“選題”選出巧活 “說題”說出精彩——從“說題”教研活動的數(shù)學“選題”談起

☉甘肅天水市第一中學 宮前長

隨著新課程改革的深入，數(shù)學教研活動越來越受到大家的關(guān)注，尤其在內(nèi)容和形式上有了很大的變化，不再是昔日的“課堂教學”的教研，呈現(xiàn)在大家面前的是“同課異構(gòu)”、“多次備課”、“磨課”、“說課”和“說題”教研活動等等，注重小中見大的教研理念，從而加快了教師專業(yè)水平的提升，有利于推動新課程的進一步實施.

眾所周知，教師素質(zhì)的高低決定了學生素質(zhì)的高低，也決定著課程改革的成敗.新課程改革下的高考動向是減輕學生的負擔，為了真正減輕學生的負擔，就要加大力度開展教研活動，以“研”促“教”提高教學效率.“說題”教研活動的開展，一定要精心“選題”，才能做好“說題”，說出題目的深層思想和教育功能.在數(shù)學復(fù)習時，更加需要“說題”教研活動，說出題目的背景、蘊含的數(shù)學思想方法、教育功能等，避免教師在復(fù)習時，進行大題量的深挖知識點的應(yīng)用和加深難度的訓練及拓展，唯有這樣，才能讓學生的數(shù)學復(fù)習效果達到最佳.那么，怎樣的題才具備“說題”教研的資格？筆者認為數(shù)學題目具有“巧”“活”是“說題”必備的條件.下面通過一道高考題的結(jié)構(gòu)特征分析、命題立意剖析、解法探索來說明如何“選題”.

一、展示問題

二、對題目背景的認識

這道題是2010年高考數(shù)學安徽卷文科第17題，完全符合新課標的目標要求，即“了解圓錐曲線的實際背景，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用；能用坐標法解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡單幾何問題（直線與圓錐曲線的位置關(guān)系）和實際問題.”本題是以橢圓為背景考查橢圓的方程及直線的方程.

三、對題目特征的解讀

1.“巧”的凸顯

此題小巧，文字符號少，題目結(jié)構(gòu)精巧，具有科學合理的新穎性和區(qū)分度，閱讀的視角雖放置在橢圓之中，但凸顯出大家熟悉的“角平分線”，對所有考生來說都是公平的、公正的，難度也小.題目涉及的知識點有橢圓、離心率、角平分線等，這些雖是試題的知識結(jié)構(gòu)特征，但試題結(jié)合的“巧”，給考生創(chuàng)設(shè)了更多的成功機會，這樣的高考題自然是教師進行復(fù)習訓練的首選題目.

2.“活”的凸顯

大家知道，思維的靈活性完全體現(xiàn)在思維的創(chuàng)造性上，在審題、解題時往往表現(xiàn)為對待試題所含知識點的遷移和以不變應(yīng)萬變的能力上.“角平分線”對每個考生來說，是再平常不過的一個概念，命題人進行這樣的處理給大家搭建了公平的平臺，自然解題的入口寬，解題思路廣、靈活多樣.雖說試題難度不大，但運用知識點解題設(shè)計的思路與方法，人人具備，并非失去了選拔的功能.

3.命題立意

試題背景是大家熟悉的橢圓與角平分線的有機結(jié)合，使題目內(nèi)容飽滿、豐富.從知識角度看，能夠考查學生對橢圓的方程、直線方程以及角平分線的性質(zhì)理解程度；從能力角度看，區(qū)分學生的運算能力、綜合分析能力.有效地考查了學生的層次性和差異性.主要表現(xiàn)在對所提供的條件以及對有關(guān)概念的準確理解，通過運算、推理，可以求得問題的正確解答.尤其通過圖形，抓住問題的本質(zhì)，做特殊化處理，得到不同的解題思路，這樣既考查了學生能否準確的抓住問題的本質(zhì)，又能考查學生思維的靈活性和創(chuàng)造性.故此題雖小，其中的“巧”“活”注入了經(jīng)典題的“靈性”，其中所含的“能力立意”即蘊含數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，也凸現(xiàn)在文字、符號、圖形之中，這樣的題一定會成為“亮點”題.

四、對解法的探究

1.抓住“角平分線”的概念作為突破口

從上述分析可知，題目涉及的知識點除去橢圓及離心率外，剩下的就是“角平分線”這個知識點，也是第二問涉及的一個概念.根據(jù)“角平分線”的概念、性質(zhì)進行聯(lián)想，角平分線具有對應(yīng)的角的對稱軸、內(nèi)角平分線定理等等，自然形成下面幾種解法.

解法1： 如圖2，F(xiàn)1關(guān)于直線l的對稱點是B點，對稱點B必然在直線AF2上，并且有由于AF2⊥x軸，=3，故點B的坐標為（2，-2），從而直線F1B的斜率k1=，即得直線l的斜率是k=2，所以所求角平分線所在直線l的方程為y-3=2（x-2），即2x-y-1=0.

解 法2：由題設(shè)知，F(xiàn)2（2，0），A（2，3），=2a-=5，設(shè)∠F1AF2的角平分線所在的直線交x軸于點C，點C在線段F1F2上，點C的坐標為（m，0），根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理知，解得m=，所以點C），kAC==2，由點斜式，可得所求角平分線所在的直線l的方程為2x-y-1=0.

解法3：由題設(shè)知，F(xiàn)（1-2，0），F(xiàn)（22，0），A（2，3），設(shè)∠F1AF2的角平分線所在的直線交x軸于點C，點C在線段F1F2上，根據(jù)題意易知△F1AF2為直角三角形，而且=5，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理知，由和比性質(zhì)化簡得，由斜率的定義得kAC=tan∠ACF2==2，從而可得所求角平分線所在的直線l的方程為2x-y-1=0.

歸納：上述三種解題方法，完全利用了角平分線的性質(zhì)（對稱性、角平分線性質(zhì)定理等）進行解題，方法自然順暢，容易想到思路，過程簡單、簡捷.

2.抓“角平分線”的“幾何意義”作為突破口

由第一問的橢圓性質(zhì)和角平分線的幾何意義可知，條件所涉及的“角平分線”一定通過直角三角形F1AF2的內(nèi)心，再根據(jù)直角三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)也可以解決；或利用點到直線的距離公式、點關(guān)于直線的對稱等基礎(chǔ)知識來體現(xiàn)解析幾何的基本思想方法；或利用向量的幾何性質(zhì)進行解決此問題.故容易得到下列方法.

解法5：根據(jù)題意可知，F(xiàn)1（-2，0），F(xiàn)2（2，0），直線AF1的方程為3x-4y+6=0，直線AF2的方程為x=2.再由點A在橢圓上的位置可知，直線l的斜率為正數(shù).設(shè)P（x，y）為l上的任一點，則有|3x-4y+6|=5|x-2|，從而可得所求角平分線所在的直線l為方程2x-y-1=0.

歸納：內(nèi)切圓的圓心就是三角形的內(nèi)角平分線的交點，依此對題目進行剖析，梳理思路，在解題過程應(yīng)用中顯得很“巧”.

3.抓“角平分線”的關(guān)鍵詞“角”作為突破口

角平分線就是這個角的對稱軸，借助三角函數(shù)的知識，或利用容易求得的焦點三角形的面積公式來體現(xiàn)對應(yīng)角的關(guān)系，或根據(jù)在“同圓（等圓）中相等的圓周角所對的弧相等、弦相等”的性質(zhì)，進而求得角平分線所在直線的斜率，自然可知其方程.依此思路可以得到下面的解法.

解法7：根據(jù)題意可知，F(xiàn)1（-2，0），F(xiàn)2（2，0），A（2，3），且Rt△F1AF2，其中=4，設(shè)∠F1AF2=2α，α∈（0°，90°），由tan2α=或-2（舍去），在Rt△F1AF2中，kl=tan（90-α）=cotα=2，從而可得所求角平分線所在的直線l的方程為2x-y-1=0.

解法8：設(shè)∠F1AF2=2α，α∈（0°，90°），橢圓的焦點三角形Rt△F1AF2的面積公式得S△=b2tanα，又而解得tanα=，故kl=cotα=2，從而可得所求角平分線所在直線l的方程為2x-y-1=0.

歸納：上述三種解題方法，反映了解析幾何問題最常用、最基本的解決方法：解析法、幾何法等.都是從“角平分線”的“角”作為突破口進行探索，發(fā)現(xiàn)角平分線就是這個角的對稱軸的幾何特征，借助三角函數(shù)的知識，或利用容易求得的焦點三角形的面積公式來體現(xiàn)對應(yīng)角的關(guān)系，或根據(jù)在“同圓（等圓）中相等的圓周角所對的弧相等、弦相等”的性質(zhì)的策略與手段，進而求解得其方程.

五、對“說題”過程的反思

1.從考題的層面思考

本題涉及橢圓的方程、離心率及直線（角平分線）的方程的問題，雖然題目的文字不多，但相關(guān)知識涉及面寬、綜合性強，對學生的要求比較低，學生容易解決問題，消除了學生對解析幾何問題的畏懼心理.在教學時不要動不動就選“難題”，給學生造成心理負擔過重的陰影，應(yīng)多關(guān)注學生的發(fā)展，重視能力的培養(yǎng).

（1）重視數(shù)學基礎(chǔ)知識、基本概念.熟練掌握圓錐曲線的基礎(chǔ)知識和幾何特征，尤其是準線、離心率及漸近線等，再總結(jié)常見題型的解題思路、方法、策略，對審題有很大的幫助，容易形成解題方案.

（2）重視數(shù)學知識歸納、經(jīng)驗總結(jié).在平時學習中，對所學的數(shù)學知識多歸納，形成知識網(wǎng)絡(luò)，梳理知識思路，有利于對知識的深層次理解.同時，多總結(jié)、反思解題方法及思路，既要會用坐標法解題，又要會依據(jù)圓錐曲線的幾何特征尋找解題的突破口.

2.從例題的層面思考

不僅教師要會解題，而且要準確把握題目揭示的數(shù)學本質(zhì)及其教育功能，這就是所謂的“選題”過程，突出巧、活兩個特點，才能保證“說題”時多角度地研究題目結(jié)構(gòu)，深層次地闡述題目功能，高視角地表征題目精彩.

此題可以作為橢圓學習后的一個綜合性例題出現(xiàn)在課堂上，與學生一起進行審題，引導學生積極參與，讓學生講出對此題的體會、認識，從不同的角度探究解題的思路、方法，讓學生在經(jīng)歷解題過程中學會審題、解題，讓波利亞的四步解題過程在學生學習解題中自然形成，自覺解題是每個教師的愿望.

與學生共同探究、把握解決此題的一個目標：直線方程；

兩種類型：橢圓與直線；

三個方向：抓“角平分線”的概念、幾何意義、角的對稱性為突破口；

四種操作：采用坐標法、三角函數(shù)、幾何知識和方程操作解題；

四種思想：數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、三角函數(shù)思想及轉(zhuǎn)化思想.

3.從本題的選題思考

選題時一定要遵循“基于基礎(chǔ)，具備小巧、靈活”必備條件.不論在教材、高考題中，還是從課外資料中選題，必須站在高起點、寬角度、多層次的角度考查學生的數(shù)學理性思維和直覺思維，充分體現(xiàn)新課標對數(shù)學教育功能的理念詮釋，自然就會選出“好題”，也能說出題中所隱含的數(shù)學知識、方法、思想，更能暴露出題目的教育價值.

4.從本題的說題層面思考

從建構(gòu)主義角度看，說題是教師研究題目，將解題思路、方法、過程以及解題后反思等活動敘述出來；從系統(tǒng)論的角度看，就是揭示題目系統(tǒng)、教材系統(tǒng)、方法系統(tǒng)等之間的關(guān)系；從解題角度看，就是詮釋解題的思路、方法、知識點及規(guī)律.本題的說題過程：題目背景、題目特征、解題方法及解題思路、題后反思.本題從不同的角度去分析研究，得到不同的啟示，形成不同的解題思路與方法，促使學生的思維觸角伸向不同的方向、不同的層次，進一步發(fā)展學生的發(fā)散思維能力.

六、對數(shù)學教學的啟示

1.選好題給數(shù)學教學正確的導向

今年我國全面進入新課改，各校使用新課程教材，其高考試題的導向作用是很多的，為學生的健康發(fā)展考慮，從選擇“偏、難、怪、高、深、繁”的試題作為載體的學習中走出來，是新課標的目的.給數(shù)學教學提供正確的導向：應(yīng)該重視基礎(chǔ)知識的教學，引導學生準確地理解和掌握基本概念.在選擇具有“巧”“活”的高考題后，教師要用全新的新課標理念設(shè)計出在學生“最近發(fā)展區(qū)”的知識“生長點”，和學生一起在探究和思考的過程中，主動地發(fā)現(xiàn)新知識，進一步的去探究、構(gòu)建新知識的“生長點”，課堂就會更具有靈性、活性.

2.選好題推進新課程的深入發(fā)展

“說題”活動主要是教師在數(shù)學教育層面研究數(shù)學題目，揭示題目系統(tǒng)、教材系統(tǒng)、方法系統(tǒng)的內(nèi)在聯(lián)系，進一步詮釋數(shù)學解題的思路、方法、知識點及規(guī)律.上述高考題作出了很好的示范，應(yīng)該引起廣大教師的重視和進一步對試題的研究，高效的以促進中學新課程數(shù)學教學的可持續(xù)發(fā)展.在教學時做到“求變”、“求進”、“求通”、“求活”的觀念，做好“用教材”進行教學，才能更好地步入由“知識、思想”層面自覺進入“能力”層面的發(fā)展之路.通過教師經(jīng)歷說題活動，促進教師教學效率和學生學習效率的共同提高，推動新課程理念的落實.

3.選好題促進教學交流，提升教師教學技能

選好題是“說題”說出精彩的基礎(chǔ)，更能體現(xiàn)數(shù)學的教育功能.說題活動作為一種新的教研活動方式，不僅能真實的反映教師的數(shù)學素養(yǎng)、數(shù)學素質(zhì)，也能幫助教師提升提出問題、分析問題、解決問題的能力和教學技能，為教師之間的交流提供了平臺，教師自然會對教學進行深層次思考，有利于教師自身發(fā)展和教研能力的提高，“說題”不僅關(guān)注說清如何分析、如何教、如何反思，而且要關(guān)注如何“用”，即“說以致用”，才是說題的目的，才能更好地為新課標理念的實施鋪平道路.

4.選好題教會學生學會解題

解題教學要從解題分析過程入手進行多方位、多層次的剖析，讓學生明明白白、清清楚楚地知道解題的每一步是怎樣想到的，這是教會學生學會解題的最佳途徑和方法，也是數(shù)學教師力爭在平時的教學中不斷滲透和持久進行的重要工作，學生學習的積極性就會不斷增強，越來越多的學生會從內(nèi)心喜愛數(shù)學.抓住經(jīng)典題，挖掘題目蘊涵的訓練價值，有效的進行復(fù)習活動，這就是新課程理念所要求的數(shù)學學習方式、方法.

高考命題所彰顯的“巧”“活”對教學有重要的啟示，強調(diào)數(shù)學教師在數(shù)學復(fù)習教學時，不能選擇“偏、難、怪、高、深、繁”的試題作為載體進行復(fù)習，這樣會只能加重學生的負擔，損害學生學習的心理健康，妨礙學生的思維發(fā)展，完全違背了新課標的理念.因此，建議教師在數(shù)學復(fù)習時，多選擇一些具有“巧”“活”的高考題作為“說題”的題目，雖然題目不難，但能讓教師引領(lǐng)學生著眼于數(shù)學基礎(chǔ)，其效果不言而喻，有利于學生的思維發(fā)展，更有利于學生身心健康發(fā)展，也是廣大教師所期盼的.

“說題”教研活動的開展，是融解法、學法及考法（采用數(shù)學試題考查）的綜合，對提升教師基本素質(zhì)是一條有效的途徑，不但深化了新課程的實施，而且拓寬了教師鉆研新課程教材及貫徹新課程理念的思路，有利于有效教學的落實.

1.宮前長.挖掘隱性條件凸現(xiàn)簡捷解法［J］.中國數(shù)學教育（高中版），2009（11）：36—38.

2.王尚志.數(shù)學教學研究與案例［M］.北京：高等教育出版社，2006.