三邊簡(jiǎn)支板格的剪切屈曲分析

王建忠 吳劍國(guó) 單魯陽(yáng) 洪 英

（1.中國(guó)聯(lián)合工程公司 杭州310022；2.浙江工業(yè)大學(xué) 建筑工程學(xué)院 杭州310014；3.中國(guó)船級(jí)社上海規(guī)范研究所 上海200135）

0 引 言

為了功能上的需求以及減輕結(jié)構(gòu)重量，開(kāi)孔板被廣泛地應(yīng)用在船體結(jié)構(gòu)中。而由于開(kāi)孔會(huì)降低板的屈曲承載能力，所以研究開(kāi)孔對(duì)屈曲承載能力的影響很有意義［1］。已有的對(duì)船體開(kāi)孔板格力學(xué)性能的研究［2-3］，可以將開(kāi)孔板孔邊板部分簡(jiǎn)化為三邊簡(jiǎn)支板格。另外在船體結(jié)構(gòu)中也有很大部分的高腹板構(gòu)件，這些腹板的受剪屈曲性能也可以模擬成三邊簡(jiǎn)支板格的均勻受剪情況。這部分板對(duì)整個(gè)板格的屈曲性能有很大影響，所以有必要對(duì)三邊簡(jiǎn)支板格的剪切屈曲進(jìn)行分析。

目前板格屈曲方面的研究趨于成熟，對(duì)于三邊簡(jiǎn)支板的單向受壓屈曲性能已有研究，但是對(duì)于三邊簡(jiǎn)支板的四邊受剪屈曲未見(jiàn)報(bào)道。本文將利用能量法，如瑞利·利茲法、迦遼金法，分析三邊簡(jiǎn)支板在剪切荷載作用下的彈性屈曲荷載，推導(dǎo)出精度較高的三邊簡(jiǎn)支板格的剪切屈曲荷載公式，并與有限元的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

1 能量法

1.1 板的總勢(shì)能

用能量法求解板的屈曲荷載時(shí)需建立板在微彎狀態(tài)時(shí)的總勢(shì)能?？倓?shì)能∏是板的應(yīng)變能U和外力勢(shì)能V之和。

板變形時(shí)，微元體上的彎矩、扭矩如圖1所示，則板的應(yīng)變能可以利用構(gòu)件在微彎時(shí)的應(yīng)變能的計(jì)算方法確定：

圖1 微元體上的彎矩和扭矩

外力作用下的矩形板如圖2所示，其外力勢(shì)能可利用構(gòu)件由平面到彎曲時(shí)外力勢(shì)能的計(jì)算方法確定：

圖2 外力作用的矩形板

則： ∏=U+V

1.2 均勻受剪三邊簡(jiǎn)支板彈性屈曲臨界應(yīng)力求解

研究如圖3所示的均勻受剪的三邊簡(jiǎn)支板格，長(zhǎng)為a、寬為b，四邊受剪，剪力為Pxy。

圖3 均勻受剪三邊簡(jiǎn)支板格示意圖

通過(guò)瑞利·利茲法求解

因?yàn)镻x=Py=0，均勻受剪矩形板的總勢(shì)能∏=U+V，

由于矩形板三邊簡(jiǎn)支、一邊自由支持，可假定板的撓曲面函數(shù)：

式中：m為屈曲時(shí)沿著板格x軸向邊界的半波數(shù)量，此函數(shù)符合幾何邊界條件。當(dāng)x=0和x=a時(shí)，ω=0；當(dāng) y=0 時(shí)，ω=0；當(dāng) y=b 時(shí)，ω≠0。

將（2）中的微分代入（1）中總勢(shì)能公式，經(jīng)過(guò)積分后可得總能量為：

聯(lián)立上面兩式，因?yàn)閙為屈曲時(shí)沿著板格邊界的半波數(shù)量，而在屈曲時(shí)板格只沿著其對(duì)角線方向有整數(shù)個(gè)半波出現(xiàn)，設(shè)在其角對(duì)角方向有m′個(gè)半波出現(xiàn)，則在計(jì)算時(shí)要對(duì)其沿板格邊界的半波數(shù)量m進(jìn)行變換，即

一般而言，對(duì)于板格屈曲，其第一階模態(tài)的形狀往往最接近于其真實(shí)破壞時(shí)的形態(tài)。有限元分析結(jié)果顯示板格在第一階模態(tài)時(shí)，其對(duì)角線出現(xiàn)一個(gè)半波，則可定義m′=1；令長(zhǎng)寬比α=（其中a為長(zhǎng)邊，b為短邊），泊松比v=0.3，經(jīng)過(guò)代入簡(jiǎn)化，可得彈性屈曲臨界荷載值：

式中：定義 Ks為剪切屈曲系數(shù)，則 Ks=4.5α2-10α+7；

E為材料的彈性模量等于206 000 N/mm2；

因此，可以得到三邊簡(jiǎn)支板均勻受剪下的理想彈性屈曲應(yīng)力和彈性臨界屈曲應(yīng)力。

其中：t、b分別為板格厚度和邊長(zhǎng)，mm；

彈性屈曲臨界應(yīng)力：

2 有限元法

分析采用的有限元分析軟件是MSC公司的MSC.Marc/Mentat，利用非線性有限元方法分析，可以模擬各種不同的結(jié)構(gòu)布置形式，計(jì)算結(jié)果較準(zhǔn)確［5］。

2.1 材料性質(zhì)

使用能量法推導(dǎo)的板格屈曲極限計(jì)算公式只考慮材料彈性階段的屈曲性能，所以進(jìn)行有限元分析時(shí)定義的材料性質(zhì)也只考慮其彈性階段的屈曲性能。材料參數(shù)：楊氏彈性模量E=206 000 N/mm2，泊松比 v=0.3，最小屈服限 σyd=315 N/mm2。

2.2 邊界條件

板格三邊簡(jiǎn)支、一邊自由，如圖4所示。

圖4 板格模型邊界條件

2.3 荷 載

板格四邊承受均布的剪力作用，因?yàn)樗倪呴L(zhǎng)度都不相同，所以施加在各邊上的荷載必須分別進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算方法如下：

其中：la和tnet分別為板格的寬和厚；nx和ny分別為板格沿x、y軸向所分單元數(shù)量。因?yàn)楦鱾€(gè)角點(diǎn)只涉及到單面受力，所以當(dāng)這些荷載加到這四個(gè)角點(diǎn)上的時(shí)候應(yīng)該減半。

2.4 有限元分析方法

進(jìn)行板格的彈性剪切屈曲分析，給板格施加一個(gè)小于彈性屈曲臨界荷載的剪力，利用模態(tài)分析方法可以得出板格屈曲的幾個(gè)模態(tài)形態(tài)［6］。一般而言，對(duì)于板格屈曲，其第一階模態(tài)的形狀（如圖5）往往最接近于其真實(shí)破壞時(shí)候的形態(tài)，所以取其第一階模態(tài)的特征值，然后利用特征值方法計(jì)算出板格的剪切臨界應(yīng)力。

圖5 板格第一階模態(tài)形貌圖

3 數(shù)據(jù)值驗(yàn)證結(jié)果及分析

采用MSC.Marc/Mentat有限元軟件，共對(duì)15塊不同尺寸、不同厚度的板格進(jìn)行分析，表1列出了它們的線性有限元臨界應(yīng)力與彈性屈曲臨界應(yīng)力的數(shù)值比較。

表1 線性有限元臨界應(yīng)力與彈性屈曲臨界應(yīng)力數(shù)值對(duì)比

續(xù)表

按上述有限元分析方法對(duì)15塊板格模型進(jìn)行屈曲計(jì)算，并與推導(dǎo)的公式計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較（見(jiàn)表1）、定義板格的參考長(zhǎng)細(xì)比，最終得到板格參考長(zhǎng)細(xì)比-應(yīng)力關(guān)系圖，如圖6所示。

圖6 板格參考細(xì)比-彈性臨界應(yīng)力關(guān)系圖

由圖可見(jiàn)，排除線性有限元計(jì)算的結(jié)果離散性等因素，推導(dǎo)的公式與有限元線性分析結(jié)果在板格長(zhǎng)細(xì)比較大的時(shí)候吻合較好，普遍誤差在10%～20%。另外，推導(dǎo)的臨界應(yīng)力公式結(jié)果較有限元線性屈曲結(jié)果小，因?yàn)橛邢拊獢?shù)值分析在理想狀態(tài)下進(jìn)行，所以公式推導(dǎo)結(jié)果具有足夠的安全系數(shù)，也可以保證設(shè)計(jì)的安全性。

4 結(jié) 論

均勻受剪三邊簡(jiǎn)支板格的公式推導(dǎo)合理，豐富了板格屈曲的理論研究，得出的結(jié)果在一定范圍內(nèi)具有可信度。不過(guò)，公式也存在一定局限性，當(dāng)板格參考長(zhǎng)細(xì)比小于1.5時(shí)，公式推導(dǎo)結(jié)果在未考慮材料屈服極限的情況下得到的數(shù)值較大，不具有實(shí)用性。另外，本次研究采用的是不允許載荷重新分布的屈曲評(píng)估方法，得到的是彈性屈曲臨界應(yīng)力，但目前較多采用的是允許載荷重新分布的屈曲評(píng)估方法，得到的是極限屈曲臨界應(yīng)力，即：其中Cτ定義為屈曲折減因子，針對(duì)均勻受剪三邊簡(jiǎn)支板格的Cτ有待進(jìn)一步研究。

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［3］HARADA M，F(xiàn)UJIKUBO M.Estimation of Buckling and Ultimate Strength of Rectangular Plate With Cutout［C］//Proceedings of the 15th（2005）International Offshore and Polar Engineering Conference.Kitakyushu，Japan：［s.n.］，2002.

［4］陳驥.鋼結(jié)構(gòu)穩(wěn)定理論與設(shè)計(jì)［M］.5版.北京：科學(xué)出版社，2011.

［5］洪英，初艷玲.船體結(jié)構(gòu)屈曲強(qiáng)度評(píng)估方法的規(guī)范研究及應(yīng)用［J］.上海造船，2010（3）：4-8.

［6］鄭巖.MARC 2001從入門到精通［M］.北京：中國(guó)水利水電出版社，2003.