一類分數(shù)階微分方程多點邊值問題解的存在唯一性

吳婷，顧長超

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一類分數(shù)階微分方程多點邊值問題解的存在唯一性

吳婷，顧長超

（安徽大學 數(shù)學科學學院，安徽 合肥 230039）

Caputo導數(shù)；邊值問題；Green函數(shù)；不動點定理；存在性；唯一性

1 預備知識

利用不動點定理研究非線性分數(shù)階微分方程多點邊值問題

下面給出分數(shù)階微分方程的Green函數(shù).

有唯一解：

其中

式（3）稱作邊值問題（2）的Green函數(shù).

證明 由引理1和引理2，先將式（2）轉(zhuǎn)化成等價的積分方程

因此，式（2）的唯一解是

引理4 式（3）給出的Green函數(shù)滿足下列性質(zhì)：

2 主要結(jié)果

首先，給出以下條件：

為方便引入下面的記號

則有下面的結(jié)論：

從而得到

同時有

因此

由范數(shù)的定義得

從而有

從而有

因此

第二個結(jié)果是利用壓縮映像原理得到邊值問題（1）解的唯一性的一個充分條件：

同時有

由壓縮映像原理可知，邊值問題（1）有唯一解.

3 舉例

例1 考慮如下邊值問題

例2 考慮如下邊值問題

顯然式（6）滿足定理2的條件，于是有

由定理2，邊值問題（5）有唯一解.

[1]葛渭高. 非線性常微分方程邊值問題[M]. 北京：科學出版社，2007.

[2]KILBAS A A, SRIVASTAVA H M, TRUJILLO J J. Theory and applications of fractional differential equations[M]. Amsterdam: Elsevier Science B V, 2006.

[3]朱彥，李鑫. 一類非線性分數(shù)階微分方程三點邊值問題的解[J]. 黑龍江科技學院學報，2012, 22: 93-97.

[4]許曉婕，孫新國，呂煒. 非線性分數(shù)階微分方程邊值問題正解的存在性[J]. 數(shù)學物理學報，2011, 31: 401-409.

[5] BAI Zhanbing. On positive solutions of a nonlocal fractional boundary value problem[J]. Nonlinear Analysis, 2010, 72: 916-924.

[6] REHMAN MU, KHAN R A. Existence and uniqueness of solutions for multi-point boundary value problems for fractional differential equations[J]. Applied Mathematics Letters, 2010, 23: 1038-1044.

[7]BAI Zhanbing, ZHANG Yinghan. The existence of solutions for a factional multi-point boundary value problem[J]. Applied Mathematics and Computation, 2010, 60: 2364-2372.

[8]EL-SHAHED M, NIETO J J. Nontrivial solutions for a nonlinear multi-point boundary value problem of fractional order[J]. Computers and Mathematics with Applications, 2010, 59: 3438-3443.

Existence and Uniqueness of Solutions for a Class of Multi-point Boundary Value Problems in Fractional Differential Equations

WUTing, GUChang-chao

(School of Mathematical Sciences, Anhui University, Hefei 230039, China)

The paper is concerned with the existence and uniqueness of solutions for a class of multi-point boundary value problems of fractional differential equations by the use of the Schauder fixed point theorem and the contraction mapping principle. Two examples are given to illustrate the results at the end.

Caputo derivative; boundary value problem; Green function; fixed point theorem; existence; uniqueness

1006-7302（2012）03-0028-07

O175.8

A

2012-03-12

教育部博士點基金資助項目（20113401110001）.

吳婷（1988—），女，安徽省安慶人，在讀碩士生，研究方向為微分方程.