基于雙層規(guī)劃的農(nóng)資供應(yīng)鏈覆蓋率優(yōu)化

張 磊，李 莉，尤建新

（同濟大學(xué) 經(jīng)濟與管理學(xué)院，上海200092）

我國農(nóng)資企業(yè)大多單獨分散經(jīng)營，未形成完善的供應(yīng)鏈，彼此之間缺乏相應(yīng)的聯(lián)系，市場競爭力弱.我國農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和農(nóng)村生活的分散性決定了農(nóng)資產(chǎn)品物流體系的分散性.地域的不同及自然條件的差異，導(dǎo)致農(nóng)業(yè)生產(chǎn)具有明顯的地域性和季節(jié)性特點.農(nóng)村的發(fā)展仍相對落后，在道路交通條件、信息網(wǎng)絡(luò)平臺、商品倉儲能力上都與大城市有很大的差距.基于農(nóng)資行業(yè)特點，一些學(xué)者嘗試將現(xiàn)代物流理論引入農(nóng)資產(chǎn)品流通領(lǐng)域，研究涉及農(nóng)資供應(yīng)鏈工廠選址、網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃、倉儲運輸?shù)确矫?農(nóng)資供應(yīng)鏈工廠選址是供應(yīng)鏈發(fā)展的關(guān)鍵，選址方案就是要分析出工廠數(shù)量、位置和規(guī)模，及物流量在各下游客戶間的分配.國內(nèi)外學(xué)者對工廠選址問題已有大量研究.

Curry和Skeith首先提出選址分配問題，工廠選址問題不僅決定地理位置，還要考慮如何最優(yōu)地把產(chǎn)品配送到物流中心或直接配送到各個需求點［1］.此后，研究者將該問題擴展到多服務(wù)站點、多階段的研究［2－3］，又有學(xué)者將此問題的約束條件加以限制使之更加切合實際.選址分配模型只解決了工廠的位置和規(guī)模，但不能決定工廠的數(shù)量.覆蓋問題可分為集覆蓋問題和最大覆蓋問題兩類.覆蓋問題最早由 Roth［4］和 Toregas等［5］提出，主要應(yīng)用于消防、急救等公共事業(yè).由于集覆蓋問題要求設(shè)施能夠覆蓋所有的需求點，這會造成設(shè)施數(shù)量過大而超過企業(yè)的實際承受能力，Church等［6］提出了最大覆蓋問題.研究者已將最大覆蓋問題改進，將其應(yīng)用于更多不同的情形［7］，目前求解最大覆蓋問題的方法也已很多，但未考慮選址中的競爭問題.即只考慮設(shè)施對被覆蓋點的覆蓋，未考慮被覆蓋點對設(shè)施的選擇.同時考慮競爭和覆蓋的選址問題的研究相對較少.Zvi Drezner等［8］提出逐漸覆蓋問題，并將此概念引入競爭選址問題中.王丹等［9］建立在競爭環(huán)境中基于最大覆蓋模型、考慮價格決策的最大收益模型.目前，競爭選址的研究主要針對價格或距離（或時間），將這兩個因素同時考慮時，還沒有很好的方法確定二者的權(quán)重.何波等［10］考慮最小化總成本以及最大化顧客覆蓋率，建立雙層規(guī)劃模型來設(shè)計逆向物流網(wǎng)絡(luò).雙層規(guī)劃模型的引入使供應(yīng)鏈選址從決策者和客戶雙方利益考慮，提高了客戶服務(wù)水平.

綜上所述，以往論文已分別解決了工廠選址的數(shù)量、位置、規(guī)模和分配這4個方面的問題，但能同時解決這4個方面的模型還很少.本文將選址分配問題和最大覆蓋問題同時引入雙層規(guī)劃模型，并結(jié)合農(nóng)資供應(yīng)鏈的特點來確定農(nóng)資供應(yīng)鏈的工廠數(shù)量、位置、規(guī)模和分配.模型以顧客覆蓋最大為基礎(chǔ)、選址總利潤最大為目標(biāo)，引入時間和距離的敏感度變量反映競爭環(huán)境中客戶在選擇供應(yīng)商時對運輸距離和產(chǎn)品價格的敏感程度，優(yōu)化以往的覆蓋選址問題.

1 問題描述

農(nóng)資供應(yīng)鏈工廠選址問題：農(nóng)資供應(yīng)方的核心企業(yè)總公司擬在全國建立總產(chǎn)能為Q的一個或多個分廠，現(xiàn)僅考慮兩階段的供應(yīng)鏈：從工廠至分銷網(wǎng)絡(luò)中心.現(xiàn)有I個候選廠址，需滿足J個供應(yīng)鏈內(nèi)部客戶——分銷中心的需求.工廠的總數(shù)、投資總額有限制，工廠的利潤與其銷量、年產(chǎn)能、產(chǎn)品市場價格、原材料價格及運營成本有關(guān)，其中工廠年產(chǎn)能受投資額影響，產(chǎn)品市場價格是一個服從某種分布的隨機變量.工廠生產(chǎn)不同產(chǎn)品的工藝高度類似，故可視為單產(chǎn)品選址.原材料及產(chǎn)成品的體積相近，故可統(tǒng)一計算庫存.

考慮到整個市場競爭，候選建廠的地點會有已存在的競爭者（僅考慮分廠與一個產(chǎn)品替代者之間的競爭）.分銷中心對距離和價格的敏感度、分廠與競爭者離分銷中心的距離、分廠與競爭者對分銷中心的供貨價格會影響分銷中心對分成和其競爭者的選擇.

經(jīng)過對上述問題情境的分析，可推斷本問題屬于考慮競爭的覆蓋選址分配問題，其自身特點：①選址，對地理位置己知的備選工廠進行取舍；② 分配，需將分銷商分配到工廠，規(guī)定一個分銷中心的需求可以由多個工廠滿足；③ 競爭，考慮到激烈的市場競爭，本文在選址之初就將競爭者考慮在內(nèi)，以保證新建廠址對競爭者有競爭優(yōu)勢.

2 模型假設(shè)

本文模型基本假設(shè)如下：① 存在若干個備選工廠，分銷中心的位置、數(shù)量及需求已定，因原材料至工廠的運輸費用由供應(yīng)商承擔(dān)，已歸入原材料成本，故可不考慮工廠距供應(yīng)商的距離.本文只研究兩階段的供應(yīng)鏈，即工廠至分銷中心；② 產(chǎn)品需求的概率分布已知，各分銷商的需求不存在相關(guān)性；③ 只考慮一種產(chǎn)品的生產(chǎn)運輸；④ 運輸費用與運輸量成正比，由廠商承擔(dān)；⑤ 每個分銷商可由多個工廠提供產(chǎn)品；⑥ 所建工廠均按設(shè)計產(chǎn)能滿負(fù)荷生產(chǎn)；⑦新建工廠有最大覆蓋距離，若分銷商位于覆蓋范圍以外，則廠商無法向此分銷商提供產(chǎn)品，廠商對客戶的覆蓋率下降，導(dǎo)致服務(wù)水平下降.

3 模型的建立與說明

上層目標(biāo)從決策者的角度出發(fā)，使工廠的總利潤最大，通過收入減去產(chǎn)品成本、初建費用及從備選地點工廠運至分銷商的運輸費用而獲得；下層目標(biāo)從使用者的角度出發(fā)，使工廠在競爭環(huán)境中對分銷商的覆蓋率達(dá)最大，從而提高服務(wù)水平.模型如下：

模型中符號含義如下：U（0），L（0）分別表示上、下層規(guī)劃模型；i為工廠序號，I＝｛i｜i＝1，2，…，I｝為備選工廠集；k為競爭者工廠序號，K＝｛k｜k＝1，2，…，K｝為已有競爭者的工廠集；j為分銷商序號，J＝｛j｜j＝1，2，…，J｝為現(xiàn)有的分銷商集；F為所有新建工廠的總利潤；ps為產(chǎn)品出廠價格，它是一個服從某種分布的隨機變量，可對市場價格進行統(tǒng)計分析，擬合度檢驗得出；v為分銷商能夠被滿足的需求量；pt為單位產(chǎn)品的成本，包括原材料成本、人工成本以及庫存成本等；b為工廠的標(biāo)準(zhǔn)單位產(chǎn)能，設(shè)新建工廠有m種產(chǎn)能選擇，則新建工廠的產(chǎn)能可為0b，1b，2b，…，mb；Yim為0，1變量，當(dāng)在i地點建m個單位產(chǎn)能的工廠時Yim＝1，否則Yim＝0；l為運輸方式的種類，取值可為1、2、3、4，分別表示公路、鐵路、航空、內(nèi)河水路為第l種運輸方式下，i地點的工廠運往第j個分銷中心時的單位運輸費用；Gj為第j個分銷商的需求量；fim為在i地點新建第m種產(chǎn)能的工廠的固定建設(shè)費用；Qi為第i個工廠的產(chǎn)能；B為所有新建工廠的初始投資預(yù)算；Q為所有新建工廠的設(shè)計總產(chǎn)能；N為新建工廠的數(shù)量.qij為0，1變量，當(dāng)分銷商j能被位于i地點的分廠覆蓋時qij＝1，否則qij＝0；dij為i地點的分廠與分銷商j之間的距離；dkj為競爭者分廠k與分銷商j之間的距離；p0為競爭者給分銷商的供貨價格，可通過市場調(diào)查獲得；αj為分銷商j對距離的敏感度，o≤αj≤1，αj越大，表明分銷商j對距離越敏感；βj為分銷商j對價格的敏感度，o≤βj≤1，βj越大，表明分銷商j對價格越敏感；αj＋βj＝1；hij為分銷商j對i地點分廠的決策因子，?j；hij＝αjdij，min＋βjps；hkj為分銷商j對競爭者分廠k的決策因子，hkj＝αjdkj，min＋βjp0，因此

上層規(guī)劃第1項為單位產(chǎn)品出廠價格與總銷量之積，即為所有新建工廠的總利潤.其中總銷量通過下層規(guī)劃對客戶的最大覆蓋量得到.第2項為單位產(chǎn)品總成本與設(shè)計總產(chǎn)能之積，即為所有新建工廠的產(chǎn)品總成本.其中b表示工廠的標(biāo)準(zhǔn)單位產(chǎn)能，設(shè)新建工廠有m種產(chǎn)能選擇，則新建工廠的產(chǎn)能可為0b，1b，2b，…，mb.在i地點的工廠產(chǎn)能為bYi1＋則所有新建工廠的總產(chǎn)能為本文假設(shè)工廠為滿負(fù)荷生產(chǎn)，則所有新建工廠的總產(chǎn)量即.第3項為運輸成本，設(shè)有l(wèi)種運輸方式，表示第l種運輸方式下，i地點的工廠運往第j個分銷中心時的單位運輸費用，則總運輸費用.第4項為所有新建工廠的初建成本，其中fim表示在i地點新建第m種產(chǎn)能的工廠的固定建設(shè)費用，α表示因存在規(guī)模效應(yīng)，隨著產(chǎn)能的增加，固定建設(shè)費用增加量邊際遞減，用α（0＜α＜1）衡量固定建設(shè)費用增加量，因建單位產(chǎn)能的工廠的固定建設(shè)費用為fi1＝kbα［11］，則建有m產(chǎn)能的工廠的固定建設(shè)費用為fim＝k（mb）α＝mαkbα＝mαfi1，因此在i地點新建工廠的固定建設(shè)費用為fim其中.下層規(guī)劃最大化對分銷商的覆蓋，即在考慮了競爭的情況下，最大化分銷商能夠被滿足的需求量.

約束說明：第1個約束保證每個新建工廠的產(chǎn)能不少于分銷商對其需求量.第2個約束保證新建工廠的成本不超過其初始投資預(yù)算.第3個約束保證新建工廠總產(chǎn)能不超過設(shè)計總產(chǎn)能.第4個約束限制新建工廠的數(shù)量.第5個約束為變量的0－1約束.第6個約束保證只有在該地點擬建工廠，才能從該地點為分銷商提供產(chǎn)品.

4 模型求解分析

由于上層模型的目標(biāo)函數(shù)依賴于下層模型的解，而且雙層規(guī)劃模型屬于NP－h(huán)ard問題，因此雙層規(guī)劃模型求解比較困難.另外，由于模型具有非凸性，因此求得的解可能會是局部最優(yōu)解.針對雙層規(guī)劃主要算法有靈敏度分析、模擬退火、支撐函數(shù)法，這些算法的主要問題是計算過程復(fù)雜而且容易陷人局部最優(yōu).辛亞峰采用遺傳算法求解交通網(wǎng)絡(luò)設(shè)計雙層規(guī)劃模型取得了較好的效果［12］，與靈敏度分析法相比此算法具有設(shè)計簡單、全局性好的特點.本文采用遺傳算法求解考慮物流服務(wù)水平的工廠選址雙層規(guī)劃模型具體設(shè)計思路：對上層模型的決策變量進行染色體編碼，通過求解下層模型計算上層模型的適應(yīng)函數(shù)，對上層模型染色體進行復(fù)制、交叉、變異，最終得到最優(yōu)解.

5 實例應(yīng)用

某復(fù)合肥企業(yè)根據(jù)發(fā)展戰(zhàn)略，在整合現(xiàn)有產(chǎn)能的基礎(chǔ)上，重新興建工廠以實現(xiàn)產(chǎn)能的擴大.本文采取雙層規(guī)劃工廠選址模型求解.根據(jù)以往銷售數(shù)據(jù)，現(xiàn)有三個備選工廠：備選工廠1位于山東平原；備選工廠2位于廣西貴港；備選工廠3位于吉林.產(chǎn)品出廠價格ps＝2 500元，競爭者價格p0＝2 500元.運輸方式的種類數(shù)（現(xiàn)暫只考慮汽運）l＝1.工廠的標(biāo)準(zhǔn)單位產(chǎn)能b＝30×104t，產(chǎn)能選擇種類m＝2.單位產(chǎn)品成本pt＝1 600元，所有新建工廠的初始投資預(yù)算B＝25 000萬元，所有新建工廠的設(shè)計總產(chǎn)能Q＝1×106t.新建工廠的最多數(shù)量N＝2.分銷商j對距離的敏感度αj和分銷商j對價格的敏感度βj都為0.5.l＝1，這里只研究汽車運輸方式.

表1 備選工廠與分銷商之間的距離Tab.1 Distance between the optional plants and distributors

競爭者分廠地址選擇方式：山東、江蘇和湖北是全國前三位的復(fù)合肥生產(chǎn)和銷售大省，因此在這3個省中分別選擇了最大的復(fù)合肥生產(chǎn)企業(yè)所在的城市.競爭者工廠1位于山東臨沂，競爭者工廠2位于湖北荊門，競爭者工廠3位于江蘇常州.

5.1 數(shù)據(jù)采集

根據(jù)以往的銷售數(shù)據(jù)和調(diào)研數(shù)據(jù)進行模型數(shù)據(jù)的采集，根據(jù)公司企業(yè)的情況分析，采用基于雙層規(guī)劃的工廠選址模型.選址目標(biāo)從3個備選工廠地址中找出1個或2個用于建廠；備選工廠數(shù)量i＝3，每個備選工廠有一個對應(yīng)的競爭者k＝3，分銷商數(shù)量j＝10.i地點的工廠與分銷商j之間的距離（dij）見表1；競爭者工廠k與分銷商j之間的距離（dkj）見表2；第l種運輸方式，i地點工廠運往第j個分銷中心時單位運輸費用（）見表3；在i地點新建第m種產(chǎn)能的工廠的固定建設(shè)費用（fim）見表4；第j個分銷商的需求量（Gj）見表5.

表2 競爭者工廠與分銷商之間的距離Tab.2 Distance between the plants of competitors and distributors

表3 汽運方式下的單位運輸費用Tab.3 Unit costs of transportation under the way of trucks

表4 備選工廠不同產(chǎn)能的固定建設(shè)費用Tab.4 Fixed construction cost of optional factory with different production capacities

5.2 運行結(jié)果

本模型采用遺傳算法，采用工具 Matlab Version 7.1Service Pack 3進行優(yōu)化求解.交叉概率：0.85，變異概率：0.05，初始種群：30，后代次數(shù)：100.結(jié)果顯示：

表5 分銷商需求量Tab.5 Demand of distributors t

即分銷商1魯南公司、分銷商2魯北公司、分銷商3吉林公司、分銷商4東北公司、分銷商7華中公司、分銷商9華南公司能被備選工廠1山東平原覆蓋，分銷商1魯南公司、分銷商2魯北公司、分銷商4東北公司、分銷商5華東公司、分銷商6中原公司、分銷商8華北公司、分銷商10華西公司可被備選工廠2廣西貴港覆蓋，分銷商3吉林公司、分銷商4東北公司、分銷商6中原公司、分銷商7華中公司、分銷商8華北公司能被備選工廠3覆蓋.

即分銷商1魯南公司、分銷商2魯北公司、分銷商5華東公司、分銷商6中原公司、分銷商10華西公司需求量的一半和分銷商8華北公司的全部需求量被指派給備選工廠2廣西貴港.

決策變量：

即在備選地點2廣西貴港建產(chǎn)能1類的工廠，亦即在廣西貴港建產(chǎn)能30×104t的工廠.

結(jié)果顯示：Fmax＝3.915 5×108，即新建工廠后的總收益為3.915 5×108元.可見模型求解結(jié)果符合實際情況，模型具有實際應(yīng)用意義.

6 結(jié)論

農(nóng)資供應(yīng)鏈工廠選址應(yīng)該注意以下問題：首先，出于利益的考慮，新建工廠要規(guī)劃好總產(chǎn)能以及對分銷商的供貨分配，應(yīng)該以最少的成本實現(xiàn)最大的收益，即實現(xiàn)供應(yīng)鏈總利潤最大.其次，由于農(nóng)資產(chǎn)業(yè)品牌集中度低，新建工廠對顧客的覆蓋率就顯得越發(fā)關(guān)鍵.能覆蓋到更多的顧客就意味著有更大的機會占領(lǐng)市場.第三，由于農(nóng)資產(chǎn)業(yè)競爭激烈，在工廠選址之初就應(yīng)考慮到競爭問題，以保證工廠建成之后能處于優(yōu)勢地位.第四，由于農(nóng)資產(chǎn)品的季節(jié)性特點，在需求旺季，供應(yīng)鏈對顧客需求的響應(yīng)時間極其重要，適當(dāng)縮短運輸距離是節(jié)約時間的最直接方法.因此，本文在解決農(nóng)資供應(yīng)鏈工廠選址問題時應(yīng)用雙層規(guī)劃，上層規(guī)劃保證總利潤最大，下層規(guī)劃保證總顧客覆蓋率最大.決策部門可以通過政策和管理來改變某個新建分廠的位置和物流成本，從而影響客戶對是否從此新建分廠獲得需求做出選擇，但不能控制他們的選擇.客戶則對不同位置的工廠進行比較，根據(jù)不同分廠對自己需求的滿足程度以及其服務(wù)的優(yōu)劣來選擇新建的工廠.彌補了一般選址問題中沒有考慮客戶對處于不同位置工廠進行選擇這一缺陷.同時在下層規(guī)劃時考慮了競爭問題，優(yōu)化了傳統(tǒng)的最大覆蓋選址問題.

在模型的實例應(yīng)用中，確定了備選工廠對分銷商的供貨價格，以后的研究可考慮將價格作為變量得出適合工廠的銷售價格，為備選工廠的定價提供參考.

［1］任鳴鳴.供應(yīng)鏈系統(tǒng)節(jié)點設(shè)施選址研究［D］.武漢：華中科技大學(xué)經(jīng)濟與管理學(xué)院，2008.REN Mingming.Research on facility location of supply chain system node［D］.Wuhan：Huazhong University of Science and Technology，2008.

［2］Geoffrion A M，Graves G W.Multicommodity distribution system design by benders decomposition［J］.Management Science，1974，20：822.

［3］Wesolowsky G O，Truscott W G.The multiperiod locationallocation problem with relocation of facilities［J］.Management Science，1975，22（1）：57.

［4］Roth R.Computer solutions to minimum cover problems［J］.Operation Research，1969（17）：455.

［5］Toregas C，Swain R，ReVelle C，et al.The location of emergency service facilities［J］.Operations Research，1971（19）：1363.

［6］Church R L，ReVelle C.Maximal covering location problem［J］.Papers of the regional Science Association，1974（32）：101.

［7］Revelle C，Scholssberg M，Williams J.Solving the maximal covering location problem with heuristic concentration［J］.Computers ＆Operations Research，2008，35（2）：427.

［8］Zvi Drezner，Wesolowsky G O，Tammy Drezner.The gradual covering problem［J］.Naval Research Logistics，2004（51）：841.

［9］王丹，馬云峰.競爭與合作設(shè)施并存的最大覆蓋選址問題［J］.武漢理工大學(xué)學(xué)報：信息與管理工程版，2010，32（4）：628.WANG Dan，MA Yunfeng.Maximal covering location problem with coexistence of competitive and cooperative facilities［J］.Journal of Wuhan University of Technology：Information ＆Management Engineering，2010，32（4）：628.

［10］何波，楊超.基于成本／服務(wù)權(quán)衡的逆向物流網(wǎng)絡(luò)設(shè)計問題研究［J］.中國管理科學(xué)，2008，16（4）：90.HE Bo，YANG Chao.Trade－Offs between cost and customer service in reverse logistics network design［J］.Chinese Journal of Management Science，2008，16（4）：90.

［11］Manne A.Investments for capacity expansion ［M ］.Cambridge：MIT Press，1967.

［12］XIN Yafeng.Genetic－algorithm－based approach bilevel programming models ［J］.Journal of Transportation Engineering，2000，3：115.