兩類最優(yōu)跳頻序列集的線性復(fù)雜度

高軍濤，胡予濮，李雪蓮，向上榮

(1. 西安電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)與信息安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710071；2. 中國科學(xué)院 軟件研究所 信息安全國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100190；3. 西安電子科技大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)系，陜西 西安 710071；4. 西安電子科技大學(xué) 計(jì)算機(jī)學(xué)院，陜西 西安 710071)

1 引言

跳頻(FH)序列在擴(kuò)頻通信和碼分多址(CDMA)通信系統(tǒng)中都有廣泛的應(yīng)用。跳頻碼分多址系統(tǒng)(FH-CDMA)被廣泛地應(yīng)用于藍(lán)牙、雷達(dá)系統(tǒng)等方面。在這些系統(tǒng)中，信號(hào)接收者面臨的主要問題就是信號(hào)之間的相互干擾。針對這種情況，人們一般采用具有低Hamming相關(guān)的跳頻序列集來降低干擾，提高系統(tǒng)的性能。除此之外，在實(shí)際應(yīng)用中，特別是在軍用系統(tǒng)中，人們不希望自己傳送的信息被懷有敵意的人獲得或者蓄意干擾。為了抵抗干擾和增加保密性，跳頻序列除了應(yīng)該具有低的Hamming相關(guān)以外，還應(yīng)該具有較大的線性復(fù)雜度[1]。線性復(fù)雜度是衡量序列安全性的一個(gè)重要指標(biāo)。如果一個(gè)序列的線性復(fù)雜度很低，即使它有大的周期，也很容易受到Berlekamp-Massey算法的攻擊，因而序列的使用者就沒有秘密可言。另一方面，為了降低通信收發(fā)雙方的實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度，跳頻序列的實(shí)現(xiàn)應(yīng)該盡量簡單。因此設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)簡單，低Hamming相關(guān)且高線性復(fù)雜度的跳頻序列集就具有重要的意義。

當(dāng)前有許多種類的最優(yōu)跳頻序列集[2～11]，這些跳頻序列集有的是用代數(shù)方法設(shè)計(jì)的[2～6]，有的則是用組合數(shù)學(xué)方法設(shè)計(jì)的[7～11]。所有這些集合中序列間的Hamming相關(guān)滿足Lempel-Greenberger界[12]或 Peng-Fan界[13]。在這些序列集中有些序列的線性復(fù)雜度很小[2～4]，有些序列的線性復(fù)雜度仍然沒有結(jié)論[7～11]，使得這些跳頻序列不能應(yīng)用于保密通信中[14]。雖然當(dāng)前存在具有高線性復(fù)雜度的最優(yōu)跳頻序列集[5,6]，但這些序列集是通過廣義 Bent函數(shù)或者多項(xiàng)式環(huán)構(gòu)造的，實(shí)現(xiàn)相對比較困難。因此如何將低線性復(fù)雜度的最優(yōu)跳頻序列集變換為具有高線性復(fù)雜度的最優(yōu)序列集，同時(shí)保證序列實(shí)現(xiàn)簡單，就成為一個(gè)亟待解決的問題。

為了提高跳頻序列的線性復(fù)雜度，Ding和Yin[2]指出人們可以使用有限域中的冪置換[15]將一個(gè)具有低線性復(fù)雜度的跳頻序列集變換為一個(gè)具有較高線性復(fù)雜度的跳頻序列集。在文獻(xiàn)[16]中，Wang研究了三類最優(yōu)跳頻序列集在冪置換下的線性復(fù)雜度，指出這三類序列集中序列的線性復(fù)雜度在冪置換下可以大幅增加。Wang同時(shí)指出：“除了冪置換以外，其他類型的置換多項(xiàng)式也有可能增加序列的線性復(fù)雜度，但計(jì)算這些序列線性復(fù)雜度的精確值并不容易”。

本文利用有限域中另一類置換多項(xiàng)式δ(x)來提高序列的線性復(fù)雜度，通過理論證明給出了置換以后得到的序列線性復(fù)雜度的精確值。結(jié)果表明，這類置換多項(xiàng)式可以使變換后序列的 Hamming相關(guān)保持最優(yōu)，而且還大幅度地增加了序列的線性復(fù)雜度。因此證明了Wang提出的命題，即其他類型的置換多項(xiàng)式也可以提高序列的線性復(fù)雜度，得到序列線性復(fù)雜度的精確值。本文得到的新型跳頻序列集的工程實(shí)現(xiàn)是比較簡單的，同時(shí)具有高的線性復(fù)雜度。與現(xiàn)有的具有大線性復(fù)雜度的跳頻序列集[5,6,16]相比，本文的序列具有如下的優(yōu)點(diǎn)：①相比于文獻(xiàn)[5,6]中最優(yōu)跳頻序列集，我們這類序列集的實(shí)現(xiàn)更為簡單。②與文獻(xiàn)[16]中冪置換后的最優(yōu)跳頻序列集相比，本文給出的新型最優(yōu)跳頻序列集的實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度與冪置換后序列的實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度相當(dāng)，而線性復(fù)雜度比大部分冪置換給出的序列的線性復(fù)雜度要更高，比少數(shù)冪置換給出的序列線性復(fù)雜度低。詳細(xì)的對比情況參見本文第4節(jié)。

2 基礎(chǔ)知識(shí)

2.1 最優(yōu)跳頻序列

設(shè) l是一個(gè)正整數(shù)，一個(gè)有限集合 F定義為F={f0, f1,…, fl-1}。令長度為 n 的序列 X=x0x1… xn-1，其中xi∈F。長度為n的所有跳頻序列組成的集合記為 S={X| X=x0x1…xn-1，其中 xi∈F}。?X, Y∈S，它們之間的Hamming相關(guān)定義如下：

其中，如果xi=yi+t，則h[xi, yi+t]=1；否則h[xi, yi+t]=0。由式(1)集合S中的Hamming相關(guān)可以定義如下[1]：

一個(gè)跳頻序列的Hamming相關(guān)如果滿足式(5)，稱其滿足Lempel-Greenberger界。

引理1[12]對于F上的每一個(gè)長度為n的跳頻序列X，其Hamming相關(guān)滿足

其中，ε是n模l的最小非負(fù)剩余，即ε≡n mod l。

滿足Lempel-Greenberger界的單個(gè)序列稱為最優(yōu)跳頻序列。

為了判斷一個(gè)跳頻序列集是否達(dá)到最優(yōu)，還需要用到引理2。

引理2[13]設(shè)S是包含N個(gè)長度為n的跳頻序列組成的集合，跳頻序列中分量取自集合F。定義，則

并且

一個(gè)跳頻序列集的Hamming相關(guān)值如果滿足式(6)或者式(7)，則稱這類序列集滿足Peng-Fan界。滿足Peng-Fan界的跳頻序列集稱為最優(yōu)跳頻序列集。

2.2 序列的線性復(fù)雜度

設(shè)GF(q)表示含有元素個(gè)數(shù)為q的有限域，GF(q)*表示GF(q)中所有的非零元，這里q=pr，p是一個(gè)素?cái)?shù)，r≥1是一個(gè)正整數(shù)。對于一個(gè)元素取自GF(q)上的序列s=s0s1…，其線性復(fù)雜度可以定義為產(chǎn)生該序列最短的線性反饋移位寄存器(LFSR)的長度。設(shè)序列s由一個(gè)LFSR生成，并滿足遞歸關(guān)系式：sn+l=cl-1sn+l-1+cl-2sn+l-2+…+ c0sn，n≥0。多項(xiàng)式c(x)=clxl+ cl-1xl-1+…+ c1x+c0稱為序列s的特征多項(xiàng)式。顯然滿足上述遞歸關(guān)系的特征多項(xiàng)式有很多，其中具有最低次數(shù)L的特征多項(xiàng)式稱為序列s的最小多項(xiàng)式。序列s的線性復(fù)雜度還可以定義為其最小多項(xiàng)式的次數(shù)，記為LS(s)=L。

線性復(fù)雜度是衡量序列安全性的一個(gè)重要指標(biāo)。如果一個(gè)序列具有較低的線性復(fù)雜度，那么序列可以由較短的LFSR來生成，攻擊者利用Berlekamp-Massey算法可以很容易得到生成該序列最短的LFSR長度和它的反饋邏輯，因此，高線性復(fù)雜度是序列安全的一個(gè)必要條件。從工程角度來說，線性復(fù)雜度可以認(rèn)為是利用LFSR生成序列的困難程度。

3 主要結(jié)果

對于一個(gè)最優(yōu)跳頻序列或者最優(yōu)跳頻序列集來說，線性復(fù)雜度是一個(gè)重要的指標(biāo)。當(dāng)前存在具有較高線性復(fù)雜度的跳頻序列集[5,6]，但這些跳頻序列是通過廣義bent函數(shù)或者多項(xiàng)式環(huán)設(shè)計(jì)的，在實(shí)際應(yīng)用中實(shí)現(xiàn)并不簡單。在文獻(xiàn)[16]中，Wang利用有限域GF(q)上的冪置換：x→xσ，這里x∈GF(q)，gcd(σ, q-1)=1，提高幾類序列的線性復(fù)雜度。Wang同時(shí)指出“或許”可以利用其他類型的置換多項(xiàng)式來提高序列的線性復(fù)雜度，但計(jì)算線性復(fù)雜度并不像冪置換那么容易。本文利用下面的置換研究兩類最優(yōu)跳頻序列的線性復(fù)雜度。

引理3[15]當(dāng)q為奇數(shù)時(shí)，多項(xiàng)式x(q+1)/2+bx∈GF(q)[x]是GF(q)上的一個(gè)置換多項(xiàng)式當(dāng)且僅當(dāng)b=(c2+1)(c2-1)-1，這里c∈GF(q)，c≠0，c2≠1。

上述引理中的置換多項(xiàng)式和冪置換顯然是不同的。因此給出的具有高線性復(fù)雜度的最優(yōu)跳頻序列集是一類新的跳頻序列集。

3.1 第一類跳頻序列集

設(shè)p是個(gè)奇素?cái)?shù)，q=pr，r是一個(gè)正整數(shù)，m≥3是一個(gè)奇數(shù)。假設(shè)α是GF(qm)*的生成元，n= (qm-1)/2，d是一個(gè)整數(shù)滿足gcd(d, qm-1)=1。令β=α2d，?a∈GF(qm)，定義一個(gè)序列sa如下：

其中，Tr(x)=x+xq+…+xqm-1是GF(qm)→GF(q)上的跡函數(shù)。文獻(xiàn)[3]已經(jīng)證明：sa是一個(gè)((qm-1)/2,(qm-1-1)/2; q)最優(yōu)跳頻序列。{sa, sa’}是一個(gè)(( qm-1)/2,2, (qm-1-1)/2; q) 最優(yōu)跳頻序列集，這里a是GF(qm)*中某個(gè)元素的平方，而a’不能表示為GF(qm)*中某個(gè)元素的平方。文獻(xiàn)[16]證明了這些序列的線性復(fù)雜度等于m。相比于序列的周期( qm-1)/2來說，該序列的線性復(fù)雜度非常低，下面證明可以利用置換多項(xiàng)式來得到具有大線性復(fù)雜度的跳頻序列集。

引理4[17]

引理5[18]設(shè)f(x) ∈GF(q)[x]，f(x)在其分裂域上的全部根記為α1，α2，…，αn。序列a=a0a1…以f(x)為特征多項(xiàng)式當(dāng)且僅當(dāng)存在一組元素λ1，λ2，…，λn，使得

序列a的線性復(fù)雜度等于上式中不等于0的那些λi的個(gè)數(shù)。

該引理表明一個(gè)序列中的元素可以由序列特征多項(xiàng)式的根來表示，并且序列的線性復(fù)雜度也可以由序列根表示的數(shù)目確定。

引理6[19]設(shè)f(x) ∈GF(q)[x]，f(x)在其分裂域上無重根。則f(x)可以表示為f(x)= f1(x) f2(x)…fk(x)，k＞0，fi(x)，i=1,2,…k，是GF(q)上不同的不可約多項(xiàng)式。設(shè)序列s是以f(x)為極小多項(xiàng)式生成的序列，則序列s可以表示為s=s(1)+s(2)+…+s(k)，其中s(i)是以fi(x)為極小多項(xiàng)式生成的序列。

定理1 設(shè)序列sa由式(8)給出，b=(c2+1)(c2-1)-1，這里c∈GF(q)，c≠0，c2≠1。設(shè)δ(x)= x(q+1)/2+bx，定義

0≤t≤(qm-1)/2-1則

1) (δ(sa), δ(sa’))組成一個(gè)((qm-1)/2, 2, (qm-1-1)/2;q) 最優(yōu)跳頻序列集。

2) δ(sa)的線性復(fù)雜度為

證明

定理1中的1)是顯然成立的。因?yàn)棣?x)：GF(q)→GF(q)是GF(q)上的置換多項(xiàng)式，所以序列δ(sa)是序列sa的置換序列。根據(jù)式(1)中Hamming相關(guān)的定義，δ(sa)滿足引理1中的最優(yōu)界。下面證明定理1中的2)部分。

因?yàn)閝=pr，(q+1)/2可以表示為

所以

根據(jù)引理4，

所以

根據(jù)引理5，需要給出式(9)中β的系數(shù)模qm-1有多少是互不相同的。對于不同的λi,j，λ′i,j考慮式(10)：

因?yàn)棣薸,j≤ηi，λ'i,j≤ηi并且當(dāng)q＞3時(shí)有：

由式(10)可知，

對于上式把等號(hào)兩邊模q得到：

顯然，式(12)等號(hào)兩邊的值都是小于q的，所以mod q可以省去。得到λ0,0=λ′0,0, λ1,0=λ′1,0, …,λr-1,0=λ′r-1,0。同理，對式(11)兩端同時(shí)模qk, k=2,3, …, m-1, 可以得到 ?i, j, λi,j=λ′i,j，這與λi,j≠λ′i,j矛盾。因此證明了式(9)中β的次數(shù)是互不相同的。

下面證明序列bTr(aβt)中的β的次數(shù)與式(9)中β的次數(shù)是互不相同的。因?yàn)?/p>

所以，Tr(aβt)中β的次數(shù)形式為qkt。假設(shè)存在λi,j使下式成立：

顯然上式左邊和qk都是小于qm-1的，所以mod(qm-1)可以省略。因?yàn)樗械?≤λi,j≤ηi，要使得上式成立，必須有λ0k=1且其余的λi,j=0，這就意味著 η0=1，ηi=0， i=1, 2,…, r-1，即(q+1)/2=1。這與p是奇素?cái)?shù)，q是p的冪次矛盾。因此Tr(aβt)(q+1)/2與bTr(aβt)中β的次數(shù)都互不相同。

為了計(jì)算δ(sa)的線性復(fù)雜度，根據(jù)引理5必須給出δ(sa)的表示中系數(shù)不為0的β的個(gè)數(shù)。因?yàn)?/p>

根據(jù)組合數(shù)公式[17]，共有：

個(gè)方式將ηi表示為滿足條件的λi,j的和。

因此，Tr(aβt)(q+1)/2中共含有以下數(shù)目的項(xiàng)：

又因?yàn)閎Tr(aβt)中β的冪次與Tr(aβt)(q+1)/2中的完全不同，由引理6序列δ(sa)的線性復(fù)雜度為

從式(13)可以看出，線性復(fù)雜度的提高依賴于(q+1)/2的分解。因?yàn)閝=pr，所以

因此可以確定

當(dāng)p、r、m 3個(gè)參數(shù)固定時(shí)，δ(sa)的線性復(fù)雜度是固定的，即

顯然，相比于原來的線性復(fù)雜度，置換以后的序列線性復(fù)雜度有明顯的提高。證畢。

3.2 第二類跳頻序列集

設(shè)p是一個(gè)素?cái)?shù)，q=pr，r是一個(gè)正整數(shù)。設(shè)m和d是2個(gè)正整數(shù)，滿足d | qm-1，并且gcd((qm-1)/(q-1), d)=1。假設(shè)α是GF(qm)*的生成元，β=αμd，μ是一個(gè)正整數(shù)滿足gcd(qm-1, μ)=1，設(shè)n= (qm-1)/d，對于每一個(gè)0≤i≤d-1，可以定義下面的序列：

文獻(xiàn)[2]已經(jīng)證明了由序列

組成的序列族S={si|0≤i≤d-1}是一個(gè)((qm-1)/d, d,( qm-1-1)/d; q)最優(yōu)跳頻序列集。

由參數(shù)β，α，d，μ的定義可以看出，式(14)中的序列是式(8)中序列的一種廣義描述。第二類跳頻序列集中要求gcd(qm-1, μ)=1，d | qm-1；而第一類跳頻序列集中g(shù)cd(qm-1, d)=1，2 | qm-1；第一類序列可以看作是第二類序列中d=2時(shí)的一個(gè)特例，因此第二類跳頻序列集可以看作是第一類跳頻序列集的推廣。文獻(xiàn)[16]證明這些序列的線性復(fù)雜度等于m。相比于序列的周期來說，該線性復(fù)雜度顯然是非常低的。利用的置換多項(xiàng)式δ(x)和第一類序列集同樣的方法，可以改進(jìn)第二類序列集的線性復(fù)雜度，所以有定理2。

定理2 設(shè)序列si由式(14)給出，b=(c2+1)(c2-1)-1，這里c∈GF(q)，c≠0，c2≠1。設(shè)δ(x)=x(q+1)/2+bx，定義

則

2) δ(sa)的線性復(fù)雜度為

定理2的證明與定理1類似，略去。

可以看出，利用置換多項(xiàng)式δ(x)可以將低線性復(fù)雜度的最優(yōu)跳頻序列集轉(zhuǎn)化為高線性復(fù)雜度的最優(yōu)跳頻序列集。例如：當(dāng)p=7，q=73，m=5，在原序列集中線性復(fù)雜度僅為5，而經(jīng)過δ(x)=x(q+1)/2+bx置換以后得到的新跳頻序列集的線性復(fù)雜度等于85 755，顯然大幅度增加了序列的線性復(fù)雜度。

4 比較和實(shí)現(xiàn)

本節(jié)主要將本文給出的最優(yōu)跳頻序列集與現(xiàn)有的具有高線性復(fù)雜度的最優(yōu)跳頻序列集[5,6,16]從線性復(fù)雜度和工程實(shí)現(xiàn)2個(gè)角度進(jìn)行對比，說明本文給出的跳頻序列集具有的優(yōu)勢。

由式(8)和式(14)可以看出，置換前的兩類跳頻序列集都可以通過跡函數(shù)來實(shí)現(xiàn)。眾所周知，當(dāng)跡函數(shù)中只包含一個(gè)元素的冪次時(shí)，其工程實(shí)現(xiàn)是非常簡單的。但由于這兩類跳頻序列集的線性復(fù)雜度太低，因此只能限制在保密要求很低的環(huán)境中使用。本文置換以后的跳頻序列集，是在原序列集上增加了一個(gè)(q+1)/2乘冪次運(yùn)算(即增加的乘法次數(shù)約為log ((q+1)/2)次)，而后與原序列輸出相加。這種改變僅僅增加了一個(gè)簡單的乘法電路和一次加法運(yùn)算，其中加法運(yùn)算由于運(yùn)算量非常小是可以忽略不計(jì)的，可見置換以后跳頻序列的工程實(shí)現(xiàn)仍然是非常簡單的，以增加非常少量的實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度來獲得較高的線性復(fù)雜度是非常值得的。

文獻(xiàn)[5]利用廣義bent序列和廣義bent函數(shù)構(gòu)造了兩類具有高線性復(fù)雜度的最優(yōu)跳頻序列集。其中第一類最優(yōu)跳頻序列集的線性復(fù)雜度并不是太高(當(dāng)周期為p的冪次時(shí)，線性復(fù)雜度僅為p)，第二類最優(yōu)跳頻序列集的線性復(fù)雜度相比于第一類較高。然而因?yàn)檫@兩類序列集都是基于廣義 bent函數(shù)或者廣義bent序列構(gòu)造的，所以實(shí)現(xiàn)是比較復(fù)雜的[20]。

文獻(xiàn)[6]的目的也是構(gòu)造具有高線性復(fù)雜度的最優(yōu)跳頻序列集，這種構(gòu)造主要是基于代數(shù)中的多項(xiàng)式環(huán)理論，相比于文獻(xiàn)[2,3]中利用有限域構(gòu)造的最優(yōu)跳頻序列集來說，這種基于環(huán)構(gòu)造的最優(yōu)跳頻序列本身更加的復(fù)雜，并且實(shí)現(xiàn)也不簡單，但這種構(gòu)造可以獲得較高的線性復(fù)雜度，在保密性要求較高的環(huán)境中可以使用該類跳頻序列集。

文獻(xiàn)[16]是利用冪置換將具有低線性復(fù)雜度的最優(yōu)跳頻序列集置換為具有高線性復(fù)雜度的最優(yōu)跳頻序列集，其工程實(shí)現(xiàn)也相對簡單，僅僅是在原序列上增加一個(gè)σ (滿足 gcd(σ, q-1)=1) 的冪次運(yùn)算，增加的乘法次數(shù)約為log σ次。而本文給出的新型最優(yōu)跳頻序列的實(shí)現(xiàn)大約需要增加 log ((q+1)/2)次乘法和一次加法運(yùn)算。因此本文序列的實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度與文獻(xiàn)[16]中序列的實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度大致相當(dāng)。在線性復(fù)雜度方面，由文獻(xiàn)[16]中的結(jié)論，置換后序列線性復(fù)雜度的值取決于σ 的 p元表示，而且當(dāng)σ=pr-pj-1時(shí)，序列的線性復(fù)雜度取到最大。本文利用置換多項(xiàng)式δ(x)得到置換后跳頻序列線性復(fù)雜度的值依賴于(q+1)/2的p元表示，因此有限域給定時(shí)，置換后序列的線性復(fù)雜度就是給定的。由本文定理1、定理2和文獻(xiàn)[16]中定理5、推論6、定理9、推論 10中的結(jié)論可以看出：本文給出的新型最優(yōu)跳頻序列的線性復(fù)雜度要小于冪置換σ =pr-pj-1時(shí)序列的線性復(fù)雜度，但要大于大多數(shù)使用其他冪置換得到的最優(yōu)跳頻序列的線性復(fù)雜度。

綜上所述，利用δ(x)可以將兩類低線性復(fù)雜度的最優(yōu)跳頻序列集變換為具有高線性復(fù)雜度的最優(yōu)跳頻序列集，與現(xiàn)有的具有高線性復(fù)雜度的最優(yōu)跳頻序列集相比，增加了非常少的實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度，獲得了較高的線性復(fù)雜度。

5 結(jié)束語

本文主要證明了Wang給出的命題[16]，即除冪置換以外，其他類型的置換多項(xiàng)式也可以給出具有大線性復(fù)雜度，實(shí)現(xiàn)相對簡單的最優(yōu)跳頻序列集，并且可以給出置換后序列線性復(fù)雜度的精確值。由定理1和定理2的結(jié)論可以看出，利用置換多項(xiàng)式δ(x)= x(q+1)/2+bx可以將低線性復(fù)雜度的最優(yōu)跳頻序列集轉(zhuǎn)化為具有高線性復(fù)雜度，實(shí)現(xiàn)簡單的最優(yōu)跳頻序列集。通過計(jì)算序列表示中α不同冪次的數(shù)目，給出了這些序列線性復(fù)雜度的精確值。本文利用的置換δ(x)與文獻(xiàn)[16]中使用的冪置換顯然是不同的，因此得到的是新型的最優(yōu)跳頻序列集。

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