一種基于彼得羅夫伽遼金公式的三角形單元★

賈 程

(鹽城工學(xué)院土木工程學(xué)院，江蘇 鹽城 224051)

0 引言

傳統(tǒng)的等參有限單元模型滿足變分一致性要求，能夠較好的分析許多實(shí)際的問(wèn)題，但是存在剛度矩陣過(guò)剛、對(duì)網(wǎng)格畸變敏感等問(wèn)題。剛度矩陣過(guò)剛帶來(lái)了自鎖問(wèn)題和計(jì)算精度下降問(wèn)題，對(duì)于線性三角形單元尤其明顯。對(duì)網(wǎng)格畸變敏感要求劃分問(wèn)題域的網(wǎng)格質(zhì)量較高，如四邊形單元要求其夾角盡量保持90°，這給前處理帶來(lái)巨大的工作量。為了改善上述缺陷，學(xué)者們提出了許多方法:hybrid-Trefftz單元法[1]、無(wú)網(wǎng)格法[2]等，然而，這些方法還有局限性或不夠完善的地方。

在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，工程師比較偏愛(ài)三角形單元。因?yàn)樗鼈兡軌虮蛔詣?dòng)的生成。本文使用非對(duì)稱(chēng)有限單元公式的概念，將線性三角形單元形函數(shù)和有限元無(wú)網(wǎng)格耦合三角形單元(FE-LSPIM TRI3單元)形函數(shù)分別作檢驗(yàn)函數(shù)和試函數(shù)，構(gòu)造出基于彼得羅夫伽遼金公式的US-FE-LSPIM TRI3三角形單元。

1 US-FE-LSPIM TRI3三角形單元公式

1.1 FE-LSPIM TRI3三角形單元的形函數(shù)

圖1 支持域的定義

對(duì)于二維線彈性問(wèn)題，采用三角形網(wǎng)格離散問(wèn)題域，如圖1所示。單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移可表示成:

其中，N′=[N1，N2，N3]是傳統(tǒng)的線性三角形單元的形函數(shù)矩陣是由三個(gè)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)決定的常數(shù);ue={u1(x，y) u2(x，y) u3(x，y)}T是局部節(jié)點(diǎn)位移函數(shù)。在該節(jié)點(diǎn)處等于其位移值，即:ui(xi，yi)=ui，i=1，2，3。局部節(jié)點(diǎn)位移函數(shù)ui(x，y)利用Rajendran等[3]使用的最小二乘點(diǎn)插值無(wú)網(wǎng)格法(LSPIM)，由i點(diǎn)的支持域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)值擬合得到:

其中，φi=[φi1φi2φi3…φiN]，i=1，2，3，ui=[u1u2u3L uN]T。

其中，φi是LSPIM法的關(guān)于節(jié)點(diǎn)i的形函數(shù)矩陣;ui是節(jié)點(diǎn)i支持域內(nèi)節(jié)點(diǎn)的位移參數(shù)向量;N為節(jié)點(diǎn)i支持域內(nèi)的所有節(jié)點(diǎn)數(shù)。一個(gè)單元所有節(jié)點(diǎn)支持域的合集構(gòu)成了一個(gè)單元的支持域Ω。

節(jié)點(diǎn)支持域和單元支持域的定義分別如圖1所示。

將方程(2)代入式(1)得:

從方程(3)中，可以得到該單元的形函數(shù)矩陣，設(shè)單元支持域Ω內(nèi)的節(jié)點(diǎn)數(shù)為M:

局部節(jié)點(diǎn)位移可以寫(xiě)成下列形式:

令該單元的第一個(gè)節(jié)點(diǎn)記為節(jié)點(diǎn)i。由于傳統(tǒng)的最小二乘近似a=(PTP)－1PTui使得節(jié)點(diǎn)i的位移近似值不等于該點(diǎn)的位移值，即ui≠p(xi，yi)a，導(dǎo)致位移條件施加比較困難。故為了使節(jié)點(diǎn)i的位移近似值等于該點(diǎn)的位移值，利用方程(5)中的第一個(gè)方程解出a1，再?gòu)姆匠?5)其余的方程中消去a1，并由最小二乘法得:

其中，φi為局部節(jié)點(diǎn)位移函數(shù)的形函數(shù);1為所有元素均為1的(N－1)行列向量;和的定義和文獻(xiàn)[3]中相似，只是少了x2y和xy2項(xiàng)。利用式(4)進(jìn)而可以求出單元的形函數(shù)矩陣ψ。

根據(jù)式(6)可以得出，在(xi，yi)點(diǎn)存在 ui(xi，yi)=ui，再根據(jù)式(4)可得FE-LSPIM TRI3三角形單元的形函數(shù)ψ具有Kronecker delta性質(zhì)，能夠像普通的有限元一樣直接施加位移邊界條件。

1.2 US-FE-LSPIM TRI3三角形單元公式

線彈性體系平衡狀態(tài)的虛功方程為:

其中，δu為虛位移域;δε為響應(yīng)的虛應(yīng)變域;σ為真實(shí)應(yīng)力。

由于ψ為線性三角形單元形函數(shù)和點(diǎn)插值無(wú)網(wǎng)格法形函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，具有高階的完備性，ψ插值的應(yīng)力函數(shù)σ^比線性三角形單元的應(yīng)力函數(shù)更加適合作試函數(shù)。對(duì)于檢驗(yàn)函數(shù)，只要其滿足邊界條件和域內(nèi)連續(xù)條件，故選擇線性三角形單元形函數(shù)插值的虛位移域δ做檢驗(yàn)函數(shù)。

將它們代入式(7)，并整理得:

2 檢驗(yàn)算例

2.1 受彎矩作用的懸臂梁

如圖2a)所示懸臂梁，在端部受常彎矩M=20C2作用，彎矩形式分布在右端，尺寸L=100，C=10，彈性模量 E=1.0 ×107，泊松比 μ =0.3，ρ=8 000 kg/m3，考慮平面應(yīng)力狀態(tài)。

圖2 端部受彎矩的懸臂梁

采用2×6×2，2×10×2，4×16×2，6×20×2，8×28×2五種形式的三角形網(wǎng)格劃分問(wèn)題域，為了與四邊形等參元比較，本問(wèn)題也采用相應(yīng)的2×6，2×10，4×16，6×20，8×28五種四邊形網(wǎng)格劃分。圖2b)為2×6×2網(wǎng)格劃分示例。A點(diǎn)的位移計(jì)算結(jié)果列于表1。

表1 A點(diǎn)的位移

從表1中可以看出，US-FE-LSPIM TRI3單元能夠很好的重構(gòu)常彎矩下的解，而傳統(tǒng)的線性三節(jié)點(diǎn)三角形單元(T3)和四節(jié)點(diǎn)等參四邊形單元(Q4)的結(jié)果不夠精確。

2.2 Cook懸臂梁

本例為變截面的懸臂梁，在端部受一個(gè)分布剪力F=1/16作用，如圖3a)所示。彈性模量E=1.0，泊松比μ=1/3。本問(wèn)題采用2×2×2，4×4×2，8×8×2，16×16×2四種三角形網(wǎng)格劃分形式。圖3b)所示為4×4×2的形式。

圖3 Cook懸臂梁

不同網(wǎng)格下A點(diǎn)的最小主應(yīng)力列于表2。相比于T3和Q4單元，US-FE-LSPIM TRI3單元顯示了最佳的結(jié)果。

表2 A點(diǎn)的最小主應(yīng)力

3 結(jié)語(yǔ)

使用非對(duì)稱(chēng)有限單元法的概念，構(gòu)造出基于彼得羅夫伽遼金公式的US-FE-LSPIM TRI3三角形單元。由于線性三角形單元形函數(shù)和FE-LSPIM TRI3單元形函數(shù)插值的位移函數(shù)能夠滿足域內(nèi)位移連續(xù)性和完備性的要求，選擇它們分別作為檢驗(yàn)函數(shù)和試函數(shù)。數(shù)值算例顯示，該US-FE-LSPIM TRI3三角形單元精度較高，優(yōu)于傳統(tǒng)的線性三角形單元和四邊形等參元。

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