無(wú)理式系統(tǒng)的主共振分岔分析

劉延彬，陳予恕，曹慶杰

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院137信箱，哈爾濱 150001)

在過(guò)去的一個(gè)世紀(jì)中，非線性動(dòng)力學(xué)取得了巨大的成就［1］。傳統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)解析方法分析的研究對(duì)象為多項(xiàng)式系統(tǒng)，對(duì)于含有無(wú)理式的非線性微分方程，均將無(wú)理式展開成多項(xiàng)式形式。多項(xiàng)式僅僅是無(wú)理式的一種局部近似，當(dāng)研究非線性系統(tǒng)的非局部行為時(shí)，多項(xiàng)式近似逼近無(wú)理式會(huì)帶來(lái)偏差，甚至得到的一些性質(zhì)根本不是原系統(tǒng)的性質(zhì)。目前人們對(duì)無(wú)理式系統(tǒng)的理解仍然具有很大的偏差，不能滿足研究和工程應(yīng)用的需要，而工程中存在大量的無(wú)理式系統(tǒng)，例如:油膜力，非線性氣動(dòng)力等［2－4］，為此，研究無(wú)理式系統(tǒng)的性質(zhì)是重要，而且是十分必要的。曹慶杰等［2］研究了SD振子，得到了SD振子的動(dòng)力學(xué)特性，該工作是比較系統(tǒng)的研究無(wú)理式系統(tǒng)的工作。雖然有一些工作開始關(guān)注無(wú)理式系統(tǒng)，但是由于無(wú)理式系統(tǒng)求解是十分困難的，大部分工作均是基于數(shù)值模擬，不能滿足研究和應(yīng)用的需要。

本文采用平均法、奇異性理論［5－6］及吸引盆研究了一類無(wú)理式系統(tǒng)的性質(zhì)，該類無(wú)理式系統(tǒng)是由彈簧－連桿機(jī)構(gòu)構(gòu)成，雖然彈簧是線性的，由于幾何特征，彈簧表現(xiàn)為非線性的恢復(fù)力。該系統(tǒng)依賴于參數(shù) α，當(dāng) α＞0時(shí)，系統(tǒng)為正的非線性剛度，表現(xiàn)出硬特性;當(dāng)α=0時(shí)，系統(tǒng)為線性系統(tǒng);當(dāng)α＜0時(shí)，系統(tǒng)為負(fù)的非線性剛度，表現(xiàn)出軟特性。該系統(tǒng)刻畫了系統(tǒng)從線性系統(tǒng)到非線性系統(tǒng)及從負(fù)剛度系統(tǒng)到正剛度系統(tǒng)的變化過(guò)程，是一類典型的非線性動(dòng)力學(xué)方程。

1 系統(tǒng)方程的建立及分析

本文研究彈簧－連桿機(jī)構(gòu)，機(jī)構(gòu)如圖1所示:

圖1 連桿模型Fig.1 The model of linkage mechanism

O點(diǎn)為鎖機(jī)構(gòu)，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到B運(yùn)動(dòng)到 O點(diǎn)，系統(tǒng)鎖住，不再運(yùn)動(dòng)。忽略連桿及滑道中小球的B質(zhì)量。忽略小球B所受的摩擦力，設(shè)滑塊A的質(zhì)量為 m，取 O點(diǎn)為平衡點(diǎn)，以x方向?yàn)檎较?，可以建立運(yùn)動(dòng)方程如下:

當(dāng)α＞0，即T＞0時(shí)，方程(2)為正的非線性剛度，表現(xiàn)出硬特性;當(dāng)α=0，即T=0時(shí)，方程(2)為線性系統(tǒng);當(dāng)α＜0，T＜0時(shí)，方程(2)為負(fù)的非線性剛度，表現(xiàn)出軟特性。因此該系統(tǒng)刻畫了系統(tǒng)從線性系統(tǒng)到非線性系統(tǒng)及從負(fù)剛度系統(tǒng)到正剛度系統(tǒng)的變化過(guò)程，是一類典型的非線性動(dòng)力學(xué)方程。

2 方程的主共振分析

當(dāng)α=0時(shí)，方程(2)為線性系統(tǒng)，本文只研究α≠0時(shí)的情況。當(dāng)系統(tǒng)產(chǎn)生共振時(shí)，滿足以下關(guān)系式:

δ為調(diào)諧參數(shù)。設(shè)方程(2)的解為:

則方程(2)成為:

由平均法可得:

系統(tǒng)的幅頻曲線方程為:

其中K和E為完全橢圓函數(shù)。由式(3)和方程(7)可得:

當(dāng) ω0=1，α =0.1，f=0.5，ξ不同時(shí)，系統(tǒng)的幅頻曲線如圖2(a)所示;.當(dāng) ω0=1，f=0.5，ξ=0.1，α 不同時(shí)，系統(tǒng)的幅頻曲線如圖2(b)所示，當(dāng)ω0=1，ξ=0.1，α=1，f不同時(shí)，系統(tǒng)的幅頻曲線如圖2(c)所示。

圖2 系統(tǒng)的幅頻曲線Fig.2 The curves of amplitude and frequency

圖2(a)、圖2(b)和圖2(c)所示系統(tǒng)的幅頻曲線與Duffing方程的幅頻曲線類似［1］，區(qū)別在于:① 圖2(b)和圖2(c)顯示出在一定的參數(shù)下，系統(tǒng)不存在周期解，這種現(xiàn)象對(duì)應(yīng)實(shí)際物理系統(tǒng)中的鎖死現(xiàn)象;②系統(tǒng)主共振時(shí)，系統(tǒng)的振動(dòng)幅值不會(huì)超過(guò)1。③ 在圖2(b)和圖2(c)中，有的曲線不閉合，而Duffing方程的幅頻曲線均是閉合的。為了進(jìn)一步弄清這些規(guī)律，我們利用奇異性理論的方法對(duì)振幅方程進(jìn)行分類研究。

3 奇異性分析

選ω為分岔參數(shù)，選α，f和ξ為開折參數(shù)，設(shè)函數(shù)H(A，ω)為:

因?yàn)?＜A＜1，完全橢圓函數(shù)可以展開成泰勒級(jí)數(shù)。

設(shè):

則方程(9)可以寫為:

由方程(11)，方程(12)可得:

其中:Hz、Hzz、Hω代表對(duì) z、ω 的導(dǎo)數(shù)。令的轉(zhuǎn)遷集為:

且B集為:H=Hz=Hω=0，H 集為:H=Hz=Hzz=0，所以:

B、H和D分別為分岔集、滯后集和雙極限點(diǎn)集。轉(zhuǎn)遷集在參數(shù)空間(f，a，ξ)如圖3所示。

圖3所示的轉(zhuǎn)遷集曲面過(guò)于復(fù)雜，不利于直觀的對(duì)參數(shù)空間進(jìn)行分類，為此，我們采用固定 ξ，以參數(shù)f和α劃分參數(shù)空間，以便進(jìn)一步研究系統(tǒng)的分岔特性。

當(dāng) ξ=0.01 時(shí)，系統(tǒng)的區(qū)間劃分如圖4(a)所示。當(dāng)ξ=0.1時(shí)，參數(shù)區(qū)間劃分為如圖4(b)所示。

圖3 轉(zhuǎn)遷集曲面Fig.3 The curved surfaces of transition set

圖4 轉(zhuǎn)遷集Fig.4 Transition set

當(dāng)ξ=0.01時(shí)，轉(zhuǎn)遷集將參數(shù)區(qū)間分為五個(gè)區(qū)域，各個(gè)參數(shù)區(qū)間的幅頻曲線如圖6所示。

由圖5可以看出，當(dāng)ξ=0.01時(shí)，系統(tǒng)的幅頻曲線共有五種形式，其中圖5(a)、圖5(b)、圖5(c)和圖5(d)的幅頻曲線均是不閉合的，這是無(wú)理式系統(tǒng)的特點(diǎn)，在多項(xiàng)式Duffing方程中是不具備的。

當(dāng)ξ=0.1，轉(zhuǎn)遷集將參數(shù)區(qū)間分為四個(gè)區(qū)域，各個(gè)參數(shù)區(qū)間的幅頻曲線如圖7所示。

圖5 ξ=0.01時(shí)，系統(tǒng)分岔圖Fig.5 The bifurcation diagrams，when ξ=0.01

圖6 ξ=0.1時(shí)，系統(tǒng)分岔圖Fig 6 The bifurcation diagrams，when ξ=0.1

由圖6可以看出，當(dāng)ξ=0.1時(shí)，系統(tǒng)的幅頻曲線共有四種形式，其中圖6(a)、圖6(b)和圖5(a)、圖5(b)是一樣的;但是增加了兩種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，6－c和6－d。6－c和6－d的幅頻曲線特性在Duffing方程中也是存在的。

4 系統(tǒng)的吸引盆分析

在多項(xiàng)式系統(tǒng)中，系統(tǒng)的任何初值都會(huì)收斂到相應(yīng)的周期解上，由于方程(2)是無(wú)理式系統(tǒng)，并不是所有的初值條件都能收斂到周期解，這也是無(wú)理式系統(tǒng)不同于多項(xiàng)式系統(tǒng)的地方，故有必要研究系統(tǒng)的吸引盆。在以下的計(jì)算中，取 ξ=0.01，ω0=1。當(dāng) α =0.2，ω =1.5，f不同時(shí)，得到圖7。.當(dāng) α =2，ω =2，f不同時(shí)，得到圖8。在圖7中，系統(tǒng)只有一個(gè)周期解，其中P為吸引域，可以看出，當(dāng)f增大時(shí)，系統(tǒng)的吸引域減小。在圖8中，系統(tǒng)有兩個(gè)個(gè)周期解，其中P、Q為吸引域，可以看出，當(dāng)f增大時(shí)，系統(tǒng)的兩個(gè)吸引域均減小，且隨著 f增大，吸引域Q消失，吸引域P進(jìn)一步減小。

圖7 當(dāng)α=0.2，ω=1時(shí)，系統(tǒng)的吸引域Fig.7 The basin of attraction when α =0.2

5 結(jié)論

圖8 當(dāng)α=2，ω=2時(shí)，系統(tǒng)的吸引域Fig.8 The basin of attraction when α =2，ω =2

本文所研究的無(wú)理系統(tǒng)刻畫了振動(dòng)系統(tǒng)的演化過(guò)程，當(dāng)外力T從小到大改變時(shí)，系統(tǒng)從弱的非線性剛度到強(qiáng)的非線性剛度轉(zhuǎn)化;當(dāng)外力T=0時(shí)，系統(tǒng)從非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)換成線性系統(tǒng);當(dāng)從T負(fù)到正改變時(shí)，系統(tǒng)從負(fù)的非線性剛度系統(tǒng)轉(zhuǎn)換成正的非線性剛度系統(tǒng)。研究結(jié)果表明:

(1)無(wú)理式系統(tǒng)的特性有別于多項(xiàng)式系統(tǒng)，不能完全由多項(xiàng)式系統(tǒng)代替。

(2)當(dāng)阻尼參數(shù)不同時(shí)，系統(tǒng)的幅頻曲線的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)會(huì)不同。

(3)在一定的條件下，無(wú)理式系統(tǒng)不存在周期解。

(4)在其他參數(shù)不動(dòng)時(shí)，隨著f的增大，吸引域減小。

［1］陳予恕.非線性振動(dòng)系統(tǒng)的分岔和渾沌理論［M］.北京:高等教育出版社，1993.

［2］Cao Q，Wiercigroch M，Pavlovskaia E E，et al.An archetypal oscillator for smooth and discontinuousdynamics，Phys.Rev.E 74(2006)046218.

［3］Cao Q，Wiercigroch M，Pavlovskaia E E，et al.Piecewise linear approach to an archetypal oscillator forsmooth and discontinuous dynamics， Philos. Trans. R. Soc. A 366(1865)(2008)635－652.

［4］曹慶杰，Wiercigroch M，Pavlovskaia E E，等.SD振子，SD吸引子及其應(yīng)用［J］.振動(dòng)工程學(xué)報(bào)2007，5.

［5］Golubitsky M，Schaeffer D G.Singularities and groups in bifurcation theory［M］.New York，Berlin，Heidelberg，Tokyo:Springer-Verlag，1984.

［6］陸啟韶.常微分方程的定性方法和分叉［M］.北京:北京航空航天大學(xué)出版社，1989.