一類物價瑞利模型在小周期擾動下的Hopf分支

呂堂紅，周林華

（長春理工大學(xué) 理學(xué)院，長春130022）

近年來，許多學(xué)者基于平均法［1］、多尺度法［2］、攝動法［3］和諧波平衡法［4］等方法研究了時滯微分系統(tǒng)的動力學(xué)行為，對滯后型泛函微分方程的周期擾動Hopf分支更是倍加關(guān)注［5－9］．上述方法［1－4］主要是針對一個正在產(chǎn)生Hopf分支的時滯微分系統(tǒng)，而加上外界微小的周期擾動后新的擾動系統(tǒng)的周期軌道將產(chǎn)生哪些新的運(yùn)動規(guī)律，這正是本文需要探討的數(shù)學(xué)問題．

目前，關(guān)于具時滯物價瑞利方程的研究已有很多結(jié)果［9－11］．筆者［10］曾利用指數(shù)多項(xiàng)式的τ－D 劃分法討論模型（0）平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性，給出了在（τ，γ）參數(shù)平面上的Hopf分支圖；曹忠威［9］只討論了l＝1時模型（0）的周期擾動Hopf分支問題，而對l≠1的情形未給予研究．為此，筆者將對文獻(xiàn)［9］中的問題作進(jìn)一步的推廣，討論l≠1時模型（0）的周期擾動Hopf分支的動力學(xué)性質(zhì)．

1 物價瑞利模型Hopf分支的存在性

當(dāng)β1＝0時，系統(tǒng)（3）線性部分的特征方程為

引理1［10］445若k0＝（sinσ0r）／σ0，σ0＝σ0（r）是方程σ2＝cosσr在（0，π／（2r））上的唯一解，則

1）方程（4）有一對共軛復(fù)根λ1，2＝α（μ）±iσ（μ），這里α，σ是實(shí)數(shù)，且α（0）＝0，σ（0）＝σ0＞0；

2）當(dāng)μ＝0時，方程（4）的特征根除λ（0），ˉλ（0）外，其余特征根皆有嚴(yán)格的負(fù)實(shí)部；

3）當(dāng)β1＝0時，方程（3）在μ＝0時存在Hopf分支，若分支產(chǎn)生在μ＞0（μ＜0）方向，則方程（3）的分支周期解為上臨界穩(wěn)定（下臨界不穩(wěn)定）的．

2 物價瑞利模型周期擾動Hopf分支的存在性與穩(wěn)定性

下面利用類似于文獻(xiàn)［8］115－117的分析方法，討論系統(tǒng)（3）在β1≠0時的分支情形．不妨設(shè)σ0為系統(tǒng)（3）的臨界固有Hopf分支頻率，于是必須考慮的問題是：當(dāng)外界的周期擾動頻率分別為σ0，nσ0，σ0／n，mσ0／n（m，n∈Z＋，m，n≠1且互質(zhì)）時，系統(tǒng)（3）產(chǎn)生的周期擾動Hopf分支的動力學(xué)性質(zhì)．

2．1 系統(tǒng)的簡化和積分平均

首先對系統(tǒng)（3）進(jìn)行尺度變換，令x→εx，y→εy，μ→εμ，β1→εβ1，然后將變換后的系統(tǒng)寫成滯后型泛函微分方程的形式．令C＝C（［－r，0］，R2），對任意φ∈C，定義L（εμ）為C［－r，0］到R2上的線性算子族，于是由Riesz表示定理知，存在一個有界變差矩陣η（θ，μ）：θ∈［－r，0］，使得L（εμ）φ ＝，這里取dη（θ，εμ）是Diracδ－函數(shù)；因此，可將方程（2）寫成向量的形式：

其中Xt＝（xt，yt）T．對φ ∈C［－r，0］，定義由文獻(xiàn)［5］26知，當(dāng)θ＝0時，方程（5）就是方程（3）．設(shè)方程（4）的一對純虛根為Λ ＝｛iσ0，－iσ0｝，則存在BC 的一個直和分解：BC ＝PΛ⊕QΛ，其中PΛ是算子A 相應(yīng)于Λ 的特征空間，QΛ是其補(bǔ)空間．

現(xiàn)在將方程（5）的解Xt分解到PΛ和QΛ上去．此時方程（5）可以分解為

下面對系統(tǒng)（6）的前2個方程進(jìn)行積分平均［12］．對系統(tǒng)（6）作變換：令ωt＝τ，則ˉx（t）＝u（τ），

2．2 調(diào)和解、次調(diào)和解、超調(diào)和解和超次調(diào)和解的存在性與穩(wěn)定性

首先，給出系統(tǒng)（3）在共振情形下（J＝1）4種不同分支周期解的穩(wěn)定性分析．

定理1對于系統(tǒng)（3），總存在ε0＞0，使得對任意的ε∈（0，ε0），當(dāng)μ＞0（μ＜0）時，系統(tǒng)（3）在原點(diǎn)附近的二維流形上存在不穩(wěn)定（穩(wěn)定）的調(diào)和解分支，其近似表達(dá)式為

其中μ＝O（ε），β1＝O（ε），ξ0 是一個常數(shù)，

證明 令u1（τ）＝~asin（Jτ＋ξ），u2（τ）＝~acos（Jτ＋ξ），J＝σ0／ω0，忽略O(shè)（ε），將（7）式積分平均后化為

其中ρ為由ω＝ω0（1－ερ）定義的一個去諧參數(shù)，θ＝arctan（E／F）．令d~a／dτ＝0，dξ／dτ＝0，解得方程（10）的非平凡解a0，它對應(yīng)于系統(tǒng)（2）的一個周期解，并滿足方程（9）．顯然，若（10）式對應(yīng)的變分方程有解eλετ／ω0，則λ 滿足的特征方程為（μ˙α0－λ）2＋（ρσ0＋μ˙σ0）2＝0，特征根為λ1，2＝μ˙α0±i（ρσ0＋故若μ＞0（μ＜0），則Reλ1，2＞0（Reλ1，2＜0）．證畢．

然后，依次取J＝1／n，J＝n，J＝m／n（m，n∈Z＋，m，n≠1且互質(zhì)），討論系統(tǒng)（3）在次調(diào)和共振、超調(diào)和共振和超次調(diào)和共振情形下分支周期解的存在性和穩(wěn)定性．

定理2對于系統(tǒng)（3），總存在ε0＞0，使得對任意的ε∈（0，ε0），當(dāng)μ＞0（μ＜0）時，隨著激勵頻率分別接近于σ0，nσ0，σ0／n，mσ0／n，系統(tǒng)（3）在原點(diǎn)附近的二維流形上存在穩(wěn)定（不穩(wěn)定）的任意階次調(diào)和解分支、超調(diào)和解分支和超次調(diào)和解分支，其近似表達(dá)式為

其中μ＝O（ε2），β1＝O（ε2），ρ＝O（ε），

證明 對系統(tǒng)（3）進(jìn)行尺度變換，令x→εx，y→εy，μ→ε2μ，β1→ε2β1，ρ→ερ，忽略O(shè)（ε2）項(xiàng)，再進(jìn)行積分平均，得令d~a／dτ＝0，解得a20如（12）式所示，易算出˙F1（a0）＝－ε2μENσ0／ω0；于是，當(dāng)μ＞0時，˙F1（a0）＜0；當(dāng)μ＜0時，˙F1（a0）＞0；因此，當(dāng)μ＞0（μ＜0）時，對應(yīng)的次調(diào)和解、超調(diào)和解和超次調(diào)和解均為穩(wěn)定的（不穩(wěn)定的）．再由，可得方程（13）．證畢．

2．3 擬周期解的存在性與穩(wěn)定性

最后，給出系統(tǒng)（14）在二階次調(diào)和共振情形下（J＝1／2）擬周期解的穩(wěn)定性分析．將方程

改寫為如下形式：

對系統(tǒng)（15）進(jìn)行尺度變換，令x→ε1／2x，y→ε1／2y，μ→εμ，則（15）式可化為

使用前述的方法計(jì)算，并忽略O(shè)（ε）項(xiàng)，然后進(jìn)行積分平均，可得

其中θ＝arctan（E／F）．令d~a／dτ＝0，dξ／dτ＝0，解得非平凡解a0滿足的方程為

其中R＝8－1Nσ0（aη）E，S＝－8－1Nσ0（aη）F．由方程（18）可以分析出其正根的分布情況．

引理2設(shè)a01，a02由下式定義：

1）當(dāng)μ（R˙α0＋S˙σ0）＋ρσ0S＜0，［（μ˙α0）2＋（ρσ0＋μ˙σ0）2］＞［μ（R˙σ0－S˙α0）＋ρσ0R］／（R2＋S2）時，方程（18）有兩個正實(shí)根a01，a02，并且a01＜a02；

設(shè)方程（20）的變分方程有形如eλετ／ω0的解，則λ滿足的特征方程為

引理31）若非平凡解a0滿足下述條件，則它始終是穩(wěn)定的：

2）若解a01不滿足條件（22），則其始終不穩(wěn)定；

3）若解a02滿足條件（22），則其是穩(wěn)定的；若解a02不滿足條件（22），則a0對應(yīng)的分支周期解將失去穩(wěn)定性，且對應(yīng)的變分方程（20）在μc＝－2a20R／˙α0處產(chǎn)生Hopf分支；

4）當(dāng)μ＝μc 時，特征方程（21）有一對純虛根±iωc，且Reλ′（μc）＝˙α0＞0，其中

下面考慮平均方程（17）在（a0，ξ0）處的變分方程．令~a＝a0＋v1，ξ＝ξ0＋v2，可得到

引入新的時間變量ˉt＝ετ／ω0，作線性變換．令ˉμ＝μ－μc，當(dāng)ˉμ＝0時，（23）式可化為

其中B111＝2α＋2a20S＋a20R2／S，B112＝ωcR／（2S），B122＝ω2c／（4a20S），B211＝（2a0／ωc）（2a30R3／S－6a30RS－4a0αR），B212＝2a20R2／S －a20S －α，B222＝2ωcR／S，C1111＝（4／3）a20R，C2111＝（2a0／ωc）［a30R4／S2＋（4／3）a0S（a20S＋α）－（10／3）a30R2］，C2112＝a20R3／S2－（2／3）a20R，C2122＝ωcR2／（2S2），C2222＝ω2cR／（4a20S2），α＝ρ＋μc˙σ0，a20＝－μ˙α0／（2R）．

由規(guī)范形方法［13］可求得C1（0）＝ˉR＋iˉS，這里ˉR，ˉS 由Bijk和Cijkl表出，因此有如下結(jié)論．

定理3對于系統(tǒng)（14），總存在原點(diǎn)附近的一個二維積分流形，使得其上的分支周期解可由下列公式描述：

1）分支方向由μ2確定：μ2＞0（μ2＜0），方程（14）的分支周期解為上臨界的（下臨界的）；

2）分支周期解的穩(wěn)定性由β2確定：β2＞0（β2＜0），方程（14）的分支周期解是不穩(wěn)定的（穩(wěn)定的）；

3）分支周期解的周期大小由τ2確定：τ2＞0（τ2＜0），方程（14）的分支周期解將逐漸增大（逐漸減?。?/p>

定理4方程（17）在（a0，ξ0）附近存在分支周期解和擬周期解的近似表達(dá)式分別為

其中 是任意常數(shù)．

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