關(guān)于亞純函數(shù)φ(z)fn(z)f(k)(z)的值分布

金瑾

(畢節(jié)學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,貴州 畢節(jié) 551700)

關(guān)于亞純函數(shù)φ(z)fn(z)f(k)(z)的值分布

金瑾

(畢節(jié)學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,貴州 畢節(jié) 551700)

設(shè)n和k為任意的正整數(shù),f(z)是復(fù)平面上超越亞純函數(shù),φ(z)為f(z)的不恒為零的小函數(shù),討論了亞純函數(shù)φ(z)fn(z)f(k)(z)值分布,并提出一個(gè)新的定理,進(jìn)行了較為詳細(xì)的證明.

超越亞純函數(shù);Nevanlinna理論;值分布

1 引言與主要結(jié)果

等.1959年,文獻(xiàn)[1]證明了下面的著名定理.

定理1.1[1]設(shè)f(z)為超越亞純函數(shù),n為正整數(shù),如果n≥3,則fn(z)f′(z)取每一個(gè)非零有窮復(fù)數(shù)無(wú)窮多次.

文獻(xiàn) [2]中還猜測(cè):定理1.1的結(jié)論對(duì) n=1和 n=2也成立.1979年,文獻(xiàn) [3]解決了n=2的情形.1995年,文獻(xiàn)[4-5]獨(dú)立地解決了n=1的情形,并得到如下定理.

定理 1.2[4-5]設(shè)f(z)為超越亞純函數(shù),則f(z)f′(z)取每一個(gè)非零有窮復(fù)數(shù)無(wú)窮多次.

文獻(xiàn)[6-11]做了大量的工作并得到了許多漂亮的結(jié)果.1999年,文獻(xiàn)[9]得到如下結(jié)果.

定理 1.3[9]設(shè)f(z)為超越整函數(shù),n和k為正整數(shù),f(z)的所有零點(diǎn)的重?cái)?shù)至少為k,則fn(z)f(k)(z)取每一個(gè)非零有窮復(fù)數(shù)無(wú)窮多次.

文獻(xiàn)[15]對(duì)函數(shù)f(k)(z)?afn(z)進(jìn)行了研究,并得到了如下結(jié)論.

定理 1.4[15]設(shè)f(z)為平面內(nèi)的超越亞純函數(shù),a為非零有窮復(fù)數(shù),則當(dāng)n≥k+3時(shí),函數(shù)f(k)(z)?afn(z)有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn).

文獻(xiàn)[16]中證明了定理1.5和定理1.6.

定理 1.5[16]設(shè)f(z)為超越亞純函數(shù),k正整數(shù),k≥2,f(z)的所有零點(diǎn)的重?cái)?shù)至少為n,則對(duì)每一個(gè) k(k≥2),f(z)f(k)(z)取每一個(gè)非零有窮復(fù)數(shù)無(wú)窮多次.其中,當(dāng) 2≤k≤4時(shí), n=k+1;當(dāng)k=5時(shí),n=5;當(dāng)k≥6時(shí),n=6.

假定讀者熟悉Nevanlinna關(guān)于亞純函數(shù)理論的標(biāo)準(zhǔn)記號(hào)和主要結(jié)果[1-31],如

定理 1.6[16]設(shè) f(z)為超越亞純函數(shù),f(z)的所有零點(diǎn)的重?cái)?shù)至少為 n,則f(z)f(k)(z)取每一個(gè)非零有窮復(fù)數(shù)無(wú)窮多次.至多除去三個(gè)可能的例外正整數(shù)(n=2,3,4).

文獻(xiàn)[17]得到如下結(jié)論.

定理 1.7[17]設(shè)f(z)為平面內(nèi)的超越亞純函數(shù),a為任意非零復(fù)數(shù),對(duì)任意的正整數(shù)

則當(dāng)m≥λ+?+2時(shí),

可取無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn).

文獻(xiàn)[18]研究了f(z)+a(f′(z))n的值分布,得到下面結(jié)論.

定理 1.8[18]設(shè)f(z)為平面內(nèi)的超越亞純函數(shù),a為非零復(fù)數(shù),對(duì)任意的正整數(shù)n≥2,函數(shù)f(z)+a(f′(z))n取每一個(gè)有窮復(fù)數(shù)無(wú)窮多次.

在本文中,利用亞純函數(shù)的Nevanlinna值分布理論和技巧,進(jìn)一步探討亞純函數(shù)的值分布,得到如下結(jié)論.

定理 1.9 設(shè)n和k都是正整數(shù),f(z)為復(fù)平面上的超越亞純函數(shù),φ(z)為f(z)的不恒為零的小函數(shù),若k≤4時(shí),

則φf(shuō)nf(k)取每一個(gè)非零有窮復(fù)數(shù)無(wú)窮多次.

2 引理及其證明

引理 2.1 設(shè)f(z)為復(fù)平面上的超越亞純函數(shù),φ(z)為f(z)不恒為零的小函數(shù),則

3 定理1.9的證明

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The valued istribu tion of the m erom orphic function φ(z)fn(z)f(k)(z)

Jin Jin

(Departm ent of M athem atics and Com puter Science,Bijie University,Bijie 551700,China)

Let n and k be positive integer,f(z)be a transcendentalm erom orphic function in the com p lex p lane, andφ(z)be small function of not constant zero of f(z).Value distributions of atranscendentalmeromorphic functionφ(z)fn(z)f(k)(z)is discussed in this paper,and a new theorem is presented and proved in m ore details.

transcendentalm erom orphic function,Nevanlinna theory,value distribution

O174.52

A

1008-5513(2012)06-0711-08

2012-02-10.

貴州省科學(xué)技術(shù)基金(2012GZ10526);貴州省畢節(jié)地區(qū)科研基金([2011]02).

金瑾(1962-),教授,研究方向:復(fù)分析.

2010 M SC:30D35