課堂中暴露思維過程是數(shù)學(xué)教學(xué)的靈魂

☉江蘇省南通中學(xué) 楊建楠

課堂中暴露思維過程是數(shù)學(xué)教學(xué)的靈魂

☉江蘇省南通中學(xué) 楊建楠

一、什么是課堂中的暴露思維過程

數(shù)學(xué)課堂中暴露思維過程指：在課堂中向?qū)W生展示數(shù)學(xué)家的思維、教師的思維以及學(xué)生的思維三種思維活動.具體地說，就是將知識的形成過程、結(jié)論的探索過程、問題的深化過程、分析問題和解決問題的過程展現(xiàn)出來.數(shù)學(xué)教學(xué)大綱指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)中，發(fā)展思維能力是培養(yǎng)能力的核心.”“數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程不僅是知識的接收、貯存和應(yīng)用的過程，更重要的是思維的訓(xùn)練和發(fā)展過程.”在課堂上暴露思維過程，是為了潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)課堂以思維的訓(xùn)練和發(fā)展為主線與目標(biāo)，而思維的訓(xùn)練和發(fā)展又是以暴露思維過程為前提的，數(shù)學(xué)能力是在暴露思維的過程中得到錘煉和提高的.數(shù)學(xué)課堂活動中，師生雙方都應(yīng)該充分暴露思維過程，一方面：教師將教材安排的意圖，自己處理問題的想法表現(xiàn)出來，展現(xiàn)給學(xué)生，便于學(xué)生深層次的理解與思維方法的借鑒；另一方面：學(xué)生將自己對問題的認(rèn)識，如何思考與研究問題的思維過程暴露出來，便于教師及時反饋評價與有針對性的糾錯.這樣數(shù)學(xué)課堂活動就溝通了師生間思維路線，形成“教”與“學(xué)”的回路，這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)才有助于優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的思維能力，因此可見課堂中暴露思維過程是數(shù)學(xué)教學(xué)的靈魂．

二、課堂教學(xué)中暴露思維過程的原則

暴露數(shù)學(xué)思維過程的目的是使學(xué)生在原有知識和經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，在主動參與中，通過操作與實(shí)踐，由外部活動逐漸內(nèi)化，完成知識的發(fā)展過程和“獲取”過程，突破學(xué)生思維障礙，所以在數(shù)學(xué)教學(xué)中，暴露思維發(fā)生發(fā)展過程是符合學(xué)生認(rèn)識規(guī)律的．暴露數(shù)學(xué)思維過程教學(xué)中要堅持：（1）主體性原則，課堂教學(xué)中，要求體現(xiàn)學(xué)生是思維活動的主體．遵循學(xué)生的思維規(guī)律，課堂教學(xué)活動中要求教師與學(xué)生的思維同步，必須按照思維活動過程的規(guī)律進(jìn)行教學(xué)，使學(xué)生能形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，優(yōu)化的思維品質(zhì)．（2）對應(yīng)性原則，課堂教學(xué)中，要注意二個方面的對應(yīng)，一是暴露思維過程應(yīng)當(dāng)與教材結(jié)構(gòu)和教學(xué)內(nèi)容相對應(yīng)，二是必須要圍繞著教學(xué)難點(diǎn)去分析和設(shè)計暴露的程序與思考的對策．（3）啟發(fā)性原則，課堂教學(xué)中，要尊重學(xué)生的思維特點(diǎn)，不能置學(xué)生的心理狀態(tài)和思維狀態(tài)于不顧，超前指路，也不可強(qiáng)制學(xué)生按自己提出的途徑和方法去思考問題，越俎代庖選取優(yōu)化的啟發(fā)策略，課堂活動中當(dāng)學(xué)生思維受阻時，教師應(yīng)遵循學(xué)生思維的途徑和規(guī)律啟發(fā)學(xué)生，應(yīng)當(dāng)善于因勢利導(dǎo)、層層設(shè)疑、步步深入，朝著有利于學(xué)生思維發(fā)展的方向去啟發(fā)與引導(dǎo)．（4）過渡性原則，課堂教學(xué)中，暴露思維過程要適時、恰當(dāng)，把握好“過渡”契機(jī)，使得課堂教學(xué)中的暴露過程具有“過渡”的合理性．（5）雙方性原則，課堂教學(xué)中，思維的暴露不僅僅是一方面的，它必須是師生雙方共同在教學(xué)活動中充分暴露思維的一個過程．

三、課堂教學(xué)中暴露思維過程的時機(jī)

1．在探索中暴露

教材因為篇幅的關(guān)系許多內(nèi)容省略了知識的發(fā)展、探索過程，數(shù)學(xué)中的定理性質(zhì)是如何發(fā)現(xiàn)的，解決問題的方法是如何構(gòu)想的和研究的，學(xué)生對它們的發(fā)現(xiàn)和探索過程有種神秘感和疑惑感．在課堂活動中，教師去模擬知識形成的原始思維，暴露探索知識的過程，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)問題情景，教會學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題與研究問題的思維方式以及方法．

2．在反思中暴露

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中，往往注重數(shù)學(xué)的結(jié)論，輕視獲得結(jié)論的思維過程中，輕視反思問題，輕視深化知識的過程．而學(xué)習(xí)中的反思是思維發(fā)展的重要手段，所以在課堂活動中要善于去啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生去反思思維過程，以達(dá)到暴露思維的目的．

案例2：以原點(diǎn)O和點(diǎn)A（5，2）為頂點(diǎn)作等腰Rt△OAB使∠B=90°，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．

由于解析幾何的思維習(xí)慣性，學(xué)生意識不到向量方法的應(yīng)用，這三種方法的層層推進(jìn)，計算的優(yōu)化只是表象，思維的變化才具有更多的價值．

3．在延伸中暴露

教師指導(dǎo)學(xué)生解題、證題，常有這種現(xiàn)象，題解完了，但學(xué)生的思維過程并沒有結(jié)束，教師若能抓住這個理想的思維機(jī)會，把學(xué)生想要延伸或想要表達(dá)出的的思維過程揭示出來，這不僅僅拓寬了思維空間，延長了思維的時間，而且加大了思維的力度，促使了思維的“上升”．例如：解后審視解題過程，評價原認(rèn)識過程，檢查解題過程是否準(zhǔn)確，討論或論證是否嚴(yán)密，方法是否恰當(dāng)，有沒有更簡捷更高明的方法，對所得的結(jié)果能否進(jìn)一步引申推廣，能否總結(jié)出規(guī)律來等等，通過延伸思維引導(dǎo)學(xué)生自我總結(jié)和領(lǐng)悟解題中的數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)方法，積累對數(shù)學(xué)知識聯(lián)系的整體感知，

案例3：解析幾何復(fù)習(xí)課.

例題 已知：點(diǎn)P在橢圓x2+4y2=4上運(yùn)動，求定點(diǎn)A（0，2）到動點(diǎn)P的距離AP的最大值．（講解完以后，師生共同對問題的條件、結(jié)論等進(jìn)行改變以及拓展）

變題1：將求AP的最大值改為求AP的最小值．

變題2：將橢圓改為雙曲線x2－4y2=4，結(jié)論改為求AP的最小值．

變題3：將橢圓改為拋物線y2=2x，結(jié)論改為求AP的最小值．

變題4：已知點(diǎn)P在橢圓x2+4y2=4上運(yùn)動，定點(diǎn)A（0，a）（a＞0），求AP的最大值．

變題5：動點(diǎn)Q在圓x2+y2－4y+3=0上運(yùn)動，動點(diǎn)P在橢圓x2+4y2=4上運(yùn)動，求PQ的最大值．

變題6：求三角式（cosα－2cosβ）2+（2+sinα－sinβ）2的最大值．

4．在鋪墊中暴露

數(shù)學(xué)解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要手段，因此教師在解題時要充分暴露思維的過程．解題方法的優(yōu)劣、速度的快慢都取決于思維能力的高低，而思維的提高與發(fā)展又依賴于解題過程中所創(chuàng)設(shè)的問題情景，所以解題教學(xué)中暴露思維過程是培養(yǎng)思維能力的良田沃土．一般來說，綜合性能愈強(qiáng)，知識跨度愈大的數(shù)學(xué)題，要求解題的思維層次愈高、方法的技巧性愈熟練，思維訓(xùn)練的價值愈大，學(xué)生就愈難以理解．這就要教師精心設(shè)計，做好中介鋪墊，減小問題的坡度，從未知順利的引渡到已知．鋪墊思維暴露，就是把架橋鋪路的思維過程暴露出來，給學(xué)生架起思維的“梯子”，促使學(xué)生思維上“臺階”．

案例4：由數(shù)列遞推關(guān)系求數(shù)列通項.

例題 已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=an+1，求通項an．

（學(xué)生齊聲）：因為an+1－an=1，所以{an}是等差數(shù)列，所以an=1+（n－1）·1=n．

T：很好．若將an+1=an+1改為［變式1］an+1=an+2n－1，此時由an+1－an=2n－1推不出{an}是等差數(shù)列，我們?nèi)绾稳デ蠼猓?/p>

T：（啟發(fā)）思維受阻時不妨“特殊探路”——譬如求a4．

S2：a2－a1=1，①?a2=2，a3－a2=2，②?a3=4，a4－a3=4，③?a4=8．

T：那么求a100呢？難道也是這樣一項一項求？能否直接求出a4呢？

S3：有了，只要把①、②、③式相加即得a4－a1=1+2+4，所以a4=8．

T：對，這叫做“設(shè)而不求”，這個解法我們?nèi)∶麨椤袄奂臃ā保F(xiàn)在你們會求an了嗎？

學(xué)生很快地求出了an=2n－1．

T：那位同學(xué)能對上述問題做一個小結(jié)．

S4：形如an+1=an+f（n）的遞推關(guān)系式，常用累加法轉(zhuǎn)化為等差（比）數(shù)列求和．（T：我們把這樣的方法叫做累加法）

T：下面，再將an+1=an+2n－1變?yōu)椋圩兪?］an+1=an·2n－1怎么求an？

S5：類比［變式1］的解法我們可以知道可以用累乘法

T：你能給這樣的題型做一個小結(jié)嗎？

S5：形如an+1=an·f（n）的遞推關(guān)系，常用累乘法求通項．

T：再將前面問題中的an+1=an+1改為［變式3］an+1=2an+1（其他不變），如何求an？

T：很好，答案正確，但這僅僅是猜想，還需要用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．這也是一種方法，這叫“先猜后證法”．請大家思考有無更簡便的方法？能否轉(zhuǎn)化為等差（比）數(shù)列？{an}本身是等差（比）數(shù)列嗎？

n+1n數(shù)）．

T：很好，他們由an+1=2an+1能轉(zhuǎn)化成一個復(fù)合型{an+c}，然后說明復(fù)合型{an+c}是等比數(shù)列，an就可求了，能把這一方法推廣到一般性？

5．在設(shè)計中暴露

課堂教學(xué)中精心設(shè)計的診斷性題目，通過題目的設(shè)計達(dá)到暴露思維的目的．如何設(shè)計好有診斷性的題目呢？首先要了解學(xué)情：了解學(xué)生可能產(chǎn)生的錯誤想法，設(shè)計在學(xué)生思維和方法上容易出錯的地方設(shè)計，其次在實(shí)施過程中，要使學(xué)生的觀點(diǎn)充分暴露后，再提出矛盾，抓住它做剖析治理．從暴露學(xué)生失誤思維入手，啟發(fā)學(xué)生自悟、自救．面對學(xué)生的失誤不要過早的點(diǎn)明，而應(yīng)在暴露學(xué)生思維失誤的過程中，讓學(xué)生自我發(fā)現(xiàn)，在教師的正確思維的引導(dǎo)下自我糾正．

6．在討論中暴露

在課堂教學(xué)中，為了充分的暴露學(xué)生的思維過程，在教學(xué)中教師要有意識的設(shè)置疑難，有組織的展開討論，把疑難問題引人深思，常常選擇一些學(xué)生不易理解的概念，不能正確運(yùn)用的知識或容易混淆的問題讓學(xué)生討論，從錯誤中引出正確的結(jié)論，給學(xué)生留下深刻的印象．

7．在細(xì)微中暴露

課堂教學(xué)中教學(xué)中，有許多細(xì)微部分往往具有十分豐富的思想內(nèi)含，存在著很大的思維訓(xùn)練價值，因此在教學(xué)活動中教師要善于“小題大做”，促使在“細(xì)微”中充分暴露思維過程．例如：在等比數(shù)列求和公式教學(xué)中，教會學(xué)生識記、應(yīng)用公式固然重要，但更重要的是推導(dǎo)公式過程中所涉及的思維方法和求數(shù)列前n項和的思維策略．所以講授時對公式的推導(dǎo)過程應(yīng)采用慢鏡頭的思維剖析，挖掘“錯位相減法”的思維過程，為后面學(xué)習(xí)數(shù)列求和打下了堅實(shí)的基礎(chǔ)．講指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)概念時，應(yīng)暴露底數(shù)a范圍規(guī)定的原因，強(qiáng)調(diào)a的區(qū)域，通過“假設(shè)”反問，反復(fù)暴露，反復(fù)強(qiáng)刺激學(xué)生，給學(xué)生留下深刻印象，為后面研究其性質(zhì)埋下伏筆．對教材細(xì)微之處的挖掘有助于學(xué)生的進(jìn)一步學(xué)習(xí)，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和嚴(yán)密性．

1．薛茂芳．?dāng)?shù)學(xué)概念及其教學(xué)［M］.鄭州：河南教育出版社，1994．

2．涂榮豹．談提高對數(shù)學(xué)教學(xué)的認(rèn)識［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2006（1-2）．

3．吳松嬌．淺析高中生數(shù)學(xué)思維障礙［J］．中國科教創(chuàng)新導(dǎo)刊，2008（21）．