關(guān)注教學(xué)設(shè)計細(xì)節(jié) 提高課堂教學(xué)實效——《平行、垂直關(guān)系的探究與證明》的教學(xué)設(shè)計與感悟

☉江蘇省寶應(yīng)縣安宜高級中學(xué) 蔣利武

關(guān)注教學(xué)設(shè)計細(xì)節(jié) 提高課堂教學(xué)實效
——《平行、垂直關(guān)系的探究與證明》的教學(xué)設(shè)計與感悟

☉江蘇省寶應(yīng)縣安宜高級中學(xué) 蔣利武

一、教材分析

立體幾何的內(nèi)容就是幾何學(xué)發(fā)展的兩個主要方向的體現(xiàn)（綜合幾何與向量幾何的有機(jī)結(jié)合）．［1］《標(biāo)準(zhǔn)》在立體幾何部分，要求學(xué)生首先通過觀察實物模型、空間幾何體等，直觀認(rèn)識和理解空間圖形的性質(zhì)以及空間點、線、面的位置關(guān)系，并用數(shù)學(xué)語言表述這些性質(zhì)．在此基礎(chǔ)上通過直觀觀察、操作確認(rèn)得出空間點、線、面的基本性質(zhì)，以這些基本性質(zhì)作為推理的出發(fā)點，探索并證明空間點、線、面位置關(guān)系的一些其他性質(zhì)．這種處理突出了空間圖形的探索、研究過程，幾何建模過程，合情推理與論證推理的結(jié)合．位置關(guān)系中平行與垂直又是兩類典型的問題，對學(xué)生空間想象能力的考查尤為突出，而空間想象能力的考查要求是：能夠根據(jù)題設(shè)條件想象并作出正確的平面直觀圖形，能夠根據(jù)平面直觀圖形想象出空間圖形，能夠正確地分析出圖形中基本元素及其相互關(guān)系，并能夠?qū)臻g圖形進(jìn)行分解和組合．這一部分在高中教材體系中占有不可替代的地位．

二、教學(xué)目標(biāo)

1．知識與技能

（1）進(jìn)一步理解平行、垂直有關(guān)定理中的關(guān)鍵條件，掌握平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理，提高推理判斷的嚴(yán)謹(jǐn)性和準(zhǔn)確性；

（2）學(xué)習(xí)并體會讀圖的基本方法，提高對復(fù)雜圖形的分解組合能力和提取基本圖形的能力；

（3）解決立體幾何處理上出現(xiàn)的思維不嚴(yán)謹(jǐn)現(xiàn)象，提高邏輯思維的嚴(yán)密性．

2．過程與方法

（1）通過探究研討交流，讓學(xué)生在有關(guān)問題的分析與解決過程中提高邏輯思維能力、空間想象能力及化歸和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用；

（2）關(guān)注分析推理這一證明處理細(xì)節(jié)，提高學(xué)生的分析、解決問題的能力．

3．情感、態(tài)度與價值觀

（1）發(fā)展學(xué)生把握空間圖形的能力，使學(xué)生更好地認(rèn)識和理解人類生存的空間；

（2）發(fā)展學(xué)生的直覺能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神；

（3）發(fā)展學(xué)生的推理論證能力、合情推理能力、運用圖形語言進(jìn)行表達(dá)與交流的能力．

三、教學(xué)重難點

（1）關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，從容面對學(xué)生在立體幾何學(xué)習(xí)過程中遇到的困難，尤其是位置關(guān)系中平行與垂直的性質(zhì)定理運用中的細(xì)節(jié)處理；

（2）尋求輔助線，實現(xiàn)推理論證中的輔助線的準(zhǔn)確把握．

四、教學(xué)方法及教學(xué)設(shè)計意圖

1．教學(xué)方法

本節(jié)課的教學(xué)重點是幫助學(xué)生形成空間想象能力，實現(xiàn)嚴(yán)密推理．而要達(dá)到這一目的，必須讓學(xué)生參與到這些知識的發(fā)生、發(fā)展與應(yīng)用的全過程．采用多媒體PPT課件動畫演示等輔助教學(xué)的方法，使學(xué)生進(jìn)一步了解平行、垂直關(guān)系的基本性質(zhì)以及判斷方法，通過自己的實踐與體驗，發(fā)現(xiàn)、確認(rèn)有關(guān)空間幾何圖形中平行、垂直的一些主要的結(jié)論，真正實現(xiàn)合情推理與演繹推理的有機(jī)結(jié)合．

2．設(shè)計意圖

立體幾何中平行與垂直的把握是一個漸進(jìn)（對某些同學(xué)而言甚至是漫長）的過程，需要學(xué)生經(jīng)歷直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、度量計算等探索的過程，這需要一定的時間內(nèi)轉(zhuǎn)化到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中去．在教學(xué)設(shè)計中利用導(dǎo)學(xué)案媒介，針對學(xué)情，靈活處理教學(xué)活動的各個環(huán)節(jié)在高三復(fù)習(xí)課中的細(xì)化要求，真正發(fā)揮學(xué)生主體作用，營造生動課堂、生本課題、生成課堂、生長課堂．

五、教學(xué)過程

1．設(shè)計情景，引入本課

2012年江蘇高考數(shù)學(xué)學(xué)科《考試說明》中，明確要求“重視數(shù)學(xué)基本能力和綜合能力的考查”．?dāng)?shù)學(xué)基本能力主要包括空間想象，抽象概括，推理論證，計算求解，數(shù)據(jù)處理這幾方面的能力．立體幾何是對“空間想象、推理論證、計算求解”三大能力考查的集中體現(xiàn)，是歷年高考重點內(nèi)容之一，而且容易得分．但同學(xué)們?nèi)匀淮嬖凇翱臻g想象能力不強(qiáng)、推理論證能力不強(qiáng)、圖形識別不清、輔助線無法準(zhǔn)確確定、書寫表述不規(guī)范不嚴(yán)謹(jǐn)”等問題．以上問題中在平行與垂直關(guān)系中體現(xiàn)最集中，利用本節(jié)課再與大家就以上問題進(jìn)行探討、交流.

設(shè)計意圖：從考試研究的角度對高三學(xué)生進(jìn)行立體幾何考查的重點與易錯點進(jìn)行探討，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和興趣，提高學(xué)生的求知欲望和課堂關(guān)注率.

2.自主探究，提煉方法

問題①：平行、垂直關(guān)系的判斷

例題：設(shè)α和β是不重合的兩個平面，m，l是不重合的兩條直線，給出下列命題：

（1）若平面α內(nèi)的兩條直線分別平行于β內(nèi)的兩條直線，則平面α平行于平面β；

（4）若m∥α，l?α，則m∥l.上面命題中，真命題的序號是______.

設(shè)計意圖：這類題為高考?？碱}型，其實質(zhì)為多項選擇.主要考查空間中線面之間的位置關(guān)系，要求熟悉有關(guān)公理、定理及推論，并具備較好的空間想象能力，做到不漏選、不多選、不錯選，有一定難度.

通過這一小題的處理能讓高三學(xué)生形成：解決這類問題的基本策略［2］；正確轉(zhuǎn)換符號語言、圖形語言與文字語言；構(gòu)造并利用具體模型（比如長方體），直觀感知，操作確認(rèn)；熟練運用4條公理、3條推論和8條判定與性質(zhì)定理來判斷空間位置關(guān)系，通過證明或舉反例來確定命題的真假.

學(xué)生1：這類題目我們用身邊的筆比作直線、書本看成平面進(jìn)行比劃，再結(jié)合有關(guān)定理就可以一一解決了，只有（3）是真命題.

教師：以上四個線面關(guān)系判定主要考查大家對教材中涉及到平行與垂直有關(guān)定理的理解和掌握，我們要進(jìn)一步理解相關(guān)定理中的關(guān)鍵條件，要學(xué)會提煉關(guān)鍵詞.

學(xué)生2：（1）中的關(guān)鍵詞是“相交”.

學(xué)生3：（2）中的關(guān)鍵詞是兩條“相交”直線.

學(xué)生4：（4）中的關(guān)鍵詞是“交線”.

教師：這類題型是填空題的?？碱}型，要能夠正確轉(zhuǎn)換符號語言、圖形語言與文字語言；構(gòu)造并利用具體模型，直觀感知，操作確認(rèn)；熟練運用定理來判斷空間位置關(guān)系，通過證明或舉反例來確定命題的真假.當(dāng)然要注意不把平面幾何結(jié)論簡單類比到空間立體幾何中來.

3.數(shù)學(xué)運用，深化理解

問題②：平行與垂直關(guān)系的證明

例題 蘇教版《必修2》第62頁第17題改編：A1EM⊥面AC1D？

圖1

若存在，指出點M的位置；若不存在，說明理由.

設(shè)計意圖：這是《必修2》第62頁第17題的改編題.主要考查正三棱柱中的線面垂直和線面平行，實際上，還可以證明平面A1EB∥平面ADC1，平面ADC1⊥平面BB1C1C.與2009年江蘇卷第16題相近，選此題旨在通過探討可以進(jìn)一步讓學(xué)生體會處理立體幾何問題的常見操作流程（即先識別圖形、圈畫關(guān)鍵條件、正確使用定理、合理探求輔助線、準(zhǔn)確表述定理處理條件，實現(xiàn)完美推證），同時提醒學(xué)生對教材的關(guān)注，重視教材并能用好教材.

問題1：讀題、識圖，能得到哪些線線、線面和面面的位置關(guān)系（平行與垂直）？

設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生讀題、識圖的習(xí)慣，突出破題指導(dǎo)，讓學(xué)生養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣.

學(xué)生5：底面是正三角形、側(cè)棱垂直于底面，D點是BC的中點.

學(xué)生6：平面A1EB∥平面ADC1，平面ADC1⊥平面BB1C1C.

問題2：若E是邊B1C1的中點，能否推出A1E∥面AC1D.下面以小組為單位實施討論，并派出代表為大家展示證明過程.

設(shè)計意圖：回歸教材，讓學(xué)生感悟教材的重要性，同時了解學(xué)情，看看學(xué)生對線面平行的判定定理的掌握如何，為下面問題的解決做好鋪墊.

學(xué)生小組討論……

學(xué)生7（黑板板演）：證明：在正三棱柱ABC—A1B1C1中，CC1⊥面ABC，AD?面ABC，所以AD⊥CC1.又因為AD⊥C1D，CC1DC1=C1，所以AD⊥面BB1C1C，所以AD⊥BC.

△ABC是正三角形，即D是BC在中點.連接DE，E是B1C1的中點，則DECC1AA1，所以四邊形A1ADE是平行四邊形.

所以A1E∥AD，而AD?面ADC1，所以A1E∥面ADC1.

師生共同分析，回顧該同學(xué)證明過程（尤其在使用定理進(jìn)行推理時的嚴(yán)密程度）.

教師：很好！這個小組的代表，展示了完整的證明過程，為所有同學(xué)提供了示范.其實立體幾何的證明：我們要抓住關(guān)鍵，實現(xiàn)嚴(yán)密推理（每個推理均是一個三段論），尤其是條件沒有給出的關(guān)系使用時必須推證，千萬不要跳步，這樣才能做到拿滿分.下面我們回到本題上來.

教師：（1）如果A1E∥面AC1D，求證：E是邊B1C1的中點.這是教材問題的逆命題，我們怎么處理？

學(xué)生8：如圖2，連接DE.

因 為A1E∥ 面 AC1D，A1E∥ 面AC1D∩面AA1ED=AD，所以A1E∥AD.

學(xué)生9：這種證明有問題，為什么四點A，A1，E，D共面呢？連接DE，如果形成面AA1ED，只有在“E是邊B1C1的中點”條件下才能成立！

教師：對呀！我們實施推理論證

的過程就是對每一位同學(xué)的邏輯推理能力的一個考查，而整個過程就是由一個個邏輯鏈連接而成的，有一個連接鏈出問題，整個論證就會失?。ㄎ覀兏苊庥媒Y(jié)論證結(jié)論即循環(huán)論證的現(xiàn)象）.那本題的關(guān)鍵是什么？

圖2

學(xué)生10：本題的關(guān)鍵是用好A1E∥面AC1D這個條件，就是線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行.

教師：對了，怎樣作出過A1E的一個面，進(jìn)而得到面與面的交線？

學(xué)生11：連接A1C交AC1于G，連接EC交DC1于H，交線為GH.

由于A1E∥面AC1D，故A1E∥GH.由于G為AC1的中點，則H為C1D的中點，在側(cè)面矩形BB1C1C中，△EC1H≌△DCH，由于D點是中點，故E是邊B1C1的中點.

（教師可以同步在PPT上或者黑板上作出相應(yīng)圖形，尤其輔助線的作法這一證明細(xì)節(jié)要交代清楚）

教師：很好，這位同學(xué)緊扣“線面平行到線線平行”這一主線，整個過程閃耀著理性思維的光芒（注重賞識教育）.空間點、線、面的基本性質(zhì)，是我們實施嚴(yán)密推理的出發(fā)點，探索并證明空間點、線、面的位置關(guān)系將考量每位同學(xué)的推理論證能力、合情推理能力、運用圖形語言進(jìn)行表達(dá)與交流的能力.下面接著再看本題的第二問.

教師：這是一個探究類問題，處理這類問題的突破口在哪里？

學(xué)生沉思……

（給足學(xué)生思考的空間和時間，讓學(xué)生去聯(lián)想、探索，從真正意義上完成對知識的建構(gòu)）

學(xué)生12：利用面A1EM⊥面AC1D，尋找平面A1EM的垂線，其實通過開始的識別圖形我們就知道A1E⊥C1D了，所以只要在矩形BB1C1C中滿足EM⊥C1D即可，如圖3.

下面只要通過計算就可以解決了.

教師：本題的探究關(guān)鍵是找到點M，再作論證，對于未知點一定要通過輔助線來實現(xiàn)，這是我們突破這個問題的最大障礙，某同學(xué)從如何突破思維障礙到探究論證問題，進(jìn)行了詳盡的說明（尤其是抓住一面的垂線這一關(guān)鍵點值得我們好好學(xué)習(xí)）.在解答問題的過程中，分析有理有據(jù)，反應(yīng)出他的邏輯思維品質(zhì)很好.

當(dāng)然本題還涉及到化歸數(shù)學(xué)思想，特別是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題的思想意識和方法，對提高空間想象能力、推理能力和計算能力都是有很大幫助的.下面將本題的完整過程整理出來.（學(xué)生整理略）

圖3

教師：若E不是中點（但A1E⊥側(cè)面BB1C1C不變），如C1E=2，又如何？

學(xué)生：這還是在側(cè)面矩形BB1C1C中滿足EM⊥C1D即可，下面以算代證即可.

教師：以多面體為載體，考查線線、線面、面面的平行與垂直的判定與性質(zhì)，是重點題型.此類題既可以考查幾何體的概念和性質(zhì)，又能考查空間的線面關(guān)系，還有可能結(jié)合一些簡單的運算，比較全面地考查學(xué)生的能力.相信大家通過本題的研究一定會有所收獲！

4.課堂小結(jié)，總結(jié)提升

（1）用好平行、垂直定理中的關(guān)鍵條件，保證嚴(yán)謹(jǐn)推理；

（2）仔細(xì)讀題，準(zhǔn)確識圖，形成圈畫、標(biāo)注關(guān)鍵詞、分解組合圖形、提取基本平面圖形的解題觀念；

（3）推理證明要凸現(xiàn)關(guān)鍵詞、關(guān)鍵步驟，嚴(yán)防“對而不全”現(xiàn)象的發(fā)生.

六、教學(xué)感悟

高三數(shù)學(xué)課堂如何真正的提高實效，只有教學(xué)內(nèi)容的針對性、落實課堂教學(xué)的參與性效果才會更好.課堂教學(xué)通過學(xué)生自主讀題、識圖、破解題目（尤其是根據(jù)題目條件能夠得到哪些結(jié)論，讓學(xué)生對解決題目有一個知識儲備），為教師組織后面的教學(xué)提供一個診斷，進(jìn)一步加強(qiáng)了教學(xué)的針對性.

本節(jié)課中解決了：證明或探究空間中線線、線面、面面平行與垂直的位置關(guān)系.一要熟練掌握所有判定定理與性質(zhì)定理，梳理好各種位置關(guān)系的常見證明方法，如證明線面平行，既可以構(gòu)造線線平行，也可以構(gòu)造面面平行，而證明線線平行常用的是三角形中位線性質(zhì)，或構(gòu)造平行四邊形；二要用分析與綜合相結(jié)合的方法來尋找證明的思路；三要注意表述規(guī)范，推理嚴(yán)謹(jǐn)，避免使用一些雖然正確但不能作為推理依據(jù)的結(jié)論.

本節(jié)課選擇了教材中的一道習(xí)題作為展開討論的基礎(chǔ)，旨在培養(yǎng)學(xué)生多關(guān)注教材.當(dāng)然對教材的研究和把握還有很長的路要走，需要師生們共同努力，并為之奮斗！

1.2009年江蘇省普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)教學(xué)要求.

2.2011年內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市高中全員培訓(xùn)，高中立體幾何教學(xué)設(shè)計，金釗.