變分法在測控設(shè)備軍事效益分析中的應(yīng)用＊

朱澤鋒 蔣 敏 張 偉

（91913部隊 大連 116041）

1 問題的提出

測控技術(shù)一般是指對工業(yè)生產(chǎn)過程及其機(jī)電設(shè)備進(jìn)行測量與控制的自動化技術(shù)，是計算機(jī)技術(shù)與自動控制技術(shù)相結(jié)合的產(chǎn)物，測控設(shè)備則是用來實現(xiàn)測控技術(shù)的設(shè)備，其工作特點(diǎn)主要表現(xiàn)為實時性，即信號的輸入、計算、輸出都要在一定的時間間隔內(nèi)完成，計算機(jī)對輸入信號能以足夠快的速度進(jìn)行控制，以達(dá)到實時控制決策的目的。測控設(shè)備在當(dāng)前軍事領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用，主要表現(xiàn)為用來測量飛行目標(biāo)的角度、速度、內(nèi)部溫度、壓力等信息，其軍事效益也越來越得到更多的體現(xiàn)。如何來分析和計算測控設(shè)備的軍事效益，使其得到最大的價值體現(xiàn)，為了解決這一問題，文章主要運(yùn)用變分法模型來分析和應(yīng)用。

為了更好的介紹變分法模型，我們先來看下面一個例題：

若某一關(guān)于x的函數(shù)為y＝y(tǒng)（x），時間t是y（x）的函數(shù)，且表達(dá)式如式（1）所示［1］：

那么，y（x）的表達(dá)式滿足何種關(guān)系時，t＝J（y（x））可以取得最小值？即使得：t＝J（y（x））＝mint。由于y（x）是未知的，可以是一線性表達(dá)式，也可以是二次函數(shù)，但是要使得t＝J（y（x））取得最小值，其表達(dá)式該滿足何種條件？對我們來說是相當(dāng)于一個需要解密的“黑匣子”，我們可以將這一解密過程理解為一動態(tài)的過程控制，通過這一控制來達(dá)到最優(yōu)化的目的。測控設(shè)備的軍事效益分析與這個問題有些類似，假設(shè)某型測控設(shè)備投入到軍事應(yīng)用中，一方面該設(shè)備隨著運(yùn)行時間的推移其磨損程度愈來愈大，因此其自身價值將隨著設(shè)備的使用時間增加而減?。涣硪环矫鏈y控設(shè)備總是要進(jìn)行日常保養(yǎng)，花費(fèi)一定的保養(yǎng)費(fèi)，保養(yǎng)可以減緩設(shè)備的磨損程度，提高設(shè)備的自身價值。再者，設(shè)備在具有一定自身價值的前提下，如果投入到軍事應(yīng)用中，也具有一定的軍事效益產(chǎn)值（生產(chǎn)率）。那么，怎樣確定最優(yōu)保養(yǎng)費(fèi)和設(shè)備獲得最優(yōu)軍事效益時的時間，才能使這臺設(shè)備的軍事效益最大？這就是我們需要解決的問題。由于泛函分析解決的是函數(shù)集合S中的每一個函數(shù)與實數(shù)J之間的對應(yīng)關(guān)系，而這類優(yōu)化問題可以歸結(jié)為尋求最優(yōu)控制函數(shù)使得某個泛函達(dá)到極值［2］。因此，文章主要運(yùn)用泛函的變分法模型來研究這一類型問題，下面加以具體分析。

2 變分法原理

泛函的變分指的是自變量函數(shù)的增量引起的泛函的增量，用δJ表示，它的一個重要的形式是它可以表示為對參數(shù)α的偏導(dǎo)數(shù)，如式（2）所示：

其中：δx（t）＝x（t）－x0（t），表示函數(shù)x（t）在x（t0）的增量。

若泛函J（x（t）在x（t0）達(dá)到極值（極大或極小值），則有如下結(jié)論（泛函的必要條件），如式（3）所示［3］：

在最優(yōu)控制系統(tǒng)中，常常要涉及到有約束條件的泛函的極值問題，其典型形式一般滿足動態(tài)系統(tǒng)關(guān)系，如式（4）所示［4］：

在此約束條件下，然后尋求最優(yōu)性能指標(biāo)（目標(biāo)函數(shù)），如式（5）所示：

其中：u（t）是控制策略，x（t）是軌線，t0固定，tf及x（tf）自由，f，φ，F(xiàn)連續(xù)可微。

下面推導(dǎo)目標(biāo)函數(shù)取得極值的最優(yōu)控制策略u＊（t）和最優(yōu)軌線x＊（t）的必要條件。

采用拉格朗日乘子法，化條件極值為無條件極值，如式（6）所示：

定義式（4）和式（5）的哈密頓（Hamilton）函數(shù)如式（7）所示：

將式（7）代入式（6），得到泛函的表達(dá)式如式（8）所示：

由式（2）可知：泛函的變分可以表示為對參數(shù)α的導(dǎo)數(shù)，同時由于tf是自由的，可以得知時間t是變動的，那么時間t可以用參數(shù)表示為t＝tf＋αdtf，那么泛函的變分可以用如下形式表示，如式（9）所示［5］：

將式（9）化簡得如下結(jié)果，如式（10）所示：

令δJ1＝0，由δx，δu，δλ的任意性，如果受控系統(tǒng)由式（5）確定的性能指標(biāo)達(dá)到極值，那么其最優(yōu)控制策略u＊（t）和相應(yīng)的最優(yōu)軌線x＊（t）由下列的必要條件決定［6］：

1）狀態(tài)方程：＝Hλ＝f（t，x，u）；

3）哈密頓函數(shù)H（t，x＊，u，λ＊）作為u的函數(shù)，也必須滿足：Hu＝0；

5）哈密頓函數(shù)H（t，x＊，u＊，λ＊）＝F（t，x＊，u）＋λ＊T（t）f（t，x＊，u）作為u（t）的函數(shù)，最優(yōu)控制策略u＊（t）必須使得：

3 模型建立以及實例應(yīng)用

3.1 問題分析與假設(shè)

測控設(shè)備的軍事效益主要與設(shè)備的自身價值、磨損程度、保養(yǎng)效益、設(shè)備的生產(chǎn)率等因素相關(guān)，在文章中做出如下假設(shè)：

1）設(shè)備的自身價值為時間t的函數(shù)，記為x（t）。x（t）的大小與設(shè)備的磨損程度和保養(yǎng)費(fèi)密切相關(guān)，記初始的設(shè)備自身價值x（0）＝x0；

2）設(shè)備在t時刻的磨損程度可以用t時刻自身價值的損失值來刻畫，稱其為磨損函數(shù)，記為m（t）；

3）設(shè)t時刻單位時間的保養(yǎng)費(fèi)為u（t），t時刻的保養(yǎng)效益系數(shù)為g（t）（單位保養(yǎng)費(fèi)所增加的自身價值），那么單位時間的保養(yǎng)效益為u（t）g（t）；

4）設(shè)備處于某一價值時，投入到軍事應(yīng)用中具有一定的產(chǎn)值，設(shè)單位時間的產(chǎn)值與自身價值的比值為p，那么px（t）表示在t時刻單位時間的軍事效益產(chǎn)值，也就是t時刻的生產(chǎn)率；

5）設(shè)備在達(dá)到最優(yōu)軍事效益的時刻tf和自身價值x（tf）未知，即tf和x（tf）都是自由的。

3.2 模型的建立

根據(jù)以上的分析和假設(shè)可知：考察的對象是測控設(shè)備在生產(chǎn)中的磨損—保養(yǎng)系統(tǒng)；設(shè)備自身價值體現(xiàn)了磨損和保養(yǎng)的綜合指標(biāo)，可以選作系統(tǒng)的狀態(tài)變量；在測控設(shè)備的使用中，磨損的不可控性強(qiáng)，其微弱的可控性也是通過保養(yǎng)體現(xiàn)，加之保養(yǎng)本身具有較強(qiáng)的可控性，所以選單位時間的保養(yǎng)費(fèi)u（t）作為控制策略。這樣，測控設(shè)備的最大軍事效益模型可以構(gòu)成測控設(shè)備磨損—保養(yǎng)系統(tǒng)的（設(shè)備自身價值）狀態(tài)方程。

假設(shè)測控設(shè)備在t時刻設(shè)備自身價值為x（t），那么在t＋Δt時刻，其自身價值的變化值為：x（t＋Δt）－x（t）＝－m（t）Δt＋g（t）u（t）Δt，等式兩邊都除以Δt，并令Δt→0，同時結(jié)合x（0）＝x0可得如下狀態(tài)方程，如式（11）所示：

3.3 模型的求解

首先寫出問題的哈密頓函數(shù)，如式（12）所示［7］：

再由協(xié)態(tài)方程及邊界條件求出λ（t），即由f

解得：λ（t）＝－pt＋1＋ptf

下面利用最大之原理求u＊（t）。將式（12）改為

由上式可知：H是對u的線性函數(shù)，同時根據(jù)最大值原理可知，要使得H取得最大值，必須滿足條件：

即：

在上式中，還需要解決兩個問題：1）u＊（t）＝U與u＊（t）＝0的轉(zhuǎn)換點(diǎn)ts在什么位置，即ts等于多少？2）u＊（t）是從U到0還是從0到U。

轉(zhuǎn)換點(diǎn)ts應(yīng)滿足條件：

從而可以求出ts。

由于測控設(shè)備隨著使用時間的增加而不斷老化，那么其單位保養(yǎng)費(fèi)用所增加的自身價值應(yīng)該呈遞減趨勢，也就是說，g（t）是時間t的減函數(shù)，由此可以得出式（14）的左端也是時間t的減函數(shù)，所以u＊（t）隨時間變化應(yīng)由U到0。于是最優(yōu)控制策略表達(dá)式為［8］：

至于tf，x（tf）的求法，請見下面的例子。

3.4 實例應(yīng)用

解：由式（14）可以求得ts的公式：

當(dāng)t＜ts時，u＊（t）＝U＝1，狀態(tài)方程為

當(dāng)t＞ts時，u＊（t）＝0，狀態(tài)方程為

于是t＞ts時，有：

解得：

由自由邊界條件

可得：

得出：

當(dāng)t＝tf時，由（15）式可得：

即：

聯(lián)立方程組：

編寫 MATLAB程序解以上方程組可得［9～10］：

于是，最優(yōu)控制策略（保養(yǎng)費(fèi)）為

那么，總的軍事效益為

通過結(jié)果可以看出：某型測控設(shè)備從投入使用開始至31年的時間內(nèi)進(jìn)行維護(hù)保養(yǎng)，每年的投入費(fèi)用為1萬元，在使用約49年后，其軍事效益可以達(dá)到最大值，最大值為247.1萬元。

4 結(jié)語

動態(tài)優(yōu)化過程是一個復(fù)雜而系統(tǒng)的過程，涉及到諸多因素和各因素之間的內(nèi)部關(guān)系，泛函的變分法在動態(tài)優(yōu)化的過程中能夠很好地解決可控因素和不可控因素之間的內(nèi)部關(guān)聯(lián)，以達(dá)到最優(yōu)的控制結(jié)果，從而為決策者提供最優(yōu)的控制策略。

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