五招突破不等式恒成立問題

☉重慶市涪陵第五中學(xué)校 艾嵩 李容

不等式恒成立問題中，由于含有參變量，分析問題與解決問題的難度較大，學(xué)生難以找到解決問題的思路，本文針對這個問題總結(jié)以下幾種方法，希望對大家有所幫助.

第一招：變更主元法

例1 若不等式x2+（a-4）x+2（2-a）>0對任意a∈［-1，1］恒成立，求x的取值范圍.

分析：本題可以把x看成常數(shù)，a為主元，則關(guān)于a的不等式 （x-2）a+x2-4x+4>0對任意a∈［-1，1］ 恒成立，借助一次函數(shù)的性質(zhì)可使問題快速獲解.

解：令g（a）=x2+（a-4）x+2（2-a）=（x-2）a+x2-4x+4，則g（a）>0對任意a∈［-1，1］恒成立，由得

g（-1）>0，g（1）>0

｛ ，

故x的取值范圍是（-∞，1）∪（3，+∞）.

點評：對于一次函數(shù)f（x）＝kx+b，有下列常用結(jié)論進行問題轉(zhuǎn)化：

（1）若f（m）>0，f（n）>0，則當x∈［m，n］時恒有f（x）>0.

（2）若f（m）≥0，f（n）≥0，則當x∈［m，n］時恒有f（x）≥0.

第二招：分離變量

例2 當x∈（1，2）時，不等式x2+mx+4<0恒成立，則m的取值范圍是.

A.m≤-5 B m>-5 C.m≥-5 D.M≠-5

解：不等式x2+mx+4<0，即mx<-（x2+4），因為x∈（1，2），所以因為x∈（1，2），函數(shù)（fx）在（1，2）上遞增，于是（fx）>（f1）=-5，故要使恒成立，應(yīng)有m≤-5.

點評：求解本題通過分類參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，把問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題解決.

第三招：數(shù)形結(jié)合法

例3 當x∈（1，2）時，不等式x2+mx+4<0恒成立，則m的取值范圍是.

解：令f（x）=x2+mx+4，則二次函數(shù)f（x）在x∈（1，2）上函數(shù)值恒小于零.

故所求m的取值范圍是（-∞，-5］.

點評：處理一元二次不等式問題，要把它與二次函數(shù)及圖像、二次方程緊密聯(lián)系起來，充分利用數(shù)形結(jié)合思想來解答.本題還可以采用分類變量法來解答：由m<-x-上恒成立，結(jié)合函數(shù)）的單調(diào)性，求出字母m的取值范圍.

第四招：轉(zhuǎn)化化歸法

分析：f（x）有意義可以轉(zhuǎn)化為1+2x+a·4x>0對一切x∈（-∞，-1］恒成立問題.

解：當x∈（-∞，-1］時，f（x）有意義，故1+2x+a·4x>0對一切x∈（-∞，-1］恒成立.

點評：對某些問題，巧妙地進行變量代換，經(jīng)適當整理后可使問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于某變量的方程形式，此時用方程的思想方法來解，就會達到事半功倍的效果.

第五招：集合思想求解

點評：本題先對不等式進行變形，通過對根的情況進行分類討論，再結(jié)合集合思想與數(shù)形結(jié)合思想求得參數(shù)的范圍.