超音速彈翼非線性顫振分析與控制

賈尚帥，丁 千，劉 煒

(1.天津大學(xué) 機械學(xué)院力學(xué)系，天津 300072;2.中國航天科工集團公司 二院二部，北京 100854)

隨著現(xiàn)代飛行器性能的提高和設(shè)計技術(shù)的發(fā)展，氣動彈性研究變得愈加重要。對于氣彈動力學(xué)穩(wěn)定性問題(顫振分析)，已經(jīng)由最初經(jīng)典的線性顫振分析逐步拓展出非線性顫振分析等新的內(nèi)容和分支，非線性顫振系統(tǒng)可以表現(xiàn)出豐富的動力學(xué)行為，常常出現(xiàn)極限環(huán)、分岔、混沌等復(fù)雜非線性現(xiàn)象［1］，這些現(xiàn)象會直接導(dǎo)致飛行器結(jié)構(gòu)的破壞，造成極大的安全隱患。因此非線性氣動彈性顫振分析與主動控制成為重要的研究領(lǐng)域［2］。

非線性氣動彈性領(lǐng)域主要研究氣動非線性和結(jié)構(gòu)非線性。其中結(jié)構(gòu)非線性主要包括立方非線性、間隙非線性和遲滯非線性。鄭國勇等［3］基于活塞理論研究了帶有立方非線性俯仰剛度二自由度機翼系統(tǒng)在典型參數(shù)下的穩(wěn)定極限環(huán)顫振及混沌響應(yīng)。Abbas等［4］用數(shù)值方法系統(tǒng)的研究了超音速、高超音速下沉浮和俯仰同時具有間隙和三次剛度非線性的雙楔形翼面的非線性氣彈問題。趙永輝等［5］分析了亞音速、不可壓縮流作用下帶有操縱面間隙非線性的翼段結(jié)構(gòu)的氣動彈性響應(yīng)。目前對非線性顫振主動控制問題的研究大都局限于連續(xù)的立方非線性［6－7］，關(guān)于間隙等不連續(xù)非線性系統(tǒng)如何實現(xiàn)顫振主動控制研究相對較少，文獻［8］對間隙不連續(xù)非線性系統(tǒng)的顫振主動控制進行分析，但并未考慮氣動力非線性的影響。

本文基于三階活塞理論，充分考慮結(jié)構(gòu)間隙非線性和非線性氣動剛度的影響，分析超音速彈翼的顫振特性，并基于微分幾何法和二次型最優(yōu)控制進行主動控制，研究系統(tǒng)的氣動彈性穩(wěn)定性。

1 非線性氣動彈性模型

1.1 非線性結(jié)構(gòu)模型

對于間隙非線性的研究，大都是針對具有沉浮和俯仰的兩自由度二維翼段，如圖1。俯仰自由度的間隙非線性施加如圖2所示。

利用拉格朗日方程得到翼段的氣動彈性運動微分方程:

其中:h為彈性軸沉浮位移，向下為正;α為翼段俯仰角，抬頭為正，m，sα，Iα分別為單位展長彈翼的質(zhì)量、對彈性軸的質(zhì)量靜矩及對彈性軸的質(zhì)量慣性矩，ch，cα分別為彈翼的沉浮與俯仰阻尼系數(shù)，kh，kα為沉浮與俯仰剛度，g(α)為扭簧扭矩，L，M為氣動升力與力矩。b為半弦長，2αs為扭轉(zhuǎn)間隙，bχα為重心G到彈性軸E的距離，bε為中心A到彈性軸E的距離。

1.2 超音速非定常氣動力

采用三階活塞理論能較好地體現(xiàn)氣動力的非線性效應(yīng)［9］，主要考慮非線性氣動剛度影響:

上下翼面任意點的下洗速度:

其中:

式中:γ為比熱比，η為空氣動力修正因子，p∞，c∞分別為自由來流壓強及聲速，vz為垂直于來流翼面某點處的下洗速度，U∞為自由來流速度，H(x)為翼型函數(shù)，τ^為翼型斜率。

上下翼面壓力差:

綜合式(2)將Δp向彈性軸E點簡化，得空氣升力與氣動力矩:

1.3 無量綱非線性氣動彈性模型

無量綱化的動力學(xué)方程為:

其中:

2 顫振分析

2.1 分岔點及分岔確定

彈翼顫振是在結(jié)構(gòu)的彈性力、慣性力與氣動力耦合作用下，因氣動彈性失穩(wěn)而產(chǎn)生的自激振動，是一種典型的Hopf分岔。超臨界Hopf分岔是當飛行速度超過失穩(wěn)速度(分岔點)后產(chǎn)生的、幅值緩變的極限環(huán)振動，危害性相對較小。亞臨界Hopf分岔則是在速度還未達到分岔點時，由于較大的環(huán)境擾動而產(chǎn)生的、幅值較大的極限環(huán)振動，極限環(huán)振動會引起結(jié)構(gòu)疲勞，危害性較大。

其中:U為無量綱飛行速度，并且:

系統(tǒng)參數(shù)取值如表1所示。

表1 系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 System parameters

翼段方程(6b)描述系統(tǒng)受到最小扭簧扭矩作用的運動，其平衡點O(0，0，0，0)的穩(wěn)定性最弱。顯然，O點的Jacobi矩陣即B(U)，其特征多項式為Det(B－λI)=0，可寫成方程:

其中:

當來流速度增大至U=Uhopf，系數(shù)滿足b0＞0及條件:

式(7)有一對純虛根及一對負實部特征根。根據(jù)Routh-Hurwitz定理，當U＞Uhopf時系統(tǒng)的平衡點失穩(wěn)，產(chǎn)生自激周期振動，Uhopf成為臨界顫振速度。

由表1中的模型參數(shù)計算，可得系統(tǒng)平衡點失穩(wěn)的臨界顫振速度Uhopf及對應(yīng)的特征根:

式(7)的特征根為± 0.1607i，－ 0.1532，－0.0125。

2.2 亞臨界顫振特性分析

根據(jù)等效線性化理論［10］，中心型間隙模型描述:

其中:φ =cos－1(αs/A)，A 為俯仰方向的振幅，kα為無間隙俯仰剛度，ke為俯仰等效剛度，如圖3所示。

圖3 俯仰剛度Fig.3 Pitch stiffness

間隙翼面俯仰剛度ke在超過間隙后由零值迅速增加，而后緩慢趨向于無間隙剛度kα，正是這種剛度上的變化，使得系統(tǒng)與不具有間隙的彈翼顫振不同，其表現(xiàn)為典型的非線性亞臨界顫振的特性。進一步分析可以得到亞臨界分岔點，對應(yīng)最小顫振速度為:

此時所對應(yīng)的ke/kα=0.12，相應(yīng)的彎扭頻率比為ωh/ωe=1/1.09，正是這種頻率上的重合使得亞臨界點的顫振速度變的很低。

3 基于微分幾何法的非線性顫振控制

3.1 控制器設(shè)計

基于式(6b)是導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)極限環(huán)振動的原因，對于分段非線性系統(tǒng)(6)，可以進行分段非線性控制，針對系統(tǒng)的狀態(tài)方程(6b)，設(shè)受控的非線性系統(tǒng)為:

考慮輸入與輸出數(shù)相等的情況，取m=2的多輸入多輸出控制系統(tǒng):

其中:

應(yīng)用微分幾何法，通過非線性狀態(tài)反饋與坐標變換，將非線性系統(tǒng)精確線性化:

其中:

人為輸入v作為線性極點配置控制器的輸入，可保證整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

3.2 基于二次型最優(yōu)控制

定義系統(tǒng)二次型性能泛函為:

式中:Q，R分別為對狀態(tài)變量與輸入變量的加權(quán)矩陣，Q為半正定矩陣，R為正定矩陣。

二次型最優(yōu)控制即對系統(tǒng)(14)確定最優(yōu)控制輸入規(guī)律，即:

式中:K為狀態(tài)反饋增益矩陣，使二次型性能指標最小。反饋增益矩陣可表示為:

P應(yīng)滿足黎卡提代數(shù)方程:

最優(yōu)控制率為:

4 仿真結(jié)果

令狀態(tài)權(quán)矩陣 Q=δQdiag(Q11，0，Q33，0)，控制權(quán)系數(shù)R=δRI，其中I為2×2的單位矩陣，Q11和Q33為對應(yīng)沉浮位移和俯仰角度權(quán)重，δQ和δR為對應(yīng)狀態(tài)權(quán)矩陣Q和控制權(quán)系數(shù)R的性能指標系數(shù)。分別取Q11=10－6，Q33=10－4，δQ=10，δR=1 時，可以得到受控制系統(tǒng)的臨界顫振速度:

圖4～圖8為原系統(tǒng)與受控系統(tǒng)的時間響應(yīng)、相圖及分岔點與控制參數(shù)的變化曲線。圖4為U=1.6時，原系統(tǒng)和受控系統(tǒng)均穩(wěn)定收斂到零點，相比而言受控系統(tǒng)的響應(yīng)時間更短。圖5為U=1.7時，原系統(tǒng)發(fā)生顫振，產(chǎn)生極限環(huán)，但此時受控系統(tǒng)仍然收斂到零點。圖6為U=2.0時，原系統(tǒng)與受控系統(tǒng)均為極限環(huán)振動，而受控系統(tǒng)的振幅比原系統(tǒng)的振幅減小。圖7為U=1.28時，在較大擾動下，原系統(tǒng)對應(yīng)亞臨界顫振而受控系統(tǒng)穩(wěn)定收斂。圖8為改變狀態(tài)權(quán)矩陣和狀態(tài)權(quán)系數(shù)時，對系統(tǒng)臨界顫振速度的影響，隨著δQ的增大系統(tǒng)的臨界顫振速度和亞臨界分岔點均有所提高，而對應(yīng)減小δR能夠得到相同的結(jié)果。

圖8 分岔臨界速度與控制參數(shù)Fig.8 Bifurcation critical speed vs.control parameters

5 結(jié)論

研究超音速含間隙彈翼的顫振特性及控制，應(yīng)用基于微分幾何法與二次型最優(yōu)控制相結(jié)合的方法，設(shè)計非線性控制器。研究結(jié)果表明:

(1)超音速含間隙彈翼的顫振在考慮非線性氣動剛度的影響下為典型的亞臨界顫振;

(2)基于微分幾何法和二次型最優(yōu)控制相結(jié)合的非線性控制器，不會改變系統(tǒng)亞臨界顫振特性，但可以提高系統(tǒng)的臨界顫振速度，減少顫振結(jié)構(gòu)疲勞破壞;

(3)通過調(diào)節(jié)Q，R的性能指標系數(shù)能改變系統(tǒng)的響應(yīng)特性，提高含間隙彈翼的氣動彈性穩(wěn)定性。

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