有心插柳柳成蔭——例談三角形內(nèi)角和的一種變式推廣和應(yīng)用

☉江蘇省淮陰中學(xué)新城校區(qū) 趙惠敏 吳從洋

有心插柳柳成蔭
——例談三角形內(nèi)角和的一種變式推廣和應(yīng)用

☉江蘇省淮陰中學(xué)新城校區(qū) 趙惠敏 吳從洋

七年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生正式接觸到以圖形語言、符號(hào)語言形式呈現(xiàn)的圖形問題，在教學(xué)中，一些看似簡單的幾何圖形，如果對(duì)它深入研究，充分挖掘，會(huì)收到意想不到的收獲，這類題一般都具有典型性、示范性和遷移性，因此具有較高的應(yīng)用價(jià)值.針對(duì)這些問題，在教學(xué)中盡量采?。憾ㄎ换A(chǔ)圖形，突出知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，多方位、多角度的思考和解決問題，有助于學(xué)生思維的求新求變，下面以一道題為例，作一介紹.

原型 如圖1，AC、BD相交于點(diǎn)O，則∠6+∠5和∠3+∠4相等嗎？為什么？

分析：由三角形內(nèi)角和等于180°，可以得到∠6+∠5+∠1=∠3+∠4+∠2=180°.又由圖形條件知，對(duì)頂角∠1、∠2相等，因此，∠6+∠5=∠3+∠4.

假如AB∥CD，上述方法仍然適用，還可以由AB∥CD得到∠6=∠3，∠5=∠4，從而∠6+∠5=∠3+∠4.這是七年級(jí)常見的一道幾何題.也就是說無論AB、CD是否平行，都可以得到∠6+∠5=∠3+∠4.

我們將這種類似的圖形稱為“8”字形，由上面的推理可以得到：“8”字形中除對(duì)頂角外的兩個(gè)相對(duì)的內(nèi)角和相等.表面看這道題似乎很平常，實(shí)際上這個(gè)結(jié)論在許多題型中有著廣泛的應(yīng)用.

圖1

一、在求多邊形的內(nèi)角和中的應(yīng)用

蘇科版七年級(jí)下冊(cè)，學(xué)生學(xué)習(xí)到了三角形內(nèi)角和、外角和、多邊形內(nèi)角和及外角和等知識(shí)，經(jīng)常會(huì)有一些復(fù)雜的圖形要求計(jì)算內(nèi)角和的問題，下面筆者例舉幾種常見的復(fù)雜圖形，添加輔助線，構(gòu)造“8”字形，可以迅速解題.

例1 如圖2，試求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的和.

圖2

分析：對(duì)于復(fù)雜及不規(guī)則圖形問題，教師通常應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生添加輔助線構(gòu)成規(guī)則圖形，以利于求解，此題有多種解法：如構(gòu)造五角星，兩次運(yùn)用三角形的外角定理等.筆者主要介紹如何構(gòu)造“8”字形.聯(lián)想到“8”字形中兩個(gè)三角形相對(duì)兩個(gè)內(nèi)角的和相等，利用這個(gè)結(jié)論添加輔助線，連接AF，可知∠B+∠D=∠FAD+∠AFB，這樣將6個(gè)內(nèi)角的和轉(zhuǎn)化為四邊形AFEC的4個(gè)內(nèi)角的和，進(jìn)而得到結(jié)果為360°，而且這種添加輔助線的方法有三種連接方法，連接BC或ED都可以，解題原理不變.還有類似的典型題目，比如：

在圖3中，猜想：∠A1+∠B1+∠C1+∠A2+∠B2+∠C2等于多少？請(qǐng)說明你的理由.

圖3

圖4

圖5

如果把圖3稱為2環(huán)三角形，圖4稱為2環(huán)四邊形，它的內(nèi)角和∠A1+∠B1+∠C1+∠D1+∠A2+∠B2+∠C2+∠D2等于多少？

分析：類似于例1，在圖3中連接B1B2，轉(zhuǎn)化為四邊形，內(nèi)角和為360°，在圖4中連接A1A2，B2D1（如圖5），轉(zhuǎn)化為一個(gè)五邊形和一個(gè)三角形，內(nèi)角和為720°.此題還可以推廣到2環(huán)n邊形（如圖6），它的內(nèi)角和為360°（n-2）.

評(píng)注：學(xué)生在解題過程中充分聯(lián)系了平時(shí)教學(xué)知識(shí)點(diǎn)中的結(jié)論，雖然這些結(jié)論不能用于直接說理，但是為問題的解決找到了很好的突破口，對(duì)學(xué)生解題信心的確立是很有幫助的.教學(xué)中，某些特殊或重要的知識(shí)點(diǎn)及結(jié)論，要讓學(xué)生做到熟記并靈活運(yùn)用，這類變式問題是不錯(cuò)的選擇，既避免了簡單重復(fù)的枯燥，也增強(qiáng)了學(xué)生解題的趣味和斗志.

圖6

二、在說理題中的應(yīng)用

例2 如圖7，已知線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AD、CB，我們把形如圖7的圖形稱之為“8”字形，如圖8，在圖7的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD、AB分別相交于M、N.

（1）在圖7中，請(qǐng)直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系.

（2）在圖8中，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)論即可）.

圖7

圖8

分析：（1）∠A+∠D=∠B+∠C；（2）∠D+∠B=2∠P.

圖8存在兩個(gè)“8”字形，所以相等的內(nèi)角和有兩對(duì)，分別是：∠1+∠D=∠3+∠P，∠4+∠B=∠2+∠P. 由于AP和CP分別平分∠DAB和∠BCD，所以∠1=∠2、∠3=∠4，根據(jù)等式性質(zhì)，將上面等式相加，消去相等的量得∠D+∠B=2∠P.

在七年級(jí)的學(xué)習(xí)中還會(huì)遇到求線段之間關(guān)系等一類問題，學(xué)生通常只會(huì)求出線段的相等關(guān)系，而忽視了線段的位置關(guān)系，對(duì)于這類題目，學(xué)生如果熟悉“8”字形的結(jié)論，那么會(huì)很容易得到線段的位置關(guān)系.

例3 如圖9，兩個(gè)不全等的等腰直角三角形OAB和OCD疊放在一起，并且有公共的直角頂點(diǎn)O．

（1）AC、BD有什么樣的關(guān)系？

（2）將圖9中的△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，得到圖10，這時(shí)（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否成立？

圖9

圖10

分析：（1）如圖11，因?yàn)椤鱋AB和△OCD都是等腰直角三角形，且疊放在一起，所以O(shè)A=OB，OC=OD，且∠COD=∠AOB=90°.所以△COA S△DOB，所以AC=BD，∠1=∠2.如果延長CA，交DB于E，就構(gòu)成了一個(gè)“8”字形，從而利用“8”字形的結(jié)論，∠1+∠4+∠DEC=∠2+∠3+∠COA=180°. 又∠4=∠3，即可得∠DEC=∠COA=90°.

圖11

圖12

（2）和（1）類似（如圖12），先證△COA S△DOB，如果延長CA，利用“8”字形的結(jié)論，即可得∠DEC=∠COA=90°，實(shí)際上，若△OAB繞點(diǎn)O繼續(xù)旋轉(zhuǎn)更大的角（大于0小于180°），結(jié)論仍然成立.

評(píng)注：復(fù)雜圖形中基本圖形的挖掘是解決圖形問題的關(guān)鍵，學(xué)生思想中基本圖形的形成，死記硬背、生搬硬套是沒用的，而要以理解替代，讓學(xué)生在完成學(xué)習(xí)任務(wù)的同時(shí)享受到成功的喜悅和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣.

由上述幾例可以看出：許多幾何問題，初看似乎無從下手，難于思考，但是如果認(rèn)真尋找與之接近的熟悉題目，從題目的相通或相同點(diǎn)切入，好好想一想與自己形成的基本圖形知識(shí)存在的聯(lián)系，充分利用基本圖形的結(jié)論，解題思路便會(huì)豁然開朗，難題也“活”了，當(dāng)然并不是所有的幾何問題都能利用基本圖形得到很好的解決，但只要我們?cè)诮忸}時(shí)，善于抓住問題的特點(diǎn)，充分利用基本圖形分析問題，運(yùn)用基本圖形對(duì)幾何解題的啟示和簡化功能總會(huì)出奇制勝.對(duì)于這些基本圖形，我們要想達(dá)到“見到圖形，想到性質(zhì)，想全性質(zhì)”，就必須把它們拿出來認(rèn)認(rèn)真真加以研究，形成基本圖形儲(chǔ)備起來.在頭腦中形成系統(tǒng)完備的待用基本圖形庫，最終把基本圖形當(dāng)做利刃，用到解題中去.在本文中，筆者從一道最基本的題型出發(fā)，“有心插柳”，充分挖掘，探索得到“8”字型的結(jié)論，從而利用結(jié)論去解決一類復(fù)雜圖形的問題，達(dá)到“柳樹成蔭”的效果！

總之，只要我們教師對(duì)基本圖形的深入學(xué)習(xí)和研究，我們的學(xué)生在運(yùn)用基本圖形解決幾何問題的能力，一定能提高到一個(gè)嶄新的水平.