探索在函數(shù)單調(diào)性下求參數(shù)取值范圍的策略

☉福建省泉州市南安僑光中學 陳良達

探索在函數(shù)單調(diào)性下求參數(shù)取值范圍的策略

☉福建省泉州市南安僑光中學 陳良達

我們知道以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的基本性質(zhì)一直是高考的命題熱點，而在函數(shù)考查中又往往與參數(shù)相聯(lián)系，并在高考中有逐年加大難度的趨勢.本文嘗試著探索函數(shù)的單調(diào)性與參數(shù)的取值范圍間的關(guān)系.

函數(shù)單調(diào)性確定含參函數(shù)的參數(shù)取值范圍是一類探索性問題，這類問題主要轉(zhuǎn)化為恒成立問題或存在性問題中的求參數(shù)問題.而解決此類問題，主要通過轉(zhuǎn)化與化歸思想，把這類函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為含參不等式的恒成立問題或存在性問題，再根據(jù)其不等式的結(jié)構(gòu)特征求參數(shù)取值范圍.本文通過例題來談談這類問題的轉(zhuǎn)化方法.

一、基本類型

1.轉(zhuǎn)化為含參不等式的恒成立問題

已知函數(shù)f（x）在x∈（a，b）上為增（或減）函數(shù)，求參數(shù)的取值范圍.

2.轉(zhuǎn)化為含參不等式的存在性問題

已知函數(shù)f（x）在x∈（a，b）上存在單調(diào)遞增（或遞減）區(qū)間，求參數(shù)的取值范圍.

策略：f（x）在x∈（a，b）上存在單調(diào)遞增（或遞減）區(qū)間?存在x∈（a，b）使得f′（x）≥0（或f′（x）≤0），但解題時需檢驗當參數(shù)取等號時是否滿足題意.

二、應用舉例

即a＜x2對x∈（1，+∞）恒成立.故a＜1.

錯誤剖析：上述錯解中認為函數(shù)f（x）在D上遞增?f′（x）＞0對x∈D恒成立.

2.正確解題策略

正解1：①當a＞0時，由學生解法1可知：0＜a≤1；

所以y=f（x）的遞增區(qū)間為（0，+∞）.故a≤0符合題意.

綜上所述：a≤1.

點評：用導數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再由子集關(guān)系確定參數(shù)的范圍，該解法條理清晰，易于解題，但同時也要注意分類的數(shù)學思想方法，防止錯漏.

點評：利用導數(shù)符號將函數(shù)單調(diào)性關(guān)系轉(zhuǎn)化為 “恒成立問題”，該解法避開了分類討論的易錯點，但在轉(zhuǎn)化過程中f′（x）=0常常會被學生遺漏，要特別小心.

（2）若f（x）為R上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍.

解：（1）略.

所以f′（x）≥0對x∈R恒成立，即ax2－2ax+1≥0在R上恒成立.

所以Δ=4a2－4a≤0，結(jié)合a＞0，解得0＜a≤1.經(jīng)檢驗a=1符合題意，故0＜a≤1.

點評：某區(qū)間（a，b）上連續(xù)可導函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)導數(shù)符號之間的關(guān)系為：若函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上單調(diào)遞增（遞減），則f′（x）≥0（f′（x）≤0），x∈（a，b），但解題時需檢驗當參數(shù)取等號時是否滿足題意.

1.常見錯誤解法

錯誤剖析：上述錯解中認為函數(shù)f（x）在D上存在單調(diào)遞增區(qū)間?存在x∈D使得f（x）≥0成立.

2.正確解題策略

（2）略.

點評：某區(qū)間（a，b）上連續(xù)可導函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)導數(shù)符號之間的關(guān)系為：若函數(shù)f（x）在x∈（a，b）上存在單調(diào)遞增（遞減）區(qū)間，則存在x∈（a，b）使f′（x）≥0（f′（x）≤0）成立，但解題時需檢驗當參數(shù)取等號時是否滿足題意.

總之，已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍，不外乎兩種解題策略：一是求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再由子集關(guān)系確定參數(shù)的范圍，該解法條理清晰，易于解題，但同時也要注意分類的數(shù)學思想方法，防止錯漏；二是利用導數(shù)符號將函數(shù)單調(diào)性關(guān)系轉(zhuǎn)化為“恒成立問題”或“存在性問題”，該解法避開了分類討論的易錯點，但在轉(zhuǎn)化過程中f′（x）=0常常會被學生遺漏，要特別小心.