例談數(shù)學(xué)直覺思維培養(yǎng)

☉江蘇省海安縣實(shí)驗(yàn)中學(xué) 李春玲

例談數(shù)學(xué)直覺思維培養(yǎng)

☉江蘇省海安縣實(shí)驗(yàn)中學(xué) 李春玲

直覺思維是指人們打破邏輯規(guī)則的約束，直接領(lǐng)悟事物本質(zhì)的一種思維方式，是一種非邏輯思維.直接考慮數(shù)學(xué)對(duì)象、結(jié)構(gòu)及數(shù)學(xué)關(guān)系的思維活動(dòng)，我們稱之為數(shù)學(xué)直覺思維.法國(guó)數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家龐加萊說：“邏輯用于證明，直覺用于發(fā)明.”由于我國(guó)的數(shù)學(xué)教學(xué)歷來較多強(qiáng)調(diào)邏輯推理，而對(duì)數(shù)學(xué)直覺思維有所忽視，使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)產(chǎn)生枯燥感，從而喪失興趣，缺少創(chuàng)新與發(fā)明.因此，數(shù)學(xué)直覺思維的培養(yǎng)不僅是數(shù)學(xué)教學(xué)的需要，也是社會(huì)發(fā)展的需要，更是現(xiàn)代化社會(huì)公民的必備思維素質(zhì).

現(xiàn)將筆者在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)直覺思維能力的幾例予以展示，供大家參考.

師：這是一道比較大小題，如何解決此類問題？

生1：這類題通常用作差法或作商法，這道題我認(rèn)為用作差法比較適合.（這時(shí)候好多同學(xué)從埋頭苦算中抬起了頭，并肯定這一方法一定比邏輯推理來得快，但有同學(xué)還有見解）

生2：考慮是指數(shù)函數(shù)題，憑直覺應(yīng)該考慮到圖像法.

師：生1，展示一下你的方法！

師：兩位同學(xué)的解題思路都很好.

解析：生1由作差后的式子的特征，巧妙運(yùn)用完全平方恒為正這一看似與本題毫無關(guān)系的知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)用代數(shù)法解題.生2由f（x）=2x的圖像特征建立的知識(shí)框架，秒殺看似較抽象的一道函數(shù)題.

師：（為了進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的思維興趣）若將本題中的函數(shù)f（x）=2x改為f（x）=log2x，結(jié)論又如何呢？課堂上頓時(shí)一陣討論聲，隨后異口同聲得出了正確結(jié)論.

點(diǎn)評(píng)：這是一道考查指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的題目，涉及了函數(shù)的大小比較法、函數(shù)圖像、函數(shù)單調(diào)性.當(dāng)學(xué)生能合理清晰地掌握函數(shù)知識(shí)和相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，通過直覺，不用計(jì)算，直接推理就能給出準(zhǔn)確的判斷.合理清晰的知識(shí)結(jié)構(gòu)和體系，有利于形成思維框架，迅速將具體問題與相關(guān)知識(shí)形成聯(lián)系，選擇優(yōu)化解決問題的方案.產(chǎn)生直覺的源泉是扎實(shí)的基礎(chǔ)，直覺的獲得固然具有偶然性，但決不等同于無緣無故的憑空臆想.課堂教學(xué)中，應(yīng)通過培養(yǎng)學(xué)生的敏銳觀察力，通過教者富于感染力的語言表達(dá)，加強(qiáng)直覺思維能力的訓(xùn)練，提高學(xué)生的思維品質(zhì).

案例2 在高考第一輪復(fù)習(xí)函數(shù)與方程時(shí)，教者這樣設(shè)計(jì)了教學(xué).

題目：已知二次函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)分別是－2和3，且該函數(shù)的最大值為5，求y=f（x）的表達(dá)式.

生1：這是一道求二次函數(shù)解析式題，考慮二次函數(shù)求解析式共有三種設(shè)法，即一般式，頂點(diǎn)式，零點(diǎn)式.由本題情況應(yīng)設(shè)零點(diǎn)式y(tǒng)=f（x）=a（x－3）（x+2），求出a即可.（同學(xué)們一致贊同他的合情推理解題法）

師：好，生1的推理思路很清晰.請(qǐng)問，何時(shí)設(shè)頂點(diǎn)式，何時(shí)設(shè)一般式？

生2：知道頂點(diǎn)設(shè)頂點(diǎn)式，知道三個(gè)無太大關(guān)聯(lián)的點(diǎn)設(shè)一般式.（下面同學(xué)表示贊成，這問題太簡(jiǎn)單）

師展示題2：若二次函數(shù)f（x）的頂點(diǎn)為（1，16），其圖像在x軸上截得的線段長(zhǎng)為8，則求f（x）=0的兩根.

師：生4，你是否有其他想法？

生4：這題讀一遍就應(yīng)有結(jié)果.頂點(diǎn)是（1，16），對(duì)稱軸為直線x=1，由題意易知兩根為x1=1－4=－3和x2=1+4=5.（下面有好多同學(xué)附和，師帶頭鼓掌）

點(diǎn)評(píng)：生3的結(jié)果是正確的，這是典型的合情推理，這樣的解題思路從具體情境入手，對(duì)癥下藥，解題步驟嚴(yán)密.但對(duì)比生4與生3的合情推理，生4則更能具體情況具體推理，更能體現(xiàn)合情推理的內(nèi)涵.合情推理是從已有的知識(shí)和具體的事實(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，通過觀察、實(shí)驗(yàn)、類比、聯(lián)想、歸納、猜測(cè)等手段，在某種情境和過程中得出某一可能性結(jié)論的推理.這種推理從觀察、實(shí)驗(yàn)入手，通過類比或通過歸納作出猜想，故解題更簡(jiǎn)潔.平時(shí)要有意識(shí)地在教學(xué)中進(jìn)行這些思維活動(dòng)的訓(xùn)練，有意識(shí)地滲透合情推理思想.這樣，學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺就慢慢產(chǎn)生，在遇到具體問題時(shí)會(huì)自然以合情推理為前提產(chǎn)生直覺頓悟.總之，合情推理的實(shí)際意義是“發(fā)現(xiàn)”.

同學(xué)們有的在設(shè)動(dòng)點(diǎn)，埋頭演算，有的在準(zhǔn)確地畫圖，巡視過程中，我發(fā)現(xiàn)生1不斷地在圖上改變直線AB的位置.

師：生1，通過思考，你能確定AB恒過一定點(diǎn)嗎？

圖1

圖2

生1展示了他的解題過程：

師生共同完成了一般情況下點(diǎn)P的求解過程：

點(diǎn)評(píng)：數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)解題的常用思想，數(shù)形結(jié)合以給解題過程帶來直觀、形象、簡(jiǎn)潔而受青睞.數(shù)形結(jié)合思想方法的運(yùn)用會(huì)使直觀與抽象，感知與思維巧妙結(jié)合，數(shù)形結(jié)合能喚起直覺思維的靈感.在教學(xué)中，重視從教學(xué)設(shè)計(jì)，教學(xué)方法，教學(xué)手段等方面滲透，使學(xué)生達(dá)到見數(shù)思形，以形助數(shù)，數(shù)形適時(shí)轉(zhuǎn)化，相互補(bǔ)充，使學(xué)生數(shù)學(xué)思路開闊，釋疑敏捷.

①當(dāng)a=5時(shí)，數(shù)列{xn}的前3項(xiàng)依次為5，3，2；

②對(duì)數(shù)列{xn}都存在正整數(shù)k，當(dāng)n≥k時(shí)總有xn=xk；

其中真命題有______.（寫出所有真命題的編號(hào)）

題目展出后，同學(xué)們普遍感覺有難度，只有命題①大家公認(rèn)正確.

師：我們?nèi)绾闻袛嗥渌齻€(gè)命題的真?zhèn)文?？（教室里鴉雀無聲）

生2突然站起：對(duì)于②③④可以采用特殊值法檢驗(yàn).

師：好，給大家講講你的思路！

生1：當(dāng)a=1時(shí)，x1=1，x2=1，x3=1，xn=1，此時(shí)②③④均對(duì).

當(dāng)a=2時(shí)，x1=2，x2=1，x3=1，xn=1，此時(shí)②③④均對(duì).

當(dāng)a=3時(shí)，x1=3，x2=2，x3=1，x4=2，x5=1，斷定往后的項(xiàng)是2，1，2，1相間，此時(shí)③④仍然成立.因此，憑直觀我們可以猜想③④也是真命題.

師：對(duì)于此道題，由于題型特殊，生1取特殊值檢驗(yàn)，方法巧妙！這道題的理論依據(jù)值得大家一起探討.（接下去，師生一起探討出證明過程）

點(diǎn)評(píng)：此題難度較大，尋找解題的切入口是難點(diǎn)，特殊值列舉對(duì)于本題的解題是有效的解決辦法.特殊化方法使學(xué)生憑直覺進(jìn)行推斷的理論依據(jù)是：若在一般情況下成立，則包含于題目之中的特殊情況也成立.特殊化思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，尤其在高考的非答題中，利用特殊的圖形、數(shù)字、式子開路，尋求解題突破口，易于發(fā)覺解題思路，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維、提高和研究問題的思維品質(zhì).針對(duì)特定的題型，恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用特殊化思想，往往會(huì)給解題帶來化繁為簡(jiǎn)、化難為易的奇效.

綜上，在當(dāng)今數(shù)學(xué)教學(xué)中注重培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺思維勢(shì)在必行.直覺思維能使學(xué)生解題時(shí)迅速抓住問題本質(zhì)，作出判斷.但數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，直覺思維不可避免的會(huì)有思維空隙，這需要用邏輯思維加以填補(bǔ).事實(shí)上，恩格斯早就教導(dǎo)我們：“歸納和演繹，正如分析和綜合一樣，是必然互相聯(lián)系著的，不應(yīng)犧牲一個(gè)而把另一個(gè)捧到天上去，應(yīng)當(dāng)把每一個(gè)都用到該用的地方去，而要做到這一點(diǎn)，就必須注意它們的相互聯(lián)系、它們的相互補(bǔ)充.”因此，直覺思維和邏輯思維同等重要，忽視哪一方都會(huì)使一個(gè)人的思維能力的發(fā)展受到限制.這就要求在數(shù)學(xué)教學(xué)中，將學(xué)生的兩種思維同時(shí)開拓，促進(jìn)學(xué)生思維的全面、健康發(fā)展，適應(yīng)新時(shí)期社會(huì)對(duì)人才的需求.