具復雜偏差變元的一類Liénard方程周期解

陳月紅

（廣東技術師范學院 計算機學院，廣州510665）

近年來，有關Duffing型方程和Liénard型方程方面的研究成果［1－4］已有很多，且因為其在經濟學、生態(tài)學、控制論等方面的廣泛應用而逐漸成為熱點．相對而言，關于具復雜偏差變元的時滯Liénard型方程的研究尚不多見．2003年，李鵬程［5］研究了含偏差變元的時滯Duffing型微分方程周期解的存在性．2004年，葛渭高［6］研究了含偏差變元的Liénard型微分方程．作為Liénard方程的特殊形式，筆者［7］曾探討了含復雜偏差變元的時滯非自治Duffing型微分方程周期解的存在性．在上述工作的基礎上，本文擬研究帶復雜偏差變元的二階Liénard型微分方程

周期解的存在性問題．文中定理1是對文獻［5］195定理2的推廣，并且由于考慮的是具有復雜偏差變元的函數g（t，x），而非g（x）的情形，故定理1中所得方程（1）的周期解的存在性條件與時滯變量τ（t）的關系不同于文獻［6］236中的相應結論．

1 預備知識

設X，Y 均為Banach空間．L：DomL?X→Y 是線性映射，N：X→Y 是連續(xù)映射．若dim Ker L＝co dim ImL＜＋∞及ImL 在Y 中閉，則L 是指標為0的Fredholm 算子．設L 如前所述，則存在連續(xù)的投影算子P：X →X 與Q：Y →Y，使得Im P＝Ker L，Im L＝Ker Q＝Im（I－Q），從而L｜DomL∩KerP：（I－P）X→ImL 有逆映射Kp．若Ω 是X 中開有界集，當QN（ˉΩ）有界且緊時，映射N 是ˉΩ 上的L－緊集．又因ImQ 與Ker L 同構，故存在同構映射J：ImQ→Ker L．

引理1［1］26（Mawhin連續(xù)性定理） 令L 是指標為0的Fredholm 算子，N 是ˉΩ 上的L－緊集，設

則方程Lx＝Nx 至少存在一個周期解，當?x∈?Ω∩DomL 時．

引理2［8］令CT是由實連續(xù)的T－周期泛函x＝x（t）構成的集合，則?x＝x（t）∈C（1）（R，R）∩CT及?ξ∈［0，T］，有

引理3［9］設x（t）∈CT，τ′（t）＜1，則

記X＝｛x｜x∈C（1）（R，R），x（t＋T）＝x（t），?t∈R｝，其范數為‖x‖1＝max｛‖x‖0，‖x′‖0｝，其中‖x‖0＝maxt∈［0，T］｜x（t）｜．類似地，令Y＝｛y｜y∈C（R，R），y（t＋T）＝y(tǒng)（t），?t∈R｝，范數為‖y‖0＝maxt∈［0，T］｜y（t）｜．易證X，Y 均為Banach空間．定義映射X∩C（2）（R，R）→Y，N：X→Y，并有Lx（t）＝x″（t），t∈R，非線性算子Nx（t）＝－f（x（t））x′（t）－g（t，x（x（t－τ（t））））＋p（t）．顯然定義投影算子易驗證Ker Q＝Im L＝Im（I－Q），Ker L＝ImP．L｜DomL∩KerP：（I－P）X→ImL 有一個定義在Kp上的逆映射，且映射L 是指標為0的Fredholm 算子［10］99．設Ω 是X 中開有界集，則映射N 是ˉΩ 上的L－緊集［10］99－100．

2 主要結論

定理1設k，c，D＞0及以下條件成立：

證明 先設方程

再令x（t）∈CT是方程（1）的任意T－周期解．將x（t）代入方程（4）中，并對方程兩邊從0到T 積分，得到據積分中值定理，?ξ∈［0，T］，使得g（ξ，x（x（ξ－τ（ξ））））＝0．由條件（Ⅳ），得｜x（x（ξ－τ（ξ）））｜≤D．因｜x（ξ－τ（ξ））｜∈R，故?t1∈［0，T］，使得｜x（t1）｜＝｜x（x（ξ－τ（ξ）））｜≤D．由（3）式及H?lder不等式，得

由（5）式，對t從0到T 積分，得

再對（5）式兩邊平方，得

對上式中的t從0到T 積分，得

另一方面，

在（4）式兩邊同時乘以x（t），將方程兩邊對t從0到T 積分，得由此式和（3），（6）式，并應用H?lder不等式，得

其中｜p｜0＝maxt∈［0，T］｜p（t）｜．另外還可得到

其中b1，b2＞0．因故存在a＞0，使得b2；從而存在與x 無關的常數M0＞0，使得

于是存在M1＞0，使得

以及存在M2＞0，使得

另外，因x（0）＝x（T），故存在t0∈［0，T］，使得x′（t0）＝0．將方程（4）兩邊從t0到t積分，得所以｜x′（t）｜≤由條件（Ⅰ），（6），（7），（8）式，結合H?lder不等式，對任意t∈［0，T］，有

即存在M3＞0，使得

又由（2），（7）式得

注定理1的條件（Ⅰ）改為（Ⅰ′）：｜f（x（t））｜≤k，?t∈R，或者將條件（Ⅳ）改為（Ⅳ′）：xg（t，x）＜0，?t∈R，｜x｜＞D，定理1的結論仍成立．

例1考慮方程其中于是取則易見定理1中條件（Ⅰ）～（Ⅳ）均滿足，故由定理1知該方程至少有一個2－1－周期解．

［1］ GAINES R E，MAWHIN J L．Coincidence degree and nonlinear differential equations［M］／／Lecture Notes in Mathematics．Berlin：Springer，1977：26－43．

［2］ 王亞民，劉玉榮．時滯的周期神經網絡模型周期解的存在性［J］．揚州大學學報：自然科學版，2005，8（4）：12－15．

［3］ 黃先開，向子貴．具有時滯的Duffing型方程x″＋g（x（t－τ））＝p（t）的2π周期解［J］．科學通報，1994，39（3）：201－203．

［4］ WANG Genqiang，CHENG Suisun．A priori bounds for periodic solutions of a delay Rayleigh equation［J］．Appl Math Lett，1999，12（1）：41－44．

［5］ 李鵬程．一類Duffing型時滯微分方程的周期解［J］．四川大學學報：自然科學版，2003，40（2）：195－198．

［6］ GE Weigao．On the existence of periodic solutions for a kind of Liénard equation with a deviating argument［J］．J Math Anal Appl，2004，289（1）：241－243．

［7］ CHEN Yuehong，WANG Genqiang．Periodic solutions of nonautonomous delay Duffing equations with a complex deviating argument［J］．Far East J Appl Math，2007，26（2）：159－170．

［8］ LI Jingwen，WANG Genqiang．Sharp inequalities for periodic functions［J］．Appl Math E－Notes，2005，5（1）：75－83．

［9］ WANG Zhengxin，QIAN Longxia，LU Shiping，et al．The existence and uniqueness of periodic solutions for a kind of Duffing－type equation with two deviating arguments［J］．Nonlinear Anal：Theory，Methods ＆ Appl，2010，73（9）：3034－3043．

［10］ CHEN Yuehong，LIN Weiwei．Existence of periodic solutions of iterative differential equations with deviating arguments［J］．Far East J Math Sci，2011，50（1）：95－104．