抽絲剝繭——判別式法求函數(shù)值域剖析

☉江西省樟樹中學(xué) 李志紅 徐彩剛

抽絲剝繭
——判別式法求函數(shù)值域剖析

☉江西省樟樹中學(xué) 李志紅 徐彩剛

判別式法是高中求分式函數(shù)值域的常用方法．但由于許多學(xué)生對(duì)此方法的原理不很清楚，在解題過程中對(duì)一些條件不能正確地處理，從而導(dǎo)致解題出錯(cuò)．

下面以幾個(gè)題目為例，說明判別式法的原理以及在使用過程中一些要注意的地方．

圖1

將原函數(shù)等價(jià)變形為關(guān)于x的方程：

因?yàn)棣ぁ?，所以－4≤y≤1．再結(jié)合此分類的前提，所以－4≤y≤1且y≠（既然值域中任意的一個(gè)y都要滿足這些條件，所以它是值域的一部分）.

最后進(jìn)行綜合，由（1）（2）可知，值域?yàn)椋郏?，1］．注：

1．本題的解法中解釋了Δ≥0的原因.

2．解題時(shí)要注意（*）式不一定是二次式，所以要記得討論二次項(xiàng)系數(shù)是否為0．

變式：在例1中增加一個(gè)條件：x≠－1，求函數(shù)的值域．

由例1的解答顯然有－4≤y≤1，

另外，如果我們把x=－1代入原函數(shù)可求出y=0，這就有個(gè)問題：x≠－1時(shí)是否要挖去對(duì)應(yīng)的y=0呢？

這要看情況．

本題中y=0代入（*）式求得x=－1或3兩個(gè)根．所以即便x≠－1，仍可以由x=3代入原函數(shù)求出y=0，故不能挖去．

按照上面的分析思路，假如y=0代入（*）式只有一根x=－1，則要挖去對(duì)應(yīng)的y的值．

下面我們?cè)賮砜匆粋€(gè)定義域不為R的例子．

解：分母不能為0，所以函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠－1，x≠3}．

將原函數(shù)等價(jià)變形為關(guān)于x的方程：

（1）當(dāng)y=1時(shí)，x=－4，所以y可以取到1．

（2）當(dāng)y≠1時(shí)，由題意知（*）式有根，且至少有一根不為3和－1．

即不允許出現(xiàn)下面三個(gè)圖所示的情況：

圖2

圖3

圖4

經(jīng)驗(yàn)證x=3和x=－1不是（*）式的解，所以上述三種情形不可能出現(xiàn)．

所以只需Δ≥0即可，以下計(jì)算過程略．

有些文章提到過分子分母有公因式的類型，筆者看來，此類題目最好約去公因式再去求最值．當(dāng)然用判別式法解也可以，與上面例題求解方法上是一致的.

解：由x2+x－6≠0，得函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠2，x≠－3}.

將原函數(shù)等價(jià)變形為關(guān)于x的方程：

（1）當(dāng)y=1時(shí)，代入（*）式求得x=－3，而定義域中x≠－3，因此y≠1.

（2）當(dāng)y≠1時(shí)，由題意知（*）式有根，且至少有一解不為2和－3.

因?yàn)棣ぁ?，所以y∈R.

剛才分析的幾個(gè)題目的定義域是R中挖去個(gè)別實(shí)數(shù)，那么如果挖去大塊區(qū)域怎么辦呢？我們看下一個(gè)例子.

圖5

對(duì)它進(jìn)行變形得到關(guān)于t的方程yt2－t+y=0. （*）

所以（*）式有大于等于2的根.

在用判別式法求函數(shù)值域過程中出現(xiàn)種種問題，原因還是對(duì)該方法的原理不是很清晰而導(dǎo)致的.只有搞清原理，才能避免盲目套用，從容應(yīng)對(duì)各種類型的變化.只有這樣，才算是真正掌握了這種方法.