基于非瞬時支鏈位形設計的并聯(lián)機構內部奇異消除方法研究

劉延斌 李志松 韓建海

河南科技大學，洛陽，471003

0 引言

奇異位形是機構的工作空間中存在無法運動或瞬時運動無法確定的位形。在奇異位形附近，機構的剛度、精度等性能指標都會變差。相對于串聯(lián)機構來說，并聯(lián)機構的奇異位形更為豐富、復雜，因此如何規(guī)避或消除奇異是并聯(lián)機構研究領域的一個難題。冗余驅動方法是目前提出的減少或消除奇異的一種有效方法。該方法通常是在正常機構的基礎上將一部分被動關節(jié)變?yōu)橹鲃雨P節(jié)，或者在保證機構自由度不變的前提下，增加新的支鏈，并在該支鏈上引入冗余驅動［1］。前者雖然簡單，但由于在被動關節(jié)上添加驅動器會增大系統(tǒng)的慣性或質量，從而影響機構的動力學性能；后者由于引入新的支鏈，無疑也增加了機構的復雜性，但該方法可以較容易地將驅動器安裝在固定基座上，可保證機構的對稱性，并能解決運動學正解的多解性問題，所以通過引入新支鏈的冗余驅動方法更具優(yōu)越性。

目前，人們的研究主要集中在冗余驅動并聯(lián)機構所具有的性能、性能評估、驅動力優(yōu)化、基本原理，以及基于某些性能的結構參數(shù)優(yōu)化設計方面［2－13］。然而對如何從機構方面設計性能最優(yōu)的冗余驅動機構關注的卻不多。對于第二種冗余驅動方法來說，引入何種結構形式的支鏈，如何布置冗余支鏈，如何最少地引入支鏈來消除奇異等關鍵問題，目前的文獻幾乎都沒有系統(tǒng)地加以闡述和解決。

本文依據(jù)螺旋理論提出了一種基于非瞬時支鏈位形設計的并聯(lián)機構內部奇異消除方法，然后以3－RRR型、4－RPTR型和3－RRRT型并聯(lián)機構為例闡述了該方法的設計過程。

1 并聯(lián)機構奇異位形的分類及特點

1.1 約束奇異

根據(jù)螺旋理論，并聯(lián)機構的每一支鏈對其動平臺都會有一個或多個約束螺旋（六自由度并聯(lián)機構除外）。若這些力螺旋的獨立個數(shù)為r，則并聯(lián)機構的自由度為6－r，而當機構處于某些特殊位形時，這些力螺旋的獨立個數(shù)降為s（s＜r），此時并聯(lián)機構發(fā)生約束奇異。該奇異位形可能發(fā)生在工作空間內部，也可能發(fā)生在工作空間邊界。

1.2 驅動奇異

正常情況下，并聯(lián)機構的每一支鏈對其動平臺都會有一個驅動螺旋，如果約束螺旋不降秩，而所有驅動螺旋和約束螺旋合在一起的秩小于6時，并聯(lián)機構發(fā)生驅動奇異。該奇異位形大多發(fā)生在工作空間內部，對并聯(lián)機構性能影響較大。

1.3 支鏈奇異

并聯(lián)機構在某些特殊位形下，若支鏈中的驅動螺旋與驅動關節(jié)的運動螺旋互易積為零，則機構發(fā)生支鏈奇異，此時支鏈對動平臺產(chǎn)生新的約束螺旋，動平臺將失去某些自由度。支鏈奇異一般發(fā)生在工作空間邊界，因此對并聯(lián)機構性能影響不太大。

綜上所述，約束奇異和驅動奇異位形一般發(fā)生在工作空間內部，不易規(guī)避，對并聯(lián)機構的性能影響最為嚴重，這里暫且將這兩類奇異稱為內部奇異。支鏈奇異位形大多發(fā)生在工作空間邊界，容易規(guī)避，對機構性能影響不是很大，所以本文主要研究約束奇異和驅動奇異位形的消除方法，而對支鏈奇異暫不考慮。

2 基于非瞬時支鏈位形設計的并聯(lián)機構內部奇異消除

根據(jù)螺旋理論，約束奇異和驅動奇異難以消除的主要原因是約束螺旋和驅動螺旋的位形變化復雜、難以把握，其秩得不到有效控制。因此在整個工作空間內，如果我們能夠使一部分支鏈約束螺旋和驅動螺旋的位形具有確定性或可控性，那么就可以有目標地消除部分甚至全部的奇異位形?；谶@個思路，我們提出一種基于非瞬時支鏈位形設計的并聯(lián)機構內部奇異消除方法，該方法具體步驟如下：

（1）分析機構約束奇異和驅動奇異位形。

（2）引入新支鏈，使其與原支鏈的驅動螺旋和約束螺旋保持相對確定的位形。引入新支鏈應遵循如下兩個原則：①使新引入的每一支鏈的驅動螺旋和原機構中一個或更多支鏈的驅動螺旋保持某種確定位形，或是相交，或是保持空間關系（不相交也不平行）；②新支鏈的約束螺旋與所有原支鏈的約束螺旋相關，即不能改變動平臺的自由度數(shù)目。

（3）根據(jù)原機構的奇異位形合理布置新支鏈，以最大限度地消除內部奇異為目標確定所需最少支鏈個數(shù)。

下面以三種典型的并聯(lián)機構作為設計實例，闡述該方法的具體實施過程。

2.1 3－RRR并聯(lián)機構的內部奇異消除

圖1所示為一種經(jīng)典實用的3－RRR型平面三自由度（沿X軸、Y軸的平動和繞Z軸的轉動）并聯(lián)機構。與基座連接的3個R副為驅動關節(jié)，當不發(fā)生支鏈奇異時，每一支鏈對動平臺均有3個約束螺旋和1個驅動螺旋，如圖2所示，其中，＄f為約束力矢，、為2個約束力偶，＄a為驅動螺旋。當支鏈奇異時，驅動螺旋消失，支鏈對動平臺會存在4個約束螺旋，其中，＄fn為增加的約束力矢，如圖3所示。

圖1 3－RRR并聯(lián)機構

圖2 一般位形下的RRR支鏈

圖3 支鏈奇異位形下的RRR支鏈

圖4 3－RRR并聯(lián)機構的驅動奇異位形

圖5 RPR支鏈

按照上述非瞬時支鏈位形設計方法，將RPR支鏈驅動螺旋與原支鏈的驅動螺旋保持空間關系，即兩端的R副同軸。當不發(fā)生支鏈奇異時，、既不平行也不共面，并使RPR支鏈的約束螺旋與原支鏈的約束螺旋相關，如圖6所示，其中虛線部分表示的是新引入的支鏈。RPR支鏈在原機構中的布置如圖7所示。

圖6 RPR支鏈與RRR支鏈的聯(lián)結

圖7 引入RPR支鏈后的機構

由圖7b可以看出，A、B應分別是兩對驅動螺旋在XY面內投影的2個交點。當RRR支鏈不發(fā)生支鏈奇異時，A、B兩處的交點位置不會改變，此時圖4所示的驅動奇異位形將不會存在。

2.2 4－RPTR并聯(lián)機構的內部奇異消除

圖8所示的4－RPTR并聯(lián)機構［14］有4個自由度（沿X軸、Y軸、Z軸的平動和繞Y軸的轉動），其中，4個P副為驅動關節(jié)。當不發(fā)生支鏈奇異時，每一支鏈對動平臺均有1個約束力偶＄r和1個驅動螺旋＄a，如圖9所示。當支鏈奇異時，驅動螺旋消失，支鏈對動平臺會存在1個約束力偶＄r和1個新增約束力矢＄fn，如圖10所示。

圖8 4－RPTR并聯(lián)機構

圖9 RPTR支鏈

圖10 RPTR支鏈奇異位形

圖11a所示為動平臺和基平面重合時出現(xiàn)的位形。當所有驅動螺旋共面且平行于XY平面時，動平臺沿直線L1的平動和繞直線L2的轉動將失控。

圖11b中，所有驅動螺旋共點，此時必存在一條平行于Y軸的直線L通過該交點，動平臺繞直線L的轉動將失控。

圖11c中，所有驅動螺旋與一條平行于Y軸的直線L同時相交。此時動平臺繞直線L的轉動將失控。

圖11d中，驅動螺旋兩兩相交，且兩對相交螺旋所分別構成的兩個平面相交，此時，動平臺繞直線L的轉動將失控。

圖11e中，所有驅動螺旋同時垂直于一條直線L。此時，動平臺沿直線L的平動將失控。

圖11f中，所有驅動螺旋空間平行，即同時垂直于一個平面P。此時，動平臺沿平面P的平動將失控。

圖11 4－RPTR并聯(lián)機構可能的驅動奇異位形

為消除圖11所示的可能奇異位形，我們引入了2條與原支鏈結構的相同的RPTR支鏈，P副仍為驅動關節(jié)，同樣按照非瞬時支鏈位形設計方法，將引入的RPTR支鏈驅動螺旋與原支鏈的驅動螺旋保持相交關系，而其約束螺旋與原支鏈約束螺旋相關，如圖12所示，其中，虛線部分表示的是新引入的支鏈。引入的RPTR支鏈在原機構中的布置如圖13所示。

圖12 引入的RPTR支鏈與原支鏈的聯(lián)結

由圖13可以看出，驅動螺旋和，以及和必相交于T1副、T2副的形心（T1副由R2副和R3副構成，T2副由R7副和R8副構成）。T1副、T2副形心不落在基平面上時，這種位形會一直保持。所以當動平臺和基平面不重合且不發(fā)生支鏈奇異時，引入新支鏈處的2個T副不會重合在一起，因此圖11b所示的奇異位形不會出現(xiàn)。

圖13 引入RPTR支鏈后的機構

當動平臺和基平面不重合且不發(fā)生支鏈奇異時，過T1副、T2副形心的直線L1永遠不會平行Y軸，因此圖11c所示的奇異位形不會出現(xiàn)。

當動平臺和基平面重合時，圖11a所示的奇異位形卻不能避免。

2.3 3－RRRT并聯(lián)機構的內部奇異消除

圖14所示為一種3－RRRT型三平移并聯(lián)機構［15］，基平面上的3個R副為驅動關節(jié)。當不發(fā)生支鏈奇異時，每一支鏈對動平臺均有1個約束力偶＄r和1個驅動螺旋＄a，如圖15所示。當支鏈奇異時，驅動螺旋消失，支鏈對動平臺會存在1個約束力偶＄r和1個新增約束力矢＄fn，其奇異位形有兩種，如圖16所示。

圖14 3－RRRT并聯(lián)機構

圖15 RRRT支鏈

圖16 RRRT支鏈奇異位形

支鏈對動平臺的3個約束力偶在工作空間內可能出現(xiàn)如圖17所示的兩種位形。圖17a所示的是所有約束力偶平行于XY平面，此時支鏈對動平臺繞直線L的轉動將失去約束。圖17b中，所有約束力偶平行于Z軸，此時動平臺繞平面P上所有直線的轉動都將失去約束。

圖17 3－RRRT并聯(lián)機構約束奇異位形

3－RRRT并聯(lián)機構在工作空間內除動平臺和基平面重合外，還可能出現(xiàn)如圖18所示的三種奇異位形。

圖18 3－RRRT并聯(lián)機構的三種奇異位形

圖18a所示的位形下，所有約束力偶都平行于XY平面，且所有驅動螺旋皆位于平行于XY平面的同一平面內，這些驅動螺旋可能不共點或共點。當不共點時，動平臺沿直線L的平動將失控，如圖19a所示。當共點時，動平臺繞直線L的轉動將失去約束，動平臺沿直線L的平動也將失控，機構同時產(chǎn)生約束奇異和驅動奇異，如圖19b所示。

在圖18b所示的位形下，所有約束力偶和驅動螺旋同時平行于Z軸，此時動平臺繞平面P上所有直線的轉動都將失去約束，動平臺沿平面P的平動也將失控，機構同時產(chǎn)生約束奇異和驅動奇異，如圖19c所示。

圖18c所示的位形下，3個約束力偶不相關，但所有驅動螺旋平行，此時動平臺沿平面P的平動將失控，如圖19d所示。

圖19 3－RRRT并聯(lián)機構可能的奇異位形示意圖

為消除圖19所示的奇異位形，我們引入了1條TPT支鏈，P副為驅動關節(jié)，如圖20所示，＄r為約束力偶，＄a為驅動螺旋，TPT支鏈不會產(chǎn)生支鏈奇異。同樣，按照非瞬時支鏈位形設計方法，將TPT支鏈驅動螺旋與原支鏈的驅動螺旋保持空間關系，如圖21a所示，即兩端的R副同軸。當動平臺和基平面不重合且不發(fā)生支鏈奇異時，、＄既不平行也不共面，而且保證θ≠0（如圖21b所示，θ為兩R副軸線的空間夾角）。因此TPT支鏈的約束力偶與原支鏈的3個約束力偶組成的力偶系的秩必為3，其中虛線部分表示的是新引入的支鏈。TPT支鏈在原機構中的布置如圖22所示。

圖20 TPT支鏈

圖21 TPT支鏈與RRRT支鏈的聯(lián)結

圖22 引入TPT支鏈后的機構

由于引入TPT支鏈后，所有支鏈對動平臺的約束力偶的秩恒為3，因此當動平臺和基平面不重合且不發(fā)生支鏈奇異時，不會再產(chǎn)生如圖17所示的約束奇異。又因為TPT支鏈驅動螺旋＄a1與原支鏈的驅動螺旋既不平行也不共面（圖21），所以如圖19所示的驅動奇異位形也不會出現(xiàn)。

3 結語

本文提出了一種基于非瞬時支鏈位形設計的并聯(lián)機構奇異消除方法，目的是消除約束奇異和驅動奇異兩種內部奇異位形。以3－RRR型、4－RPTR型和3－RRRT型并聯(lián)機構為例，系統(tǒng)闡述了該方法的設計過程。結果表明，利用該方法能避免除動平臺和基平臺重合的特殊位形以外的所有內部奇異位形。通過該方法能夠較容易確定所引入支鏈的結構形式、布置方式和最少支鏈個數(shù)。

［1］Brien J F O，Wen J T.Redundant Actuation for Improving Kinematic Manipulability［C］//IEEE International Conference on Robotics and Automation（ICRA）.Piscataway，NJ，USA，1999：1520－1525.

［2］Ebrahimi I，Carretero J A，Boudreau R.3－PRRR Redundant Planar Parallel Manipulator：Inverse Displacement，Workspace and Singularity Analyses［J］.Mechanism and Machine Theory，2007，42（8）：1007－1016.

［3］Tosi D，Legnani G，Pedrocchi N，et al.Cheope：A New Reconfigurable Redundant Manipulator ［J］.Mechanism and Machine Theory，2010，45（4）：611－626.

［4］Zhao Y J，Gao F.Dynamic Formulation and Performance Evaluation of the Redundant Parallel Manipulator［J］.Robotics and Computer－Integrated Manufacturing，2009，25（4/5）：770－781.

［5］Wang L P，Wu J，Wang J S.Dynamic Formulation of a Planar 3－DOF Parallel Manipulator with Actuation Redundancy［J］.Robotics and Computer－Integrated Manufacturing，2010，26（1）：67－73.

［6］Nokleby S B，F(xiàn)isher R，Podhorodeski R P，et al.Force Capabilities of Redundantly－actuated Parallel Manipulators［J］.Mechanism and Machine Theory，2005，40（5）：578－599.

［7］Zhu Z S，Dou R L.Optimum Design of 2－DOF Parallel Manipulators with Actuation Redundancy［J］.Mechatronics，2009，19（5）：761－766.

［8］Garg V，Nokleby S B，Carretero J A.Wrench Capability Analysis of Redundantly Actuated Spatial Parallel Manipulators［J］.Mechanism and Machine Theory，2009，44（5）：1070－1081.

［9］張立杰，李永泉.一種冗余驅動并聯(lián)機器人機構工作空間及奇異的研究［J］.中國機械工程，2009，20（23）：2787－2790.

［10］張彥斐，宮金良，高峰.冗余驅動消除并聯(lián)機構位形奇異原理［J］.中國機械工程，2006，17（5）：445－448.

［11］白志富，韓先國，陳五一.冗余驅動消除并聯(lián)機構奇異研究［J］.航空學報，2006，27（4）：733－736.

［12］韓先國，陳五一，郭衛(wèi)東.采用冗余驅動提高并聯(lián)機床精度的研究［J］.航空學報，2002，23（5）：487－490.

［13］劉欣，仇原鷹，盛英，等.平面冗余并聯(lián)機器人的綜合性能優(yōu)化設計［J］.西南交通大學學報，2008，43（5）：626－632.

［14］劉延斌，張書濤，韓建海，等.一種新型4－RPTR并聯(lián)機構及運動學分析［J］.中國機械工程，2010，21（23）：2812－2815.

［15］劉延斌，賈現(xiàn)召，趙新華.3－RRRT并聯(lián)機器人動力學建模及其正向求解［J］.哈爾濱工業(yè)大學學報，2009，41（5）：238－240.