示。

根據(jù)模態(tài)實驗結(jié)果(表2)可以看出，理論值跟實驗值基本吻合，最大誤差在5%左右。然而，該模型其沒有考慮阻尼特性且忽略了結(jié)合面非線性，僅能對系統(tǒng)動態(tài)特性進(jìn)行初步計算。對于高檔機床而言，結(jié)合面非線性對系統(tǒng)動態(tài)特性和加工穩(wěn)定性有重要影響，下面將重點予以討論。

圖5 導(dǎo)軌系統(tǒng)模態(tài)頻率曲線Fig.5 Frequent curve of the linear motion guide

表2 實驗結(jié)果與理論值得比較Tab.2 Comparing of the result of theory and testing

4 導(dǎo)軌系統(tǒng)非線性特性分析

由于結(jié)合面作用機理還不明確，在理論上獲得式(9)的準(zhǔn)確表達(dá)是非常困難的。為此，僅對導(dǎo)軌結(jié)合面非線性特性進(jìn)行定性分析。

4.1 預(yù)緊力對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響分析

滾動導(dǎo)軌預(yù)緊一般通過調(diào)節(jié)鋼球直徑實現(xiàn)，調(diào)節(jié)預(yù)緊力可以提高導(dǎo)軌系統(tǒng)初始接觸力從而提高其剛性和定位精度。由前面推導(dǎo)過程可知，滾動導(dǎo)軌固有頻率和結(jié)合面剛度直接相關(guān)，適當(dāng)提高預(yù)緊力大小可以改善滾動導(dǎo)軌副的動態(tài)特性，隨著預(yù)緊力的提高系統(tǒng)各階固有頻率有了顯著提高(如圖6所示)。文獻(xiàn)［9］從分析系統(tǒng)響應(yīng)角度指出:提高滾動導(dǎo)軌預(yù)緊力可以提高系統(tǒng)剛度，進(jìn)而改善機床動態(tài)性能。但是，當(dāng)鋼球直徑過大帶來結(jié)合面摩擦力的提高，破壞了結(jié)合面微觀連接機制，導(dǎo)致能量損耗，系統(tǒng)動態(tài)特性出現(xiàn)無規(guī)律的變化。為此，有必要根據(jù)機床動態(tài)特性要求及加工參數(shù)合理的選擇導(dǎo)軌副預(yù)緊力的大小。

4.2 外部激勵對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響分析

為了研究外部激勵對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響，對自由狀態(tài)下的導(dǎo)軌滑塊系統(tǒng)做模態(tài)實驗，在相同預(yù)緊力條件下，改變外部激勵的幅值，實驗結(jié)果如圖7所示。

測試結(jié)果顯示:隨著振動量級的增大，自由狀態(tài)下系統(tǒng)的低階固有頻率沒有發(fā)生明顯變化，而高階固有頻率(3 000 Hz以上)發(fā)生了有規(guī)律的衰減，該結(jié)果和文獻(xiàn)［10］基本一致。這主要是由于導(dǎo)軌－滑塊系統(tǒng)在一定的預(yù)緊力條件下能夠保持一定的剛度特性，使得系統(tǒng)動態(tài)特性維持穩(wěn)定狀態(tài)，但隨著外載荷的提高，較大的外載荷導(dǎo)致系統(tǒng)剛度下降并表現(xiàn)出明顯的阻尼特性，導(dǎo)致了系統(tǒng)固有頻率的衰減。為此，低階狀態(tài)下可以將該系統(tǒng)近似為線性系統(tǒng)，而對于高速高精度及重載數(shù)控機床，高階動態(tài)特性不能忽略，必須考慮結(jié)合面非線性對機床動態(tài)性能的影響。

圖6 預(yù)緊力對系統(tǒng)固有頻率的影響Fig.6 Effect of preload to natural frequency

4.3 結(jié)合面阻尼特性分析

一般認(rèn)為阻尼是影響機械系統(tǒng)穩(wěn)定性的重要因素，而結(jié)合面是引起結(jié)構(gòu)阻尼的主要原因。根據(jù)接觸理論，假設(shè)結(jié)合面是無數(shù)峰－谷組成的不平面，微運動意味著在不產(chǎn)生宏觀運動條件下，其峰－峰，峰－谷之間出現(xiàn)相對非常小的局部接觸和運動。伴隨微運動，系統(tǒng)動載荷會逐漸耗散，微運動區(qū)域會隨接觸載荷的降低而減小，幅度會隨載荷幅值的增加而增加。當(dāng)微運動現(xiàn)象逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)楹暧^滑動，從而導(dǎo)致結(jié)合面的阻尼或能量耗散增加。

圖8為不同預(yù)緊下，結(jié)構(gòu)加速度隨時間衰減的曲線，可以明顯看出，低預(yù)緊力結(jié)構(gòu)的加速度衰減率大大高于高預(yù)緊力(或整體結(jié)構(gòu))情況，而加速度的衰減正是由于結(jié)合面阻尼引起的能量損耗進(jìn)而影響系統(tǒng)穩(wěn)定性。因此，考慮預(yù)緊力對系統(tǒng)穩(wěn)定性影響是機械系統(tǒng)動力學(xué)設(shè)計的重要方面。

5 結(jié)論

(1)分析了滾動直線導(dǎo)軌剛度的計算方法，結(jié)合拉格朗日方程建立某導(dǎo)軌系統(tǒng)動態(tài)特性方程，通過MATLAB開發(fā)了通用計算程序;模態(tài)實驗結(jié)果和理論值誤差在5%左右，表明該方法可以應(yīng)用于滾動直線導(dǎo)軌動態(tài)特性的初步分析;

(2)實驗表明:由于結(jié)合面的存在，直線滾動導(dǎo)軌表現(xiàn)出強烈的非線性動態(tài)特性，其剛度值、阻尼值和固有頻率是法向壓力(預(yù)緊力)和外載荷激振量級的函數(shù)，在低頻段可以近似為線性系統(tǒng)，但在高頻段應(yīng)當(dāng)考慮非線性對系統(tǒng)動態(tài)性能的影響;

(3)僅討論了預(yù)緊力和外部激勵對導(dǎo)軌結(jié)合面的作用，其結(jié)合部運動機理及阻尼特性還有待于進(jìn)一步的理論研究和大量的實驗驗證，從而為提高機床整機動態(tài)特性分析精度和機床加工穩(wěn)定性提供理論和實驗依據(jù)。

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