求解帶尖角區(qū)域聲波散射問(wèn)題的三種數(shù)值處理方法

彭增軍

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)系,陜西 西安 710127)

求解帶尖角區(qū)域聲波散射問(wèn)題的三種數(shù)值處理方法

彭增軍

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)系,陜西 西安 710127)

通過(guò)單雙層位勢(shì)在尖角處的跳躍關(guān)系建立了形式較為簡(jiǎn)單的邊界積分方程,然后再分別利用指數(shù)變換、周期變換和K ress變換三種方法對(duì)帶尖角的區(qū)域進(jìn)行處理,并通過(guò)數(shù)值算例對(duì)這幾種方法的求解結(jié)果進(jìn)行了分析比較,最后得出周期變換效果最佳.

聲波散射;帶尖角區(qū)域;指數(shù)變換;周期變換;K ress變換

1 引言

聲波散射問(wèn)題一直以來(lái)是數(shù)學(xué)物理問(wèn)題的一個(gè)研究熱點(diǎn),國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行了一系列的研究,特別是K ress教授在文獻(xiàn)[1]中利用單雙層位勢(shì)的組合對(duì)這類(lèi)問(wèn)題做了大量的研究并且取得了很好的結(jié)果.對(duì)于帶尖角區(qū)域的聲波散射問(wèn)題,在應(yīng)用邊界元方法進(jìn)行數(shù)值求解時(shí),由于雙層位勢(shì)在尖角處不連續(xù),這樣就導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)較大的誤差,因此引入適當(dāng)?shù)淖儞Q,使得在新的變量下雙層位勢(shì)在尖角處連續(xù),從而保證數(shù)值解的精確性.文獻(xiàn)[2-4]各給出了一種求解尖角區(qū)域的聲波散射問(wèn)題的方法,但在其邊界積分方程中都涉及到Laplace方程的基本解,相對(duì)比較繁瑣.本文受文獻(xiàn)[5-6]的啟發(fā),利用單雙層位勢(shì)在尖角處的跳躍關(guān)系得到一種形式較為簡(jiǎn)單的邊界積分方程,從而便于數(shù)值求解.然后再分別采用指數(shù)變換、周期變換和K ress變換對(duì)尖角區(qū)域進(jìn)行處理,使雙層位勢(shì)在尖角處連續(xù).最后求解帶尖角區(qū)域聲波散射問(wèn)題的數(shù)值算例,對(duì)三種變換下的求解結(jié)果和收斂速度進(jìn)行了比較分析,總結(jié)出在相同精度下周期變換在處理該問(wèn)題時(shí)的收斂速度最快.

2 帶尖角區(qū)域聲波散射問(wèn)題的邊界積分方程

不妨考慮在均勻介質(zhì)中傳播的聲波碰到一個(gè)無(wú)限長(zhǎng)的柱體,設(shè)柱體截面D?R2,母線平行于z軸.設(shè)入射波是平面波

其中波數(shù) k＞0,d為一單位向量,i表示虛數(shù)符號(hào).入射波碰到柱體發(fā)生散射,記總體場(chǎng)為u=ui(x)+us(x),us(x)表示散射場(chǎng),則散射問(wèn)題歸結(jié)為求u(x)∈C2(R2ˉD)∩C(R2D),使其滿足Helmholtz方程:

及其Dirichlet邊界條件:

其中散射波us(x)滿足Sommerfeld散射條件:

對(duì)于以上邊值問(wèn)題,不妨選取如下的單雙層位勢(shì)的混合形式來(lái)表示散射波us(x):

其中φ∈L2(?D),η為常數(shù),ν表示?D的單位外法線方向,Φ(x,y)為Helmholtz方程的二維基本解,其形式為:

考慮散射域邊界?D上有一個(gè)尖點(diǎn),不妨假設(shè)尖點(diǎn)在x=x0處,除尖點(diǎn)外?D{x0}為C2類(lèi)逐段光滑的,尖點(diǎn)處的內(nèi)角記為γ0(0＜γ0＜2π).設(shè)由(4)式設(shè)定的散射波us(x)滿足邊界條件(2)式,再根據(jù)區(qū)域包含尖點(diǎn)時(shí)單雙層位勢(shì)的跳躍關(guān)系定理[4],有如下的邊界積分方程:

以及α(x)=γ(x)/π,γ(x)為區(qū)域邊界在x點(diǎn)的內(nèi)角.從而,在尖點(diǎn)x=x0處,α(x)=γ0/π;在其余點(diǎn)x?=x0時(shí),α(x)=1.

由Hankel函數(shù)的漸進(jìn)性可得到由(4)式定義的散射波us(x)對(duì)應(yīng)的遠(yuǎn)場(chǎng)模式為:

從邊界積分方程中求出函數(shù)φ后,再代入(6)式計(jì)算出遠(yuǎn)場(chǎng)模式

3 三種變換

對(duì)于求解帶尖角區(qū)域的聲波散射問(wèn)題,在其邊界積分方程(5)之中,單層勢(shì)的核函數(shù)在尖角處是連續(xù)的,雙層勢(shì)的核函數(shù)為基本解的方向?qū)?shù),具體表示為如下形式:

顯然,在尖角左右兩端的邊界外法向量ν(y)是不連續(xù)的,從而導(dǎo)致了雙層位勢(shì)的核函數(shù)在尖角處不連續(xù).假設(shè)區(qū)域邊界表示為:

不妨采用參變量替換的方法,令τ=w(s),將現(xiàn)有變量τ替換為新參變量s,從而

如果w(s)的選取能使得在尖角處w′(s)=0,這樣就使得雙層位勢(shì)的核函數(shù)在尖角處連續(xù)且值為零.為此,有以下幾種變換方法:

(1)指數(shù)變換:

4 離散化及奇異性處理

5 數(shù)值算例

例1 求解雨滴型區(qū)域的聲波散射問(wèn)題,其邊界的參數(shù)表達(dá)式為:

區(qū)域的圖形如圖1所示.

不妨取入射方向d=(1,0),波數(shù)為k=1.文獻(xiàn)[4]中對(duì)該數(shù)值算例進(jìn)行了求解,但是其處理方法和本文中的方法是不同的.以下給出本文應(yīng)用指數(shù)變換、周期變換、K ress變換結(jié)合邊界積分方程求解出的遠(yuǎn)場(chǎng)模式的計(jì)算結(jié)果.具體見(jiàn)表1-表5.

圖1 雨滴型散射區(qū)域

表1 用指數(shù)變換求得的遠(yuǎn)場(chǎng)模式數(shù)值解

表2 用周期變換求得的遠(yuǎn)場(chǎng)模式數(shù)值解(p=2)

表3 用周期變換求得的遠(yuǎn)場(chǎng)模式數(shù)值解(p=8)

表4 用K ress變換求得的遠(yuǎn)場(chǎng)模式數(shù)值解(p=2)

從計(jì)算結(jié)果可以看出,用這三種變換方法來(lái)處理尖點(diǎn)區(qū)域聲波散射問(wèn)題都是可行的.其次,從收斂速度上來(lái)說(shuō),周期變換和K ress變換在p取值較大時(shí),求解結(jié)果的收斂速度較快,因此可以通過(guò)調(diào)節(jié)p的值來(lái)調(diào)節(jié)算法的收斂速度.就求解結(jié)果前5位有效數(shù)字的收斂情況來(lái)看,在p都取2的情況下,周期變換在n=32時(shí)已經(jīng)收斂,而K ress變換在n=128時(shí)還沒(méi)有收斂,在p都取8的情況下,周期變換在n=16時(shí)已經(jīng)收斂,K ress變換在n=32時(shí)才收斂.因此,在p取相同值時(shí),周期變換的收斂速度更快.指數(shù)變換是固定的,其收斂速度和周期變換在p=2時(shí)基本相同,但該變換是無(wú)法調(diào)節(jié)收斂速度的.綜上所述,周期變換的收斂速度可以調(diào)整,而且在幾種變換中的收斂速度最快,因此周期變換是解決尖角區(qū)域的聲波散射問(wèn)題的最佳方法.該結(jié)果和文獻(xiàn)[4]的結(jié)果相同,從而驗(yàn)證了該方法的有效性和可行性,但和文獻(xiàn)[4]使用的方法相比本文建立的邊界積分方程更加簡(jiǎn)單.

表5 用K ress變換求得的遠(yuǎn)場(chǎng)模式數(shù)值解(p=8)

[1]Colton D,K ress R.Integeral Equation M ethods in Scattering Theroy[M].New York:W iley-Interscience Publication,1983.

[2]K ress R.Linner Intergral Equation[M].New York:Springer-Verlag,1989.

[3]張梅東,王連堂.帶尖角的障礙聲波散射區(qū)域的反演[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2009,25(3):610-616.

[4]王桃正,王連堂.基于周期變換求解帶尖角區(qū)域的聲波散射問(wèn)題[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2011,27(6):814-818.

[5]Colton D,K ress R.Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theroy[M].New York:Springer-Verlag, 1992.

[6]K ress R.A Nystrom method for boundary integral equations in domains with corners[J].Numer.Math., 1990,58:145-161.

Three num ericalm ethods based on solv ing the acoustic scattering p rob lem with a corner

Peng Zengjun

(Departm ent of M athem atics,Northwest University,X i′an 710127,China)

Using single and double-layer potentials′the jum p relation at sharp corner build a sim p le boundary integral equation.Three kinds ofm ethods which are exponential transform ation,periodic transform ation and K ress transform ation are used to process the sharp region.Num erical exam p le is given and the resu lts show that periodic transformation is best.

acoustic scattering,dom ains with corners,exponential transform ation,period transform ation, K ress transform ation

O178

A

1008-5513(2012)06-0819-07

2012-04-18.

陜西省教育廳基金(09JK 771).

彭增軍(1987-),碩士生,研究方向:數(shù)學(xué)物理反問(wèn)題.

2010 M SC:35A 40