三維空間中Navier－Stokes 方程的有限差分方法

楊雪敏，鄭治波，狄華斐

(1.云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 昆明 650092;2.云南民族大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 昆明 650500)

研究三維Navier－Stokes具有非常重要的意義，但我們很難求得此方程的精確解.目前就理論上做了少量工作，構(gòu)造了部分精確解.理論上進展緩慢，主要是人們不知道從何處入手.然而，數(shù)值解將會提供一些信息.本文研究如下形式的三維 Navier－ Stokes 方程［1－2］:

其中，F(xiàn)=F(u，v，w，t).u=u(x，y，z，t)，v=v(x，y，z，t)，w=w(x，y，z，t)分別表示流體的速度，p(x，y，z，t)是壓強.方程(1)可以被寫成:

1 三維Navier－Stokes方程向前差分格式的解與精確解的誤差

1.1 討論三維Navier－Stokes方程向前差分格式

首先，我們建立(2)式的向前差分格式，在建立之前，設(shè)

M是一個給定的正整數(shù)，對于三維空間區(qū)域作網(wǎng)格剖分，取空間方向步長為，時間方向步長為τ，而且分別記:

于是三維Navier－Stokes方程向前差分格式:

我們把(3)式進行化簡整理得到:

1.2 畫圖誤差

我們找到方程的一個精確解:

用我們編寫的MATLAB程序求解，得出如下圖:

圖1 t=1～3時(從行看)相應(yīng)的差分的解的圖真值圖，兩者的比較圖，兩者之間的誤差圖

圖2 t=4～6時(從行看)相應(yīng)的差分的解的圖真值圖，兩者的比較圖，兩者之間的誤差圖

圖3 t=7～9時(從行看)相應(yīng)的差分的解的圖真值圖，兩者的比較圖，兩者之間的誤差圖

1.3 誤差分析

圖1～3分別為t=1～9(從行看)時，相應(yīng)的差分的解的圖，真值圖，兩者的比較圖，兩者之間的誤差圖.可以發(fā)現(xiàn)，當t=1～3時，吻合程度較好;隨著時間的推移，吻合程度越來越差，變化程度越來越劇烈.

2 三維Navier－Stokes方程向后差分格式的解與精確解的誤差

2.1 討論三維Navier－Stokes方程向后差分格式

和前面的相同，我們構(gòu)造了三維Navier－Stokes方程向后差分格式:

我們把(4)中的3個等式進行化簡得到:

圖4 t=1～3時(從行看)相應(yīng)的差分的解的圖真值圖，兩者的比較圖，兩者之間的誤差圖

圖5 t=4～6時(從行看)相應(yīng)的差分的解的圖真值圖，兩者的比較圖，兩者之間的誤差圖

圖6 t=7～9時(從行看)相應(yīng)的差分的解的圖真值圖，兩者的比較圖，兩者之間的誤差圖

2.2 畫圖誤差

同樣我們采用精確解作為方程的初值.用我們自己編寫的MATLAB程序得到圖4～圖6.

2.3 誤差分析

圖4～圖6分別為t=1～9(從行看)時，相應(yīng)的差分格的解的圖，真值圖，兩者的比較圖，兩者之間的誤差圖.可以發(fā)現(xiàn)，當t=1～3時，吻合程度較好.隨著時間的推移，吻合程度越來越差，變化程度越來越劇烈.

3 結(jié)論

可以發(fā)現(xiàn)，當t=1～3時，吻合程度較好;隨著時間的推移，吻合程度越來越差，變化程度越來越劇烈.以上采用的時間步長為0.1，采用不同的時間步長后我們又發(fā)現(xiàn)時間步長越小，差分解的精確性越高.我們也可以采用不同的差分格式對此方程進行分析，不同的差分格式在不同的時間段吻合程度不同.

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