非耗散耦合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)受控同步能力分析

劉歌群 許曉鳴

(上海理工大學(xué)光電信息與計算機工程學(xué)院 上海 200093)

1 引言

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)[1,2]因刻畫了復(fù)雜系統(tǒng)的本質(zhì)特征而成為研究熱點，同步[3,4]作為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)重要的動力學(xué)行為而備受關(guān)注。目前多數(shù)研究工作采用了耗散耦合網(wǎng)絡(luò)模型[3-11]，耗散耦合是網(wǎng)絡(luò)節(jié)點通過狀態(tài)變量之差耦合的一種情況[5]，當(dāng)節(jié)點通過狀態(tài)變量直接耦合時，網(wǎng)絡(luò)就不再是耗散耦合的，如產(chǎn)品價格網(wǎng)絡(luò)，甲產(chǎn)品的價格直接進入乙產(chǎn)品的成本，又如交通網(wǎng)絡(luò)，A路口的車輛直接行駛進入B路口。鑒于非耗散耦合網(wǎng)絡(luò)巨大的應(yīng)用意義[6-10]，其同步問題需要研究。

網(wǎng)絡(luò)在兩種情況下可能取得同步，一是自同步，二是通過控制同步，因此網(wǎng)絡(luò)有兩種同步能力，即自同步能力和受控同步能力。文獻[11]提出了研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步問題的主穩(wěn)定函數(shù)法[11,12]，對于耗散耦合網(wǎng)絡(luò)，文獻[13,14]發(fā)現(xiàn)，當(dāng)同步化區(qū)域為 (- ∞,a1)形無限區(qū)間時，外耦合矩陣第二大特征值越小網(wǎng)絡(luò)同步能力越強，文獻[15]指出，當(dāng)同步化區(qū)域為有限區(qū)間時，外耦合矩陣最小特征值與第二大特征值之比越小，網(wǎng)絡(luò)同步能力越強。這些結(jié)論指的都是耗散耦合網(wǎng)絡(luò)的自同步能力[16]，而對于非耗散耦合網(wǎng)絡(luò)，因為網(wǎng)絡(luò)不可能自同步，所以只能分析它的受控同步[6,7,17]能力。與耗散耦合網(wǎng)絡(luò)的自同步能力相對應(yīng)，非耗散耦合網(wǎng)絡(luò)的耦合強度及外耦合矩陣特征值對網(wǎng)絡(luò)受控同步能力會有什么影響，目前很少看到相關(guān)結(jié)果，為此本文對這一問題進行專門研究。

2 非耗散耦合網(wǎng)絡(luò)模型及預(yù)備知識

考慮如下的線性時不變非耗散耦合復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)：

當(dāng)外耦合矩陣對角線元素非零且滿足矩陣行和為0時，網(wǎng)絡(luò)為耗散耦合網(wǎng)絡(luò)。耗散耦合網(wǎng)絡(luò)外耦合矩陣有且僅有一個重數(shù)為1的0特征根，對應(yīng)的右特征向量為 (1 /) [1,1,… , 1 ]T, 0為最大特征值，對應(yīng)同步流形[3,11,16]。非耗散耦合網(wǎng)絡(luò)與耗散耦合網(wǎng)絡(luò)在結(jié)構(gòu)上的主要區(qū)別在于外耦合矩陣主對角線元素，為了對非耗散耦合網(wǎng)絡(luò)的受控同步能力進行分析，先給出非耗散耦合網(wǎng)絡(luò)外耦合矩陣特征值的分布規(guī)律。設(shè)lmin=lN≤…≤l2≤l1=lmax為H的N個特征值，由矩陣?yán)碚?，有以下結(jié)論。

引理1

利用矩陣?yán)碚摽梢院苋菀椎玫奖疽?。引?1表明，非耗散耦合網(wǎng)絡(luò)外耦合矩陣的特征值有正有負，分布在原點兩側(cè)。

在動態(tài)網(wǎng)絡(luò)式(1)中，當(dāng)t→∞時若x1(t)→x2(t)→ … →xN(t) →s(t)，則稱網(wǎng)絡(luò)達到漸近同步。同步狀態(tài)s(t) ∈Rn為孤立節(jié)點狀態(tài)方程的解，可以是平衡點、混沌軌道或者周期軌道，滿足˙(t)=f(s(t))。

3 非耗散耦合網(wǎng)絡(luò)同步控制律與受控同步能力分析

把網(wǎng)絡(luò)式(1)在同步狀態(tài)s(t)上線性化，令yi(t) =xi(t) -s(t)，得到方程

注釋1式(3)中由于項ckiΓs(t)的存在，若s(t)≠ 0 且節(jié)點i不施加控制，則在yi(t) → 0時˙i(t)→ckiΓs(t) ≠ 0 ，網(wǎng)絡(luò)同步狀態(tài)不穩(wěn)定，所以非耗散耦合網(wǎng)絡(luò)不能自同步。這一點是非耗散耦合網(wǎng)絡(luò)與耗散耦合網(wǎng)絡(luò)在同步能力上的根本區(qū)別，耗散耦合網(wǎng)絡(luò)滿足特定條件[3,4,11-16]時可以自同步，而非耗散耦合網(wǎng)絡(luò)不存在自同步的可能性，只能通過分散控制[6,7]實現(xiàn)同步。

考慮控制律

把控制律式(4)施加于網(wǎng)絡(luò)式(1)得到閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)

注釋2控制律式(4)是一種對消控制，即通過項 -ckiΓs(t)把使得網(wǎng)絡(luò)同步狀態(tài)不穩(wěn)定的因素對消掉。對消控制是控制工程及復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)控制中常見的一種手段[18-20]，因為參數(shù)ki已知，所以控制律式(4)是易行的。由于非耗散耦合網(wǎng)絡(luò)在現(xiàn)實世界中普遍存在，其同步問題異常重要[1,2,6-10,21]，對同步不穩(wěn)定項進行處理是非耗散耦合網(wǎng)絡(luò)同步研究繞不開的問題，控制律式(4)給出了一種可行方法。

注釋3引入 -ckiΓs(t)的網(wǎng)絡(luò)與耗散耦合網(wǎng)絡(luò)并不相同。耗散耦合網(wǎng)絡(luò)通過狀態(tài)變量之差進行耦合的方式，相當(dāng)于每個節(jié)點自動引入 -ckiΓxi(t)，而控制律式(4)給每個節(jié)點引入的是 -ckiΓs(t)，所以網(wǎng)絡(luò)式(5)與常見的受控耗散耦合網(wǎng)絡(luò)[1,3,4,7,14]并不相同，因此本文考慮的是新問題。

注釋4復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)受控同步能力因控制方式而異，控制律不同，網(wǎng)絡(luò)參數(shù)對受控同步能力的影響也不同。控制律式(4)采用了內(nèi)耦合矩陣形式的反饋控制，所以本文分析的網(wǎng)絡(luò)受控同步能力是“內(nèi)耦合形反饋控制意義下的”受控同步能力。之所以選擇內(nèi)耦合形反饋控制，原因有二：一是該反饋形式與網(wǎng)絡(luò)節(jié)點之間的耦合方式相同，反饋陣為cd倍的Γ，與網(wǎng)絡(luò)本身結(jié)構(gòu)特征一致，易于實現(xiàn)且待設(shè)計參數(shù)只有一個，即d；二是該反饋形式非常流行，為已有大多數(shù)文獻所采用，如文獻[1,3,4,11,12,14]。

令D=dIN，特征矩陣G為利用Kronecker積把閉環(huán)網(wǎng)絡(luò)式(5)整理為緊湊形式

易知特征矩陣G為實對稱陣，故存在非奇異陣P∈RN×N使P-1GP=Λ， 其 中Λ=diag(m1,m2,…,mN),mN≤…≤m2≤m1為G的特征值。利用相似變換y(t) = (P?In)η(t)，把網(wǎng)絡(luò)式(7)變換為N個解耦的低維子系統(tǒng)

由文獻[11,16]，使得網(wǎng)絡(luò)式(8)主穩(wěn)定方程系統(tǒng)陣為

定理1當(dāng)?Si?S使c(l1-lN) ＜ai2-ai1時，網(wǎng)絡(luò)式(1)可在控制律式(4)作用下在s(t)取得同步，控制增益d∈ (ai1/c-lN,ai2/c-l1)。

證明由同步化區(qū)域定義及文獻[3,11,13-16]，當(dāng)cmi∈Si,i= 1 ,2,… ,N時受控網(wǎng)絡(luò)式(5)在s(t)取得同步。因G=H+dIN，有mi=li+d,i=1,2,…,N，同步條件變?yōu)閏li+cd∈Si,i= 1,2,… ,N。再由H陣的特征值為實數(shù)，lN和l1分別為最小與最大特征值，可知c(l1-lN)為G陣特征值在實軸上分布范圍的寬度，通過選擇cd可使該范圍在實軸上平移。故當(dāng)c(l1-lN) ＜ai2-ai1時，可通過選d∈(ai1/c-lN,ai2/c-l1)使條件cli+cd∈Si,i=1,2,…,N滿足，從而使受控網(wǎng)絡(luò)式(5)在s(t)取得同步。證畢

注釋5定理1表明，l1-lN越小，非耗散耦合網(wǎng)絡(luò)越容易通過控制取得同步，網(wǎng)絡(luò)同步能力也就越強。

以下考慮孤立同步化區(qū)域包含原點的情況，即0∈Si的情況。

定理2若 ?Si= (ai1,ai2)?S，其中ai1＜0,ai2＞ 0 ，選控制增益d=0，則非耗散耦合網(wǎng)絡(luò)式(1)在控制律式(4)作用下在s(t)取得同步的條件為c＜min(ai1/lN,ai2/l1)。

證明當(dāng)c＜min(ai1/lN,ai2/l1),d=0時，總有(clN+cd,cl1+cd) = (clN,cl1)? (ai1,ai2)，由同步化區(qū)域定義及文獻[3,11,13-16]，受控網(wǎng)絡(luò)式(5)在s(t)取得同步。 證畢

注釋7定理 2表明，當(dāng)孤立同步化區(qū)域包含原點時，非耗散耦合網(wǎng)絡(luò)可以通過耦合強度的縮放實現(xiàn)同步，此時控制律式(4)退化為

控制律式(10)施加于網(wǎng)絡(luò)之后，受控網(wǎng)絡(luò)從形式上看相當(dāng)于耗散耦合網(wǎng)絡(luò)，但由注釋3分析可知，它并不是耗散耦合網(wǎng)絡(luò)。另外這種情況下網(wǎng)絡(luò)參數(shù)對同步能力的影響與耗散耦合網(wǎng)絡(luò)也是不同的。

以下再考慮定理1中Si為無限區(qū)間的情況。

推論1若 ?Si=(- ∞,ai2)?S, - ∞ ＜ai2＜∞，則網(wǎng)絡(luò)式(1)總可在控制律式(4)作用下在s(t)取得同步，控制增益d∈(- ∞,ai2/c-l1)。

證明顯然ai1=-∞，因c,l1,lN為有限值，總有c(l1-lN) ＜ai2-ai1=ai2-(- ∞) =∞ 成立使定理1條件滿足，由定理1可知推論1結(jié)論成立，控 制 增 益d∈ (ai1/c-lN,ai2/c-l1) = (- ∞,ai2/c-l1)。 證畢

注釋8推論1表明，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)包含 (- ∞,a2)型孤立同步化區(qū)域時，其中 - ∞＜a2＜∞，非耗散耦合網(wǎng)絡(luò)總能通過控制取得同步，控制增益最小幅值取決于耦合強度及外耦合矩陣最大特征值。

推論2若 ?Si= (ai1,∞ )?S,- ∞ ＜ai1＜ ∞ ，則網(wǎng)絡(luò)式(1)總可在控制律式(4)作用下在s(t)取得同步，控制增益d∈ (ai1/c-lN, ∞ )。

證明因ai2=∞，與推論 1證明過程類似，可知推論2成立。 證畢

注釋9推論 2表明，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)包含(a1,∞)型孤立同步化區(qū)域時，其中 - ∞＜a1＜∞，非耗散耦合網(wǎng)絡(luò)總能通過控制取得同步，控制增益最小幅值取決于耦合強度及外耦合矩陣最小特征值。

4 仿真分析

已知Lorenz系統(tǒng)[23]節(jié)點動力學(xué)方程為

該系統(tǒng)的混沌軌道見圖 1。 利用 Lorenz系統(tǒng)構(gòu)成20節(jié)點非耗散耦合小世界網(wǎng)絡(luò)[24]見圖2。

圖1 Lorenz振子 x i 1 -x i 3相軌跡曲線圖

圖2 網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)

設(shè)內(nèi)耦合矩陣為已知同步化區(qū)域S=(-5 2,- 2 4)，外耦合矩陣特征值lN=- 2 .8602,l1= 4 .1096。

選c=0.1,d=- 5 00時網(wǎng)絡(luò)同步曲線如圖3所示，選c=1,d=- 3 8時網(wǎng)絡(luò)同步曲線如圖4所示，選c=4,d=-1 0.13時網(wǎng)絡(luò)同步曲線如圖5所示，選c=10,d=-4時網(wǎng)絡(luò)同步曲線如圖6所示。

由同步化區(qū)域范圍可知，本例中0?S。根據(jù)定理1，耦合強度c=0.1時控制增益范圍為(-517.198,-244.1096)，耦合強度c=1時控制增益范圍為(- 4 9.1398,- 2 8.1096)，耦合強度c=4時控制增益范圍為(- 1 0.1398,- 1 0.1096)，耦合強度c=10時控制增益范圍為?。圖3～圖5中，控制增益選在范圍之內(nèi)，網(wǎng)絡(luò)都取得了同步，而圖6由于c=10時定理1條件不能滿足，網(wǎng)絡(luò)不能同步。從所計算的控制增益范圍可以看出，當(dāng)耦合強度較小即c=0.1時，控制增益的絕對值比較大，為350左右，而隨著耦合強度從c=0.1增大到c=1再增大到c=4，控制增益的絕對值也從 350左右減小到 35左右再減小到10左右，由此說明隨著耦合強度的增大，網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)同步控制所需要的控制增益絕對值越來越小。在c= 4 時，控制增益范圍比較小，這種情況下受控網(wǎng)絡(luò)同步過程較慢(見圖5)。

圖3 網(wǎng)絡(luò)同步曲線(c=0.1,d =-5 00)

5 結(jié)論

圖4 網(wǎng)絡(luò)同步曲線(c=1,d =-3 8)

圖5 網(wǎng)絡(luò)同步曲線(c=4,d =-1 0.13)

圖6 網(wǎng)絡(luò)同步曲線(c=10,d=-4)

非耗散耦合網(wǎng)絡(luò)在現(xiàn)實中普遍存在，但其同步問題的報道并不多見。從本文分析可知，非耗散耦合網(wǎng)絡(luò)不能自同步，其同步能力要從受控同步的角度進行分析，這一點恰是非耗散耦合網(wǎng)絡(luò)同步問題的特殊性。本文研究了非耗散耦合網(wǎng)絡(luò)“在內(nèi)耦合形反饋控制意義下的”同步能力。研究發(fā)現(xiàn)，非耗散耦合網(wǎng)絡(luò)的受控同步能力與耗散耦合網(wǎng)絡(luò)的自同步能力不同，耦合強度越小，網(wǎng)絡(luò)通過控制取得同步的可能性越大，但在同步化區(qū)域不包含原點的情況下所需要的控制增益絕對值也越大。此外，外耦合矩陣最大最小特征值之差越小，網(wǎng)絡(luò)受控同步能力越強，這一點與I型及II型耗散耦合網(wǎng)絡(luò)[13-16]的自同步能力規(guī)律也是不同的。非耗散耦合網(wǎng)絡(luò)與耗散耦合網(wǎng)絡(luò)同步能力上的差異源于外耦合矩陣特征值的分布規(guī)律，正如引理1所述，非耗散耦合網(wǎng)絡(luò)外耦合矩陣的特征值分布在原點兩側(cè)，不象耗散耦合網(wǎng)絡(luò)那樣分布在原點及負實軸上，所以網(wǎng)絡(luò)同步能力對外耦合矩陣最大最小特征值及耦合強度的依賴性不同。本文研究結(jié)論對于非耗散耦合網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建具有參考意義，該結(jié)論指明，如何選擇網(wǎng)絡(luò)參數(shù)可使網(wǎng)絡(luò)所需同步控制增益幅值更小、能耗更低，可使網(wǎng)絡(luò)更容易通過控制取得同步。

[1]郭雷, 許曉鳴(主編). 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)[M]. 上海: 上?？萍冀逃霭嫔? 2006: 1-20.

Guo Lei and Xu Xiao-ming. Complex Networks[M]. Shanghai:Shanghai Scientific & Technological Education Publishing House, 2006: 1-20.

[2]Dorogovtsev S N. Lectures on Complex Networks[M]. Oxford:Clarendon Press, 2010: 1-15.

[3]Chen Guan-rong, Wang Xiao-fan, Li Xiang,et al.. Some Recent Advances in Complex Networks Synchronization. In:Kyamakya K. Recent Advances in Nonlinear Dynamics and Synchronization[M]. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2009:3-16.

[4]Delellis P, Bernardo M, Gorochowski E,et al..Synchronazation and control of complex networks via contraction, adaption and evolution[J].IEEE Circuits and Systems Magazine, 2010, 10(3): 64-82.

[5]Sepulchre J A and Babloyantz A. Controlling chaos in a network of oscillators[J].Physical Review E, 1993, 48(2):945-950.

[6]Siljak D D and Zecevic A I. Control of large-scale systems:beyond decentralized feedback[J].Annual Reviews in Control,2005, 29(2): 169-179.

[7]Duan Zhi-sheng, Wang Jin-zhi, Chen Guan-rong,et al..Stability analysis and decentralized control of a class of complex dynamical networks[J].Automatica, 2008, 44(4):1028-1035.

[8]Liu Hui, Lu Jun-an, Lv Jin-hu,et al.. Structure identification of uncertain general complex dynamical networks with time delay[J].Automatica, 2009, 45(8): 1799-1807.

[9]Yao Jing, Guan Zhi-hong, and Hill D J. Passivity-based control and synchronization of general complex dynamical networks[J].Automatica, 2009, 45(9): 2107-2113.

[10]Xu Yu-hua, Zhou Wu-neng, Fang Jian-an,et al.. Structure identification and adaptive synchronization of uncertain general complex dynamical networks[J].Physics Letters A,2009, 374(2): 272-278.

[11]Pecora L M and Carroll T L. Master stability functions for synchronization coulped systems[J].Physical Review Letters,1998, 80(10): 2109-2112.

[12]Sorrentino F and Porfiri M. Analysis of parameter mismatches in the master stability function for network synchronization[J].Europhysics Letters, 2011, 93(5): 50002.

[13]Wang X F and Chen G. Synchronization in scale-free dynamical networks: robustness and fragility[J].IEEE Transactions on Circuits&SystemsI, 2002, 49(1): 54-62.

[14]Wang Xiao-fan and Chen Guan-rong. Pinning control of scale-free dynamical networks[J].Physica A, 2002, 310(3,4):521-531.

[15]Barahona M and Pecora L M. Synchronization in Small-World Systems[J].Physical Review Letters, 2002, 89(5):054101.

[16]Chen Yong-hong, Rangarajan G, and Ding Ming-zhou.General stability analysis of synchronized dynamics in coupled systems[J].Physical Review E, 2003, 67(2): 026209.

[17]Liu Yang-yu, Slotine J J, and Barabasi A L. Controllability of complex networks[J].Nature, 2011, 473(7346): 167-173.

[18]Fan Chun-xia, Jiang Guo-ping, and Jiang Feng-hua.Synchronization between two complex dynamical networks using scalar signals under pinning control[J].IEEE Transactions on Circuits And SystemsI, 2010, 57(11):2991-2998.

[19]Hu Cheng, Yu Juan, Jiang Hai-jun,et al.. Synchronization of complex community networks with nonidentical nodes and adaptive coupling strength[J].Physics Letters A, 2011, 375(5):873-879.

[20]Wu Jian-she, Jiao Li-cheng, and Chen Guan-rong. Cluster synchronization in a network of non-identical dynamic systems[J].Chinese Physics B, 2011, 20(6): 060503.

[21]龔美靜, 瞿少成, 王曉燕. 一種通過異結(jié)構(gòu)同步實現(xiàn)混沌保密通信新方法[J]. 電子與信息學(xué)報, 2009, 31(6): 1442-1444.

Gong Mei-jing, Qu Shao-cheng, and Wang Xiao-yan. A novel method of realizing chaotic secure communication by synchronization of different structure[J].Journal of Electronics&Information Technology, 2009, 31(6):1442-1444.

[22]Duan Zhi-sheng, Chen Guan-rong, and Huang Lin.Disconnected synchronization regions of complex dynamical networks[J].IEEE Transactions on Automatic Control, 2009,54(4): 845-849.

[23]Lorenz E N. Deterministic nonperiodic flow[J].Journal of the Atmospheric Siences, 1963, 20: 130-141.

[24]Watts D J and Strogatz S H. Collective dynamics of small-world networks[J].Nature, 1998, 393(6684): 440-442.