利用懸臂梁內(nèi)力圖規(guī)律繪制剛架的內(nèi)力圖

王淑琴

(甘肅工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，甘肅天水 741025)

可以說準(zhǔn)確快速地繪制出靜定剛架的內(nèi)力圖是結(jié)構(gòu)力學(xué)學(xué)習(xí)中的一個基本功，同時也是令師生雙方都感到頭疼的一個難點。大多數(shù)學(xué)生就是由于靜定剛架的彎矩圖沒有很好掌握，給后續(xù)結(jié)構(gòu)位移計算及力法的學(xué)習(xí)帶來困難。

筆者認(rèn)為剛架內(nèi)力圖難以掌握的原因有以下方面:剛架一般是由許多橫豎直桿組成，桿件數(shù)目多。內(nèi)力的計算如果沿用一般教材介紹的截面法，計算繁瑣速度慢，容易出錯。第二個原因是材料力學(xué)中接觸到的梁多數(shù)是水平直桿，只要區(qū)分上側(cè)受拉還是下側(cè)受拉即可。但是剛架彎曲方向多變、桿件受拉側(cè)不易準(zhǔn)確判斷，所以令多數(shù)初學(xué)者感覺眼花繚亂、無從下手，從而導(dǎo)致多數(shù)學(xué)生對剛架內(nèi)力圖的繪制望而生畏。本文介紹一種利用懸臂直梁的內(nèi)力圖特點應(yīng)用于剛架內(nèi)力的計算和內(nèi)力圖的繪制方法。

1 掌握本法需要事先掌握的規(guī)律和技巧

1.1 要快速繪制剛架內(nèi)力圖首先需要掌握規(guī)律法(簡易法)計算直梁內(nèi)力的方法

直梁內(nèi)力圖規(guī)律:梁內(nèi)任一橫截面上的剪力等于該截面一側(cè)與截面平行的所有外力的代數(shù)和，繞截面順轉(zhuǎn)的外力產(chǎn)生正剪力，反之產(chǎn)生負(fù)剪力;梁內(nèi)任一橫截面上的彎矩等于該截面一側(cè)所有外力對該截面形心的力矩的代數(shù)和。至于剛架彎矩圖，土木工程要求畫在受拉側(cè)所以彎矩的符號已不重要，關(guān)鍵要判斷出桿件哪一側(cè)受拉。

1.2 判斷桿件受拉側(cè)的簡便方法——懸臂梁法

把所計算的截面固定起來，另一側(cè)的支座去掉，代替以支座反力(計算截面直桿的一側(cè)就變成懸臂梁)。將每種荷載單獨作用于該梁，觀察梁的變形情況來判斷哪一側(cè)受拉，受拉側(cè)即為凸出的一側(cè)。對于不同側(cè)受拉力矩給予相反的符號。多種荷載同時作用時彎矩的數(shù)值等于各荷載單獨作用于懸臂梁時對該截面產(chǎn)生的力矩之和。表1給出懸臂直梁在常見荷載作用下固定端的內(nèi)力值及固定一端的截面受拉側(cè)的判斷，希望對初學(xué)者有幫助。

說明:如果所受荷載與圖中反向，則剪力符號與表1中相反。彎矩符號根據(jù)實際變形判斷出受拉側(cè)。

2 實例應(yīng)用

1)如圖1所示簡支剛架，將剛架在剛結(jié)點C，D處截開可將該結(jié)構(gòu)分成AC，DB，CD三段。AC，DB就變成圖1a)，圖1b)懸臂梁，把剛連接變成固定端支座。即將靜定梁分為幾段直梁，繪出直梁的彎矩圖匯總于剛架即得剛架彎矩圖。

由平衡方程得:

先計算豎桿:AC段，以C截面為界向下部分為直桿C截面的彎矩剪力可用以上規(guī)律直接看出QCA=－2×6=－12 kN(因為CA上的均布荷載繞C截面逆時針轉(zhuǎn)所以取負(fù)號)。

表1 懸臂直梁在常見荷載作用下固定端的內(nèi)力值及截面受拉側(cè)

圖1 簡支剛架

MCA=2×6×3=36 kN·m。C截面彎矩就等于C截面以下部分荷載對該截面產(chǎn)生的力矩之和，固定C截面觀察AC段的變形可判斷出是左側(cè)受拉。該段的內(nèi)力圖等同于圖1a)懸臂梁，因為C處的剛連接與固定端支座的約束性質(zhì)相同，所以今后對于直桿部分都可將剛結(jié)點變成固定端，將所計算部分改造成懸臂梁，只要熟悉了懸臂梁的內(nèi)力圖，剛架的圖也就不難了。

按此法，QDB=12 kN，MDB=12×6=72 kN·m(右側(cè)受拉)。

對于橫梁CD段的C截面和D截面的彎矩就可利用剛結(jié)點平衡原理∑MC=0，如圖1c)所示。MCD=MCA=36 kN·m(上側(cè)受拉)。

∑MD=0，如圖1d)所示。

MDC=12×6－12=60 kN·m(上側(cè)受拉)。

從CD桿的C截面切開看AC段，與C截面平行的外力為FAY=16 kN，且繞C截面順轉(zhuǎn)所以可得QCD=16 kN;同理，D截面切開看DB段，與D截面平行外力為FBY=24 kN，且繞D截面逆時針轉(zhuǎn)動。故有QDC=－24 kN。只要所取脫離體為直桿，都可用以上方法計算內(nèi)力，判斷符號。運用由梁荷載集度、剪力、彎矩三者的微分關(guān)系確定的內(nèi)力圖規(guī)律即可作出內(nèi)力圖(見圖2)。CD段的彎矩圖要用區(qū)段疊加法繪出。

圖2 內(nèi)力圖

2)再如以下三鉸剛架，也可利用以上方法作出彎矩圖(剪力圖從略)。先計算支座反力(反力方向如圖2所示)。

FAY=60 kN(↓)。

FBY=60 kN(↑)。

FAX=90 kN(←)。

FBX=30 kN(←)。

由于只繪制彎矩圖，故只需計算出水平反力即可。

以DE兩剛結(jié)點為界將剛架分為AD，DE，EB三段。首先計算豎桿DA，EB。兩豎桿的內(nèi)力計算如圖3a)所示。AD段彎矩圖的繪制可參照圖3a)，按照荷載分解成圖兩種情況，彎矩圖按照兩圖疊加。受拉側(cè)的判斷可根據(jù)圖示懸臂梁的變形情況。

圖3 三鉸剛架內(nèi)力分析圖

MDA=20×6×3(左拉)－90×6(右拉)= －180 kN·m(右側(cè)受拉)。

MEB=30×6=180 kN·m(右側(cè)受拉)。

根據(jù)剛結(jié)點D(見圖3c))、剛結(jié)點E(見圖3d))的平衡可得:

MDC=180 kN·m(下側(cè)受拉)。MEC=180 kN·m(上側(cè)受拉)。

根據(jù)內(nèi)力圖規(guī)律繪出最后彎矩圖(見圖4)。

3)剛結(jié)點彎矩圖傳遞規(guī)律。簡支剛架或三鉸剛架一般先計算豎桿的彎矩，再通過結(jié)點的平衡將彎矩傳遞至橫梁。所以如果熟悉剛結(jié)點彎矩傳遞規(guī)律，橫梁部分不用計算，就可直接得出結(jié)果，從而收到事半功倍的效果。

圖4 三鉸剛架彎矩圖（單位：kN·m）

a.兩桿剛結(jié)。剛結(jié)點彎矩可直接傳遞，受拉側(cè)若一端為內(nèi)側(cè)，另一端亦為內(nèi)側(cè);若一端為外側(cè)，另一端亦為外側(cè)，見圖5。b.多桿剛結(jié)。桿端彎矩與力偶荷載代數(shù)和等于零(半鉸接不影響彎矩傳遞)。

圖5 兩桿剛結(jié)

對于懸臂剛架，如圖6所示剛架，可在B，C剛結(jié)處將剛架分為AB，BC，CD三段。AB段只要計算出A支座反力偶矩MAB，應(yīng)用以上方法可快速繪出彎矩圖。

圖6 多桿剛結(jié)

4)鉸接點處。鉸接點彎矩為零(鉸側(cè)有集中力偶作用時，該截面彎矩等于該力偶值)。

3 結(jié)語

總結(jié)以上作內(nèi)力圖的方法如下:

1)先固定剛結(jié)點，以剛結(jié)點為界將剛架分解成若干直桿;

2)用規(guī)律法計算懸臂直桿部分的桿端內(nèi)力;

3)利用剛結(jié)點的平衡，將結(jié)點處的彎矩傳遞至其余桿端;

4)繪出每段梁的內(nèi)力圖，最后合成為剛架的內(nèi)力圖。

在教學(xué)實踐中證明只要作一定量的習(xí)題練習(xí)這種方法很容易被學(xué)生掌握。

[1] 陳大堃，沈倫旭.建筑力學(xué)[M].上海:高等教育出版社，1990:207.