用Normal Form直接法研究壁板的熱顫振與控制

趙秀芳，曹樹謙，2，3

(1.天津大學 機械工程學院力學系，天津 300072;2.天津市非線性動力學與混沌控制重點實驗室，天津 300072;3.內燃機燃燒學國家重點實驗室，天津 300072)

壁板熱顫振是一種自激振動，目前主要基于von Karman板理論對超音速和高超音速流中的壁板進行非線性熱顫振分析。Xue等［1］應用有限單元頻域的方法分析了任意溫度下壁板的顫振，Zhou等［2］對氣動加熱環(huán)境中復合材料板的非線性顫振進行了功率譜和時域響應的分析，Nydick等［3］等研究了高超音速氣流中小曲率壁板的熱顫振，并考慮了壁板在飛行器表面的位置。國內對壁板熱顫振的研究相對較少，葉獻輝等［4］利用數(shù)值方法研究了三維壁板的熱顫振特性，給出了壁板振動的五種形態(tài):衰減振動、極限環(huán)振動、后屈曲振動、非簡諧的周期性振動和混沌型振動，楊智春［5］等建立了超音速氣流中曲壁板的運動方程，并用分岔理論對其進行了分析。

本文建立了無限展長二維壁板的熱顫振方程，利用一種更為簡便的Normal Form直接計算方法研究壁板Hopf分岔，將wash-out濾波器技術與 Normal Form直接法相結合，對壁板熱顫振進行主動控制，再用數(shù)值模擬加以驗證。

1 運動方程

對邊簡支無限展長二維壁板的模型如圖1所示，壁板的上表面有氣流流過，氣流密度、速度和馬赫數(shù)分別記為 ρ∞、U∞、M∞。根據(jù) Kirchhoff假設，基于 Von Karman大變形應變—位移關系，并考慮溫度效應，得到壁板的運動方程［6］:

圖1 壁板模型Fig.1 Model of the twodimensional panel

由超音速活塞理論，氣動載荷qa可表示為:

引入下列無量綱量:

方程(1)化為:

這里，U=η/M∞為質量比，()'=?/?ξ，β為無量綱動壓。

滿足邊界條件的壁板位移函數(shù)為:

已有的研究表明，超音速氣流中二維平壁板的顫振主要是由于前兩階模態(tài)的耦合所致，參照文獻［8-9］，這里取前兩階模態(tài)，采用Galerkin方法，將運動方程(3)離散化，并轉換到狀態(tài)空間，得到:

其中，

2 Hopf分岔Normal Form

系統(tǒng)(5)在平衡點(0，0，0，0)處的 Jacobi矩陣為 J=A，該矩陣的特征方程為:

非線性項系數(shù)C的表達式為:

其中 ψ*滿足 ATψ*=iωψ*，〈ψ*，φ〉 =1。

3 壁板熱顫振控制

為遲滯系統(tǒng)Hopf分岔的產生，引入wash-out濾波器技術［11］，結合Normal Form直接法對壁板熱顫振進行主動控制。

受控系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下:

其中:kl和 kn分別為線性和非線性控制增益，取d=0.5。

欲將系統(tǒng)的Hopf分岔遲滯到β=240，需要設計wash-out濾波器的線性控制增益kl，而要求保持分岔類型仍為超臨界Hopf分岔，則是通過計算受控系統(tǒng)Hopf分岔Normal Form系數(shù)的方法確定非線性增益kn來加以實現(xiàn)的。

非線性項系數(shù)C1的計算方法同上，最后求得:

只需實部Re(C1)＜0，即kn＞ -3 289.277 3就可以保證受控系統(tǒng)在β=240處發(fā)生超臨界Hopf分岔。

4 數(shù)值模擬與分析

利用Runge-Kutta方法分別對式(5)、式(10)進行數(shù)值分析。限于篇幅限制，這里僅給出了原系統(tǒng)和受控系統(tǒng)第一階模態(tài)的相圖，如圖2所示?？梢钥吹疆敠拢鸡耤時，相圖存在穩(wěn)定的吸引子，當 β＞βc時，相圖為穩(wěn)定的極限環(huán)。這與理論分析是吻合的。

圖2 原系統(tǒng)和受控系統(tǒng)在分岔點前后的相圖Fig.2 Phase maps before and after the bifurcation without and with control

圖3 原系統(tǒng)和受控系統(tǒng)的分岔圖Fig.3 Bifurcation diagram without and with control

圖4 不同控制參數(shù)kn下的分岔圖Fig.4 Bifurcation diagrams for different control parameter kn

5 結論

本文研究了超音速氣流中二維壁板的熱顫振。首先確定系統(tǒng)的超臨界Hopf分岔點，然后采用一種方便簡捷的Normal Form直接法求得Hopf分岔點的Normal Form。將washout濾波器技術與Normal Form直接法相結合，設計了控制器的線性、非線性增益，有效的降低了顫振極限環(huán)的幅值。利用龍格-庫塔法驗證了規(guī)范型求解方法的正確性以及控制器設計的有效性。以上的研究工作將為立方非線性系統(tǒng)的降維和超高音速氣流中壁板的非線性動力學分析提供一定的理論依據(jù)。

［1］Xue D Y，Mei C.Finite element nonlinear panel flutter with arbitrary temperatures in supersonic flow［J］.AIAA J，1993，31(1):154-162.

［2］Zhou R C，Xue D Y，Mei C.A finite element time domain modal formulation for nonlinear flutter of composite panels［J］.AIAA J，1994，32(10):2011-2052.

［3］ Nydick I，F(xiàn)riedmann P，Zhong X.Hypersonic panel flutter studies on curved panels［J］.AIAA-1995-1485，1995.

［4］葉獻輝，楊翊仁.三維壁板熱顫振分析［J］.振動與沖擊，2008，27(6):55-59.

［5］張蕊麗，楊智春.曲壁板在超音速氣流中的分岔特性［J］.力學學報，2010，42(5):863-869.

［6］葉獻輝，楊翊仁，范晨光.熱環(huán)境下壁板非線性顫振分析［J］.計算力學學報，2009，26(5):684-689.

［7］楊智春，夏 巍.壁板顫振的分析模型、數(shù)值求解方法和研究進展［J］.力學進展，2010，40(1):81-98.

［8］周良強，陳予恕，陳芳啟.超音速氣流中受熱壁板的非線性動力學分析［J］.科學技術與工程，2010，10(19):4744-4747.

［9］楊智春，張蕊麗.基于最大李雅普諾夫指數(shù)的壁板熱顫振特性分析［J］.西北工業(yè)大學學報，2009，27(6):770-776.

［10］吳志強.多自由度非線性系統(tǒng)的非線性模態(tài)及Normal Form直接方法［D］，天津:天津大學，1996.

［11］丁 千，陳予恕.機翼顫振的非線性動力學和控制研究［J］.科技導報，2009，27(2):53-61.