基于改進(jìn)粒子濾波的PSK信號(hào)時(shí)延和碼元聯(lián)合估計(jì)算法

夏楠，邱天爽

（大連理工大學(xué) 電子信息與電氣工程學(xué)部，遼寧 大連 116024）

1 引言

移相鍵控(PSK)調(diào)制是通信系統(tǒng)中應(yīng)用廣泛的一種數(shù)字調(diào)制方式。在信號(hào)傳輸過(guò)程中，受到無(wú)線信道等因素的影響，使得信號(hào)本身產(chǎn)生時(shí)間延遲、幅度衰減、載波頻率和相位的偏移。在接收端對(duì)信號(hào)進(jìn)行解調(diào)之前需要估計(jì)這些未知參數(shù)并對(duì)其進(jìn)行補(bǔ)償，否則解調(diào)性能將受到嚴(yán)重的影響。文獻(xiàn)[1]通過(guò)接收端觀測(cè)信號(hào)的相關(guān)信息，恢復(fù)出上述未知參數(shù)。但是，實(shí)際中無(wú)法獲得同步參數(shù)的最佳估計(jì)器，因此很多現(xiàn)有的算法都是基于最大似然近似理論。

近些年來(lái)，粒子濾波算法越來(lái)越引起廣泛的關(guān)注，其基本思想是構(gòu)造回歸的貝葉斯濾波器并通過(guò)蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)估計(jì)后驗(yàn)概率密度函數(shù)(pdf)。進(jìn)一步可以理解為通過(guò)用狀態(tài)空間中未知狀態(tài)的隨機(jī)采樣點(diǎn)及相應(yīng)權(quán)值來(lái)近似概率分布[2]。與卡爾曼濾波及其改進(jìn)算法相比[3,4]，粒子濾波算法同樣需要構(gòu)造狀態(tài)方程與觀測(cè)方程。但是，對(duì)于非線性或者非高斯環(huán)境下，粒子濾波算法能夠提供一種更為方便、有效的方法。因此很多國(guó)內(nèi)外學(xué)者將粒子濾波算法應(yīng)用到通信信號(hào)參數(shù)估計(jì)與碼元檢測(cè)中[5～8]。文獻(xiàn)[5]提出基于粒子濾波相位跟蹤算法，并通過(guò)二階數(shù)字鎖相環(huán)技術(shù)實(shí)現(xiàn)相位的無(wú)偏估計(jì)。文獻(xiàn)[6]提出一種基于粒子濾波的自適應(yīng)盲時(shí)間延遲和碼元的聯(lián)合估計(jì)方法，并給出接收端開路和閉路結(jié)構(gòu)。文獻(xiàn)[7]將粒子濾波算法運(yùn)用到無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)與目標(biāo)的聯(lián)合定位問(wèn)題。文獻(xiàn)[8]提出一種基于粒子濾波的時(shí)變信道盲均衡算法。本文重點(diǎn)對(duì)文獻(xiàn)[6]中的算法進(jìn)行深入研究。文獻(xiàn)[6]通過(guò)估計(jì)時(shí)間延遲參數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)信號(hào)檢測(cè),而時(shí)間延遲可以看作是非時(shí)變參數(shù)。對(duì)于非時(shí)變參數(shù)的估計(jì)問(wèn)題，隨著粒子濾波算法的不斷進(jìn)行，重采樣過(guò)程會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的后驗(yàn)概率分布，進(jìn)而降低估計(jì)的精度。解決該問(wèn)題的方法是在參數(shù)迭代的過(guò)程中引入一個(gè)抖動(dòng)，可以理解為疊加一個(gè)狀態(tài)噪聲[9]。但是，對(duì)于算法的每一次迭代，都需要疊加狀態(tài)噪聲。如果噪聲過(guò)小，同樣會(huì)出現(xiàn)上述問(wèn)題，而如果噪聲過(guò)大，則會(huì)出現(xiàn)無(wú)法收斂的情況，這都會(huì)導(dǎo)致估計(jì)精度下降。

本文提出一種自適應(yīng)重采樣方法，根據(jù)迭代誤差的變化，動(dòng)態(tài)調(diào)整狀態(tài)噪聲的方差。當(dāng)算法尚未收斂時(shí)，使噪聲方差較大，這樣可以使粒子盡量準(zhǔn)確地描述后驗(yàn)概率分布，而當(dāng)算法收斂時(shí)，使噪聲方差較小，可以有效地提高估計(jì)精度。另外，通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)，對(duì)于較小的時(shí)間延遲，文獻(xiàn)[6]算法的估計(jì)誤差較大。本文提出一種基于粒子濾波的正向與反向結(jié)合的碼元檢測(cè)算法，有效地解決了這一問(wèn)題。通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真，將改進(jìn)算法與文獻(xiàn)[6]的算法進(jìn)行比較，并對(duì)性能做以分析。

2 信號(hào)模型及問(wèn)題描述

2.1 信號(hào)模型

考慮經(jīng)過(guò)本地振蕩器后，接收機(jī)前端接收到的經(jīng)過(guò)匹配濾波后的BPSK基帶信號(hào)，用復(fù)數(shù)形式可表式為其中，hejφ表示信道參數(shù)，并且本文假設(shè)其已知，f表示信號(hào)載波頻偏，sm∈{-1 ,1}為傳輸?shù)拇a元序列，其符號(hào)率為（T為符號(hào)周期），M為傳輸?shù)拇a元個(gè)數(shù)，τ為信號(hào)的時(shí)間延遲，這里τ∈(0,T)，g(t)表示升余弦波形信號(hào)，n(t)是均值為0，方差為σn2的高斯白噪聲。對(duì)信號(hào)y(t)按符號(hào)率1T進(jìn)行采樣，將結(jié)果以矢量的形式表示為

2.2 狀態(tài)空間模型

為了運(yùn)用粒子濾波方法來(lái)遞推估計(jì)未知參數(shù)和符號(hào)序列，需要建立狀態(tài)空間模型，即狀態(tài)方程。假設(shè)在一段時(shí)間內(nèi)時(shí)間延遲及載波偏差保持不變，則有

其中，vτk與vkf是均值為0，方差分別為στ2和σ2f的高斯白噪聲，dk=[0,… ,0 ,sk+L]T為2L× 1 擾動(dòng)矢量，sk+L為需要估計(jì)的碼元，

為22LL×轉(zhuǎn)移矩陣。

2.3 粒子濾波算法

p可由狀態(tài)方程式(3)得到，可表示為

在已知粒子初始分布的前提下，通過(guò)算法自身迭代與粒子重采樣過(guò)程[10,11]，獲得新的粒子和重要性權(quán)重，進(jìn)而得到狀態(tài)變量的估計(jì)。該算法給出最小均方誤差估計(jì)量(MMSE)對(duì)時(shí)間延遲τk和頻偏fk的估計(jì)，即

對(duì)符號(hào)序列的最大后驗(yàn)概率估計(jì)，即

3 算法改進(jìn)

3.1 問(wèn)題描述

時(shí)間延遲估計(jì)可以看作是非時(shí)變參數(shù)估計(jì)問(wèn)題。粒子濾波算法能否實(shí)現(xiàn)非時(shí)變參數(shù)的精確估計(jì)，在某種程度上取決于粒子的初始分布的選擇是否合適。如果待估參數(shù)的真實(shí)值存在于初始分布中，那么隨著算法的進(jìn)行，會(huì)檢測(cè)出權(quán)值較大的粒子，即在數(shù)值上接近于真實(shí)值的粒子。通過(guò)重采樣算法，那些權(quán)值可以忽略的粒子，則會(huì)被大粒子所取代，然后通過(guò)最小均方誤差準(zhǔn)則對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，能夠得到較好的結(jié)果。但是，在很多情況下，無(wú)法預(yù)知粒子的先驗(yàn)分布，或者只能夠確定一個(gè)很大的范圍。在這種情況下，隨著算法的進(jìn)行，可能會(huì)出現(xiàn)所有粒子的權(quán)重都非常小，算法會(huì)收斂到一個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)果或者不收斂，進(jìn)而使算法失效。解決這一問(wèn)題，可以從兩方面來(lái)考慮。一方面可以增加粒子的數(shù)量。由于人為設(shè)置的粒子初始分布范圍很大，需要大量的粒子，才能夠使得部分粒子在數(shù)值上接近于參數(shù)的真實(shí)值。但是這樣會(huì)大大增加算法的復(fù)雜度，實(shí)際意義不大。另一方面可以引入狀態(tài)誤差。文獻(xiàn)[6]通過(guò)在迭代過(guò)程中，對(duì)于時(shí)間延遲，人為地加入較小的隨機(jī)抖動(dòng)，使得非時(shí)變參數(shù)估計(jì)轉(zhuǎn)化為時(shí)變參數(shù)估計(jì)問(wèn)題。這樣做的意義在于當(dāng)初始分布的選擇不合適而粒子數(shù)量又相對(duì)較少時(shí)，通過(guò)引入一個(gè)隨機(jī)抖動(dòng)，可以使得部分偏離真實(shí)值的粒子向真實(shí)值靠攏。這樣，算法不會(huì)因?yàn)榱Ｗ拥乃ネ硕?。但是，?duì)于如何設(shè)置隨機(jī)噪聲的方差，卻無(wú)法衡量。方差設(shè)置過(guò)小，同樣會(huì)出現(xiàn)粒子衰退的問(wèn)題；如果方差設(shè)置過(guò)大，會(huì)使算法不收斂。這樣就需要一種自適應(yīng)的方法動(dòng)態(tài)調(diào)整方差大小，進(jìn)而可以使粒子更好地近似概率分布。

在碼元檢測(cè)方面，文獻(xiàn)[6]中考慮到實(shí)際情況中為防止碼間干擾而引入成型濾波器，而且成型濾波器一般選擇升余弦濾波器。因此在觀測(cè)方程式(2)中出現(xiàn)碼元矢量和升余弦波形信號(hào)采樣矢量相乘的形式。文獻(xiàn)[6]同時(shí)給出了粒子濾波平滑算法，因?yàn)樵跒V波器系數(shù)矢量中，有些系數(shù)很小，對(duì)碼元檢測(cè)結(jié)果影響不大，因此可以忽略。圖1給出濾波器系數(shù)，其中，L=2，且

圖1 升余弦濾波器時(shí)域波形

3.2 粒子濾波改進(jìn)算法

在3.1節(jié)中，針對(duì)文獻(xiàn)[6]存在的問(wèn)題進(jìn)行了分析，這一節(jié)中將給出具體的改進(jìn)方法，提出針對(duì)時(shí)間延遲估計(jì)的自適應(yīng)采樣法和碼元正向、反向檢測(cè)法。

3.2.1 自適應(yīng)重采樣

自適應(yīng)采樣法通過(guò)調(diào)節(jié)迭代過(guò)程中狀態(tài)噪聲方差，使得當(dāng)算法沒(méi)有收斂時(shí)，加入較大狀態(tài)噪聲，這樣粒子能夠更準(zhǔn)確的近似概率分布；而當(dāng)算法收斂時(shí)，加入較小狀態(tài)噪聲，使得估計(jì)精度更高。文獻(xiàn)[12]對(duì)粒子濾波算法的收斂性進(jìn)行了詳盡的證明，并給出2階收斂于最優(yōu)估計(jì)器的結(jié)論。這里只給出其簡(jiǎn)化表達(dá)式，有

3.2.2 碼元反向檢測(cè)

碼元反向檢測(cè)算法是通過(guò)觀測(cè)數(shù)據(jù)由后至前地檢測(cè)出碼元序列，其目的在于當(dāng)時(shí)間延遲較小時(shí)，賦予待檢測(cè)碼元較大的權(quán)重。由此，獲得新的碼元矢量k′s、擾動(dòng)矢量k′d和轉(zhuǎn)移矩陣′S，分別為

依照式(3)給出碼元序列的狀態(tài)方程，有

當(dāng)時(shí)間延遲較小時(shí)，會(huì)使g( -T+τk′)較小，而g（τk′）較大，這樣在矢量相乘的過(guò)程中，碼元sk′會(huì)獲得更大的權(quán)重，從而實(shí)現(xiàn)碼元的反向檢測(cè)。得到該算法的權(quán)重更新方程，有

該算法僅為較小時(shí)間延遲提供有效估計(jì)，對(duì)于較大時(shí)間延遲仍需要采用文獻(xiàn)[6]中的方法，即碼元正向檢測(cè)。通過(guò)以上分析，不難看出，對(duì)于正向檢測(cè)來(lái)說(shuō)，不管時(shí)間延遲真值分布在哪個(gè)區(qū)間，估計(jì)結(jié)果都會(huì)是同理，對(duì)于反向檢測(cè)來(lái)說(shuō)，時(shí)間延遲的估計(jì)結(jié)果都會(huì)分布在換句話說(shuō)，時(shí)間延遲較小的正向檢測(cè)和時(shí)間延遲較大的反向檢測(cè)都會(huì)使估計(jì)結(jié)果與實(shí)際不符，但是對(duì)于參數(shù)盲估計(jì)問(wèn)題，無(wú)法預(yù)知時(shí)間延遲的大小，只能根據(jù)經(jīng)驗(yàn)得到其大概分布范圍，滿足時(shí)間上0到T的均勻分布。因此，在開始階段，需要正向檢測(cè)算法與反向檢測(cè)算法并行使用，當(dāng)獲得正確的時(shí)間延遲之后，對(duì)觀測(cè)信號(hào)進(jìn)行同步并按照符號(hào)率進(jìn)行采樣。如果時(shí)間延遲估計(jì)的準(zhǔn)確，經(jīng)過(guò)同步后，會(huì)得到不受碼間干擾影響碼元序列或者，否則，干擾仍然存在。該方法的結(jié)構(gòu)如圖2所示。在算法初始階段，按照k=L, … ,M-L和k′ =M-L, … ,L分別對(duì)觀測(cè)信號(hào)y(t)進(jìn)行抽樣，經(jīng)過(guò)正向和反向粒子濾波算法后，得到時(shí)間延遲估計(jì)和。通過(guò)對(duì)觀測(cè)信號(hào)進(jìn)行同步并進(jìn)行重抽樣，然后對(duì)此兩路信號(hào)先后取絕對(duì)值和均值，并對(duì)結(jié)果m1和m2進(jìn)行大小比較。比較器輸出來(lái)控制開關(guān)，從而選擇結(jié)果較大的一路來(lái)完成剩余碼元的檢測(cè)。由成型濾波器原理可知，若時(shí)間延遲估計(jì)得準(zhǔn)確，則同步后會(huì)消除碼間干擾的影響，否則，碼間干擾會(huì)繼續(xù)存在。選擇取絕對(duì)值是為了消除符號(hào)的影響，選擇取均值一方面是消除觀測(cè)噪聲的影響，另一方面考慮到時(shí)間延遲估計(jì)不正確的一路，會(huì)因?yàn)槭艽a間干擾影響而使其均值小于另外一路。然后通過(guò)均值大小來(lái)決定應(yīng)采取正向檢測(cè)法還是反向檢測(cè)法。當(dāng)選擇正確的碼元檢測(cè)方向之后，可以通過(guò)開關(guān)控制另外一路檢測(cè)停止。此時(shí)，會(huì)得到同步后無(wú)碼間干擾的碼元序列或者。同時(shí)，為消除載頻偏差的影響，需要對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行載頻補(bǔ)償。本文算法具體流程如算法1所示。

螺釘斷裂8例，7例發(fā)生于術(shù)后4 ～ 6個(gè)月，其中5例出現(xiàn)胸腰部疼痛，行開放手術(shù)翻修并增加傷椎固定螺釘，隨訪12個(gè)月骨折愈合良好；2例無(wú)明顯不適采用胸腰背支具保護(hù)定期復(fù)查，術(shù)后12 個(gè)月骨折愈合良好拆除內(nèi)固定。1例發(fā)生于術(shù)后8個(gè)月，行腰椎CT檢查，明確骨折愈合行內(nèi)固定取出。

圖2 本文算法結(jié)構(gòu)

算法1 本文算法流程

初始化粒子τ0～U（ 0,T） ，f0～U（ -fmax,fmax）

當(dāng)k=L:M-L和k′ =M-L:L(M是符號(hào)數(shù)量)

當(dāng)i= 1 :N(N是粒子數(shù)量)

根據(jù)文獻(xiàn)[11]中算法進(jìn)行粒子重采樣。

根據(jù)式(7)、式(8)、式(18)和式(19)，分別估計(jì)時(shí)間延遲和以及載頻偏差和。

比較m1和m2并檢測(cè)碼元。

4 實(shí)驗(yàn)仿真

為驗(yàn)證改進(jìn)算法，考慮使用BPSK信號(hào)。采樣頻率為fs= 5 0MHz ，碼元周期T= 1 μs，載頻偏差fmax= 1 kHz 成型濾波器采用滾降系數(shù)為0.9的時(shí)間有限升余弦濾波器，且L=2。通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，碼元序列長(zhǎng)度M＞200以及粒子數(shù)量N＞300時(shí)，均能達(dá)到較好性能指標(biāo)。因此在本文仿真實(shí)驗(yàn)中，兼顧計(jì)算量和算法性能的要求，選取M=500個(gè)碼元和N=300個(gè)粒子進(jìn)行處理。如果沒(méi)有特殊說(shuō)明則信噪比為10dB。

首先將經(jīng)過(guò)載頻偏差補(bǔ)償及自適應(yīng)重采樣的粒子濾波算法與文獻(xiàn)[6]中算法在不同狀態(tài)噪聲方差下進(jìn)行對(duì)比。由于文獻(xiàn)[6]的正向檢測(cè)算法，對(duì)時(shí)間延遲失效，因此，這里僅對(duì)的情況進(jìn)行仿真，并采取歸一化最小均方誤差(NMSE)準(zhǔn)則進(jìn)行評(píng)估。時(shí)間延遲kτ的歸一化最小均方誤差可表示為其中，Q表示獨(dú)立實(shí)驗(yàn)的次數(shù)，這里進(jìn)行Q=100次仿真實(shí)驗(yàn)。圖3得到不同信噪比下時(shí)間延遲最小均方誤差估計(jì)?？梢钥吹?，與固定狀態(tài)噪聲方差的方法相比，采用自適應(yīng)重采樣的粒子濾波算法，在相同信噪比條件下最小均方誤差明顯降低。并且信噪比SNR＞10dB時(shí)，都能夠獲得較高的估計(jì)精度。

圖3 自適應(yīng)重采樣與原算法的時(shí)間延遲的均方誤差估計(jì)

然后，考察在不同時(shí)間延遲情況下，本文算法中正向檢測(cè)與反向檢測(cè)的判決分析，即對(duì)圖 2中m1和m2進(jìn)行對(duì)比，并給出時(shí)間延遲估計(jì)結(jié)果和。同樣選擇獨(dú)立實(shí)驗(yàn)次數(shù)Q=100，得到m1、m2、和的100次統(tǒng)計(jì)平均結(jié)果，如表1所示?？梢钥闯觯?dāng)時(shí)間延遲τ≤ 0 .1T、τ≥ 0 .9T或者取值在0.5T附近，都會(huì)使m1和m2較為接近。這時(shí)雖然無(wú)法準(zhǔn)確判斷用正向還是反向?qū)Υa元進(jìn)行檢測(cè)，時(shí)間延遲估計(jì)也不一定準(zhǔn)確，但是對(duì)觀測(cè)信號(hào)進(jìn)行同步并重采樣之后，受到碼間干擾非常小，基本可以忽略，因此對(duì)碼元檢測(cè)沒(méi)有影響。當(dāng)時(shí)間延遲分布在其他區(qū)間時(shí)，根據(jù)m1和m2的大小選擇正確的檢測(cè)方向，并用時(shí)間延遲估計(jì)結(jié)果對(duì)觀測(cè)信號(hào)進(jìn)行補(bǔ)償，可以消除碼間干擾的影響。

圖4 較小時(shí)間延遲估計(jì)結(jié)果對(duì)比

表1 正向檢測(cè)與反向檢測(cè)對(duì)比

最后，分別給出在相同條件下，文獻(xiàn)[6]中算法和本文算法的誤碼率曲線。仿真中采用自適應(yīng)重采樣以及正向、反向碼元檢測(cè)相結(jié)合的方法。碼元長(zhǎng)度M=500，粒子數(shù)量N=300，獨(dú)立實(shí)驗(yàn)次數(shù)Q=100，且每次實(shí)驗(yàn)在(0, T)區(qū)間隨機(jī)產(chǎn)生時(shí)間延遲真值。在接收端對(duì)載頻偏差進(jìn)行補(bǔ)償。由圖5可以看到，由于克服了時(shí)間延遲估計(jì)失效的問(wèn)題，本文算法在性能上明顯優(yōu)于文獻(xiàn)[6]中的算法。

圖5 誤碼率隨信噪比變化曲線

5 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)基于PSK信號(hào)時(shí)間延遲估計(jì)的粒子濾波算法進(jìn)行了深入的研究，并對(duì)原算法進(jìn)行了改進(jìn)。提出一種通過(guò)自適應(yīng)計(jì)算狀態(tài)噪聲方差進(jìn)行粒子重采樣的方法。該方法能夠有效消除狀態(tài)噪聲方差人為設(shè)置過(guò)大或者過(guò)小對(duì)估計(jì)結(jié)果的影響。同時(shí)還提出一種基于碼元反向檢測(cè)的時(shí)間延遲估計(jì)方法。該方法與原方法相結(jié)合，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)于(0,T)范圍內(nèi)時(shí)間延遲的精確估計(jì)。另外，本文考慮載波頻率偏移的影響，利用粒子濾波算法對(duì)其進(jìn)行估計(jì)并補(bǔ)償。通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)證了本文算法的有效性。同時(shí)，該算法還可以應(yīng)用到其他數(shù)字調(diào)制信號(hào)的參數(shù)估計(jì)和碼元檢測(cè)問(wèn)題上，具有較強(qiáng)的推廣價(jià)值。與此同時(shí)，多參數(shù)估計(jì)或者多路碼元序列檢測(cè)問(wèn)題是今后需要解決的問(wèn)題。

[1] MENGALI U, D’ANDREA A N. Synchronization Techniques for Digital Receivers[M]. New York: Plenum, 1997.

[2] DOUCET A, FREITAS N D. Sequential Monte Carlo Methods in Practice[M]. New York: Springer, 2001.

[3] KALMAN R E. A new approach to linear filtering and prediction problems[J]. Journal of Basic Engineering, 1960, 8(2): 35-45.

[4] SALMI J, RICHTER A, KOIVUNEN V. Detection and tracking of MIMO propagation path parameters using state-space approach[J],IEEE Transactions on Signal Processing, 2009, 57(4): 1538-1550.

[5] KANDEEPAN S, EVANS R J. Bias-free phase tracking with linear and nonlinear system[J]. IEEE Transactions on Wireless Communications, 2010, 9(12): 3779-3789.

[6] GHIRMAI T, BUGALLO M, MIGUEZ J. A sequential Monte Carlo method for adaptive blind timing estimation and data detection[J].IEEE Transactions on Signal Processing, 2005, 53(8): 2855-2865.

[7] WANG X, AGGARWAL P. Joint sensor localization and target tracking in sensor networks[J]. IET Radar Sonar and Navigation, 2011,5(3): 225-233.

[8] GUIMARAES A, AIT-EL-FQUIH B, DESBOUVRIES F. A fixed-lag particle smoother for blind SISO equalization of time-varying channels[J]. IEEE Transactions on Wirless Communications, 2010, 9(2):512-516.

[9] DOUCET A, GODSILL S J. On sequential Monte Carlo sampling methods for Bayesian filtering[J]. Statistics and Computing, 2000,10(3): 197-208.

[10] LIU J, CHEN R. Sequential Monte Carlo methods for dynamic systems[J]. Journal of the American Statistical Association, 1998, 93(443):1032-1044.

[11] KITAGAWA G. Monte Carlo filter and smoother for non-Gaussian nonlinear state space models[J]. Journal of Computational and Graphical Statistics, 1996, 5(1): 1-25.

[12] CRISAN D, DOUCET A. A survey of convergence results on particle filtering methods for practitioners[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2002, 50(3):736-746.