利用平行四邊形的性質(zhì)解題

萬淑明

平行四邊形是特殊的四邊形，它具有許多重要的性質(zhì)，比如對邊平行且相等，對角相等，鄰角互補(bǔ)，對角線互相平分，對角線的交點是對稱中心。靈活應(yīng)用這些性質(zhì)可以解決許多問題，下面舉例說明。

一、求角度

例1（2013年江西省中考題）如圖1，?荀ABCD與?荀DCFE的周長相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，則∠DAE的度數(shù)為_______。

分析已知兩個平行四邊形的周長相等，且有公共邊CD,則有AD=DE,即△ADE為等腰三角形，頂角∠ADE=∠BCF，則可求∠DAE。

解因為?荀ABCD與?荀DCFE的周長相等，且有公共邊CD，

所以AD=DE, ∠ADE=∠BCF=60°+70°=130°。

所以∠DAE=■（180°-∠ADE）=■×50°=25°。

點評本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)。先要明確∠DAE的身份（為等腰三角形的底角），要求底角必須知道另一角的度數(shù)，關(guān)鍵是要求得∠ADE=∠BCF=130°。

二、求線段長

例2（2013年黑龍江省哈爾濱市中考題）如圖2，在■ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD邊于點E，且AE=3，則AB的長為（）

A．4 B．3

C．■ D．2

分析根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出AB=DC，AD∥BC，可推出∠DEC=∠BCE，從而有∠DEC=∠DCE，可推出DE=DC=AB，得出AD=2DE即可。

解因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AB=DC，AD∥BC，所以∠DEC=∠BCE。

因為CE平分∠DCB，所以∠DCE=∠BCE。

所以∠DEC=∠DCE，所以DE=DC=AB。

因為AD=2AB=2CD，CD=DE，所以AD=2DE。

所以AE=DE=3，所以DC=AB=DE=3。

故答案選B。

點評本題考查了平行四邊形性質(zhì)、平行線性質(zhì)、角平分線定義、等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求出DE=AE=DC。

三、求周長

例3（2013年山東省煙臺市中考題）如圖3，?荀ABCD的周長為36，對角線AC、BD相交于點O。點E是CD的中點，BD=12，則△DOE的周長為______。

分析根據(jù)平行四邊形的對邊相等和對角線互相平分可得OB=OD，又因為點E是CD的中點，可得OE是△BCD的中位線，則有OE=■BC，所以易求得△DOE的周長。

解因為?荀ABCD的周長為36，

所以2（BC+CD）=36，則BC+CD=18。

因為四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC、BD相交于點O，BD=12，

所以O(shè)D=OB=■BD=6。

又因為點E是CD的中點，所以O(shè)E是△BCD的中位線，

所以O(shè)E=■BC。

所以△DOE的周長=OD+OE+DE=■BD+■（BC+CD）=6+9=15，即△DOE的周長為15。

故答案填15。

點評本題考查了三角形中位線定理、平行四邊形的性質(zhì)。解題時，同學(xué)們要靈活利用“平行四邊形對角線互相平分”“平行四邊形的對邊相等”的性質(zhì)。

四、證明角相等

例4（2013年浙江省衢州市中考題）如圖4,在?荀ABCD中,BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,且BE、DF分別交AD、BC于E、F，求證: ∠BED=∠BFD。

分析∠BED和∠BFD是四邊形BFDE的對角,所以只要證明四邊形BFDE是平行四邊形即可。

證明因為四邊形ABCD是平行四邊形,所以AD∥BC。所以∠1=∠3。

又BE、DF分別平分∠ABC與∠ADC，所以∠3=■∠ABC，

∠2=■∠ADC。

又∠ABC=∠ADC, 所以∠3=∠2。所以 ∠1=∠2。所以BE∥DF。

又AD∥BC,所以四邊形BFDE是平行四邊形。

所以∠BED=∠BFD。

點評利用平行四邊形的定義及性質(zhì)是證明線段平行、線段相等或角相等的一種重要方法,而且這種方法非常簡捷。

五、證明線段相等

例5（2013年四川省瀘州市中考題）如圖5，已知?荀ABCD中，F(xiàn)是BC邊的中點，連接DF并延長交AB的延長線于點E。求證：AB=BE。

分析根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出AB=DC，AB∥CD，可推出∠C=∠FBE，∠CDF=∠E，可以證明△CDF≌△BEF，從而推出BE=DC，即可證明。

證明因為F是BC邊的中點，所以BF=CF。

因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AB=DC，AB∥CD。

所以∠C=∠FBE，∠CDF=∠E。

所以△CDF≌△BEF（AAS），所以BE=DC。

因為AB=DC，所以AB=BE。

點評本題考查了平行四邊形性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是推出△CDF≌△BEF。

六、求最值

例6（2013年四川省達(dá)州市中考題）如圖6，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，點D在BC上，以AC為對角線的所有?荀ADCE中，DE最小的值是（）

A．2 B．3 C．4 D．5

解析由平行四邊形的對角線互相平分、垂線段最短可知，當(dāng)OD⊥BC時，DE線段取最小值。

因為在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，

所以AC=■=5。

因為四邊形ADCE是平行四邊形，

所以O(shè)D=OE，OA=OC=2.5。

所以當(dāng)OD取最小值時，DE線段最短，此時OD⊥BC。

所以O(shè)D=■=1.5，

所以ED=2OD=3。

故答案選B。

點評本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、垂線段最短等知識。解答本題的關(guān)鍵，是利用“平行四邊形的對角線互相平分”的性質(zhì)。

七、綜合問題

例7（2013年云南省中考題）如圖7，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，下列結(jié)論正確的是（）

A．S■ABCD=4S△AOB

B．AC=BD

C．AC⊥BD

D．?荀ABCD是軸對稱圖形

分析根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)分別判斷得出答案即可。

解因為平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，

所以AO=CO，DO=BO。

所以S△AOD=S△DOC=S△BOC=S△AOB，

所以S■ABCD=4S△AOB，故A選項正確。

無法得到AC=BD，故B選項錯誤；無法得到AC⊥BD，故C選項錯誤；■ABCD是中心對稱圖形，故D選項錯誤。

故答案選A。

點評本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，正確把握平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵。

平行四邊形是特殊的四邊形，它具有許多重要的性質(zhì)，比如對邊平行且相等，對角相等，鄰角互補(bǔ)，對角線互相平分，對角線的交點是對稱中心。靈活應(yīng)用這些性質(zhì)可以解決許多問題，下面舉例說明。

一、求角度

例1（2013年江西省中考題）如圖1，?荀ABCD與?荀DCFE的周長相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，則∠DAE的度數(shù)為_______。

分析已知兩個平行四邊形的周長相等，且有公共邊CD,則有AD=DE,即△ADE為等腰三角形，頂角∠ADE=∠BCF，則可求∠DAE。

解因為?荀ABCD與?荀DCFE的周長相等，且有公共邊CD，

所以AD=DE, ∠ADE=∠BCF=60°+70°=130°。

所以∠DAE=■（180°-∠ADE）=■×50°=25°。

點評本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)。先要明確∠DAE的身份（為等腰三角形的底角），要求底角必須知道另一角的度數(shù)，關(guān)鍵是要求得∠ADE=∠BCF=130°。

二、求線段長

例2（2013年黑龍江省哈爾濱市中考題）如圖2，在■ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD邊于點E，且AE=3，則AB的長為（）

A．4 B．3

C．■ D．2

分析根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出AB=DC，AD∥BC，可推出∠DEC=∠BCE，從而有∠DEC=∠DCE，可推出DE=DC=AB，得出AD=2DE即可。

解因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AB=DC，AD∥BC，所以∠DEC=∠BCE。

因為CE平分∠DCB，所以∠DCE=∠BCE。

所以∠DEC=∠DCE，所以DE=DC=AB。

因為AD=2AB=2CD，CD=DE，所以AD=2DE。

所以AE=DE=3，所以DC=AB=DE=3。

故答案選B。

點評本題考查了平行四邊形性質(zhì)、平行線性質(zhì)、角平分線定義、等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求出DE=AE=DC。

三、求周長

例3（2013年山東省煙臺市中考題）如圖3，?荀ABCD的周長為36，對角線AC、BD相交于點O。點E是CD的中點，BD=12，則△DOE的周長為______。

分析根據(jù)平行四邊形的對邊相等和對角線互相平分可得OB=OD，又因為點E是CD的中點，可得OE是△BCD的中位線，則有OE=■BC，所以易求得△DOE的周長。

解因為?荀ABCD的周長為36，

所以2（BC+CD）=36，則BC+CD=18。

因為四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC、BD相交于點O，BD=12，

所以O(shè)D=OB=■BD=6。

又因為點E是CD的中點，所以O(shè)E是△BCD的中位線，

所以O(shè)E=■BC。

所以△DOE的周長=OD+OE+DE=■BD+■（BC+CD）=6+9=15，即△DOE的周長為15。

故答案填15。

點評本題考查了三角形中位線定理、平行四邊形的性質(zhì)。解題時，同學(xué)們要靈活利用“平行四邊形對角線互相平分”“平行四邊形的對邊相等”的性質(zhì)。

四、證明角相等

例4（2013年浙江省衢州市中考題）如圖4,在?荀ABCD中,BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,且BE、DF分別交AD、BC于E、F，求證: ∠BED=∠BFD。

分析∠BED和∠BFD是四邊形BFDE的對角,所以只要證明四邊形BFDE是平行四邊形即可。

證明因為四邊形ABCD是平行四邊形,所以AD∥BC。所以∠1=∠3。

又BE、DF分別平分∠ABC與∠ADC，所以∠3=■∠ABC，

∠2=■∠ADC。

又∠ABC=∠ADC, 所以∠3=∠2。所以 ∠1=∠2。所以BE∥DF。

又AD∥BC,所以四邊形BFDE是平行四邊形。

所以∠BED=∠BFD。

點評利用平行四邊形的定義及性質(zhì)是證明線段平行、線段相等或角相等的一種重要方法,而且這種方法非常簡捷。

五、證明線段相等

例5（2013年四川省瀘州市中考題）如圖5，已知?荀ABCD中，F(xiàn)是BC邊的中點，連接DF并延長交AB的延長線于點E。求證：AB=BE。

分析根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出AB=DC，AB∥CD，可推出∠C=∠FBE，∠CDF=∠E，可以證明△CDF≌△BEF，從而推出BE=DC，即可證明。

證明因為F是BC邊的中點，所以BF=CF。

因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AB=DC，AB∥CD。

所以∠C=∠FBE，∠CDF=∠E。

所以△CDF≌△BEF（AAS），所以BE=DC。

因為AB=DC，所以AB=BE。

點評本題考查了平行四邊形性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是推出△CDF≌△BEF。

六、求最值

例6（2013年四川省達(dá)州市中考題）如圖6，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，點D在BC上，以AC為對角線的所有?荀ADCE中，DE最小的值是（）

A．2 B．3 C．4 D．5

解析由平行四邊形的對角線互相平分、垂線段最短可知，當(dāng)OD⊥BC時，DE線段取最小值。

因為在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，

所以AC=■=5。

因為四邊形ADCE是平行四邊形，

所以O(shè)D=OE，OA=OC=2.5。

所以當(dāng)OD取最小值時，DE線段最短，此時OD⊥BC。

所以O(shè)D=■=1.5，

所以ED=2OD=3。

故答案選B。

點評本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、垂線段最短等知識。解答本題的關(guān)鍵，是利用“平行四邊形的對角線互相平分”的性質(zhì)。

七、綜合問題

例7（2013年云南省中考題）如圖7，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，下列結(jié)論正確的是（）

A．S■ABCD=4S△AOB

B．AC=BD

C．AC⊥BD

D．?荀ABCD是軸對稱圖形

分析根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)分別判斷得出答案即可。

解因為平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，

所以AO=CO，DO=BO。

所以S△AOD=S△DOC=S△BOC=S△AOB，

所以S■ABCD=4S△AOB，故A選項正確。

無法得到AC=BD，故B選項錯誤；無法得到AC⊥BD，故C選項錯誤；■ABCD是中心對稱圖形，故D選項錯誤。

故答案選A。

點評本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，正確把握平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵。

平行四邊形是特殊的四邊形，它具有許多重要的性質(zhì)，比如對邊平行且相等，對角相等，鄰角互補(bǔ)，對角線互相平分，對角線的交點是對稱中心。靈活應(yīng)用這些性質(zhì)可以解決許多問題，下面舉例說明。

一、求角度

例1（2013年江西省中考題）如圖1，?荀ABCD與?荀DCFE的周長相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，則∠DAE的度數(shù)為_______。

分析已知兩個平行四邊形的周長相等，且有公共邊CD,則有AD=DE,即△ADE為等腰三角形，頂角∠ADE=∠BCF，則可求∠DAE。

解因為?荀ABCD與?荀DCFE的周長相等，且有公共邊CD，

所以AD=DE, ∠ADE=∠BCF=60°+70°=130°。

所以∠DAE=■（180°-∠ADE）=■×50°=25°。

點評本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)。先要明確∠DAE的身份（為等腰三角形的底角），要求底角必須知道另一角的度數(shù)，關(guān)鍵是要求得∠ADE=∠BCF=130°。

二、求線段長

例2（2013年黑龍江省哈爾濱市中考題）如圖2，在■ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD邊于點E，且AE=3，則AB的長為（）

A．4 B．3

C．■ D．2

分析根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出AB=DC，AD∥BC，可推出∠DEC=∠BCE，從而有∠DEC=∠DCE，可推出DE=DC=AB，得出AD=2DE即可。

解因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AB=DC，AD∥BC，所以∠DEC=∠BCE。

因為CE平分∠DCB，所以∠DCE=∠BCE。

所以∠DEC=∠DCE，所以DE=DC=AB。

因為AD=2AB=2CD，CD=DE，所以AD=2DE。

所以AE=DE=3，所以DC=AB=DE=3。

故答案選B。

點評本題考查了平行四邊形性質(zhì)、平行線性質(zhì)、角平分線定義、等腰三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求出DE=AE=DC。

三、求周長

例3（2013年山東省煙臺市中考題）如圖3，?荀ABCD的周長為36，對角線AC、BD相交于點O。點E是CD的中點，BD=12，則△DOE的周長為______。

分析根據(jù)平行四邊形的對邊相等和對角線互相平分可得OB=OD，又因為點E是CD的中點，可得OE是△BCD的中位線，則有OE=■BC，所以易求得△DOE的周長。

解因為?荀ABCD的周長為36，

所以2（BC+CD）=36，則BC+CD=18。

因為四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC、BD相交于點O，BD=12，

所以O(shè)D=OB=■BD=6。

又因為點E是CD的中點，所以O(shè)E是△BCD的中位線，

所以O(shè)E=■BC。

所以△DOE的周長=OD+OE+DE=■BD+■（BC+CD）=6+9=15，即△DOE的周長為15。

故答案填15。

點評本題考查了三角形中位線定理、平行四邊形的性質(zhì)。解題時，同學(xué)們要靈活利用“平行四邊形對角線互相平分”“平行四邊形的對邊相等”的性質(zhì)。

四、證明角相等

例4（2013年浙江省衢州市中考題）如圖4,在?荀ABCD中,BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,且BE、DF分別交AD、BC于E、F，求證: ∠BED=∠BFD。

分析∠BED和∠BFD是四邊形BFDE的對角,所以只要證明四邊形BFDE是平行四邊形即可。

證明因為四邊形ABCD是平行四邊形,所以AD∥BC。所以∠1=∠3。

又BE、DF分別平分∠ABC與∠ADC，所以∠3=■∠ABC，

∠2=■∠ADC。

又∠ABC=∠ADC, 所以∠3=∠2。所以 ∠1=∠2。所以BE∥DF。

又AD∥BC,所以四邊形BFDE是平行四邊形。

所以∠BED=∠BFD。

點評利用平行四邊形的定義及性質(zhì)是證明線段平行、線段相等或角相等的一種重要方法,而且這種方法非常簡捷。

五、證明線段相等

例5（2013年四川省瀘州市中考題）如圖5，已知?荀ABCD中，F(xiàn)是BC邊的中點，連接DF并延長交AB的延長線于點E。求證：AB=BE。

分析根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出AB=DC，AB∥CD，可推出∠C=∠FBE，∠CDF=∠E，可以證明△CDF≌△BEF，從而推出BE=DC，即可證明。

證明因為F是BC邊的中點，所以BF=CF。

因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AB=DC，AB∥CD。

所以∠C=∠FBE，∠CDF=∠E。

所以△CDF≌△BEF（AAS），所以BE=DC。

因為AB=DC，所以AB=BE。

點評本題考查了平行四邊形性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是推出△CDF≌△BEF。

六、求最值

例6（2013年四川省達(dá)州市中考題）如圖6，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，點D在BC上，以AC為對角線的所有?荀ADCE中，DE最小的值是（）

A．2 B．3 C．4 D．5

解析由平行四邊形的對角線互相平分、垂線段最短可知，當(dāng)OD⊥BC時，DE線段取最小值。

因為在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，

所以AC=■=5。

因為四邊形ADCE是平行四邊形，

所以O(shè)D=OE，OA=OC=2.5。

所以當(dāng)OD取最小值時，DE線段最短，此時OD⊥BC。

所以O(shè)D=■=1.5，

所以ED=2OD=3。

故答案選B。

點評本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、垂線段最短等知識。解答本題的關(guān)鍵，是利用“平行四邊形的對角線互相平分”的性質(zhì)。

七、綜合問題

例7（2013年云南省中考題）如圖7，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，下列結(jié)論正確的是（）

A．S■ABCD=4S△AOB

B．AC=BD

C．AC⊥BD

D．?荀ABCD是軸對稱圖形

分析根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)分別判斷得出答案即可。

解因為平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，

所以AO=CO，DO=BO。

所以S△AOD=S△DOC=S△BOC=S△AOB，

所以S■ABCD=4S△AOB，故A選項正確。

無法得到AC=BD，故B選項錯誤；無法得到AC⊥BD，故C選項錯誤；■ABCD是中心對稱圖形，故D選項錯誤。

故答案選A。

點評本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，正確把握平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵。