瞬變等離子體中電磁波頻率漂移特性研究

楊利霞 于萍萍 馬 輝 石雁祥 葛德彪

(1.江蘇大學(xué)通信工程系，江蘇 鎮(zhèn)江 212013;2.東南大學(xué)毫米波國(guó)家實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210096； 3.新疆伊犁師范學(xué)院電子與信息工程學(xué)院，新疆 伊犁 835000； 4. 西安電子科技大學(xué)物理系，陜西 西安 710071)

引 言

等離子體是由大量帶電粒子組成的非束縛態(tài)宏觀體系，為物質(zhì)的第四態(tài)，具有縱多獨(dú)特的性質(zhì)，人們對(duì)其電磁特性的研究也越來(lái)越熱。以前，由于多方面條件的限制，研究的目標(biāo)只限于非時(shí)變等離子體。實(shí)際應(yīng)用中的等離子體,它的等離子體頻率會(huì)隨著時(shí)間發(fā)生變化。目前，關(guān)于時(shí)變等離子體的研究仍然處于初步分析的階段。國(guó)際上，文獻(xiàn)[1]較早地從理論公式出發(fā)，推導(dǎo)了電磁波在時(shí)變介質(zhì)中的傳輸情況；Dikshitulu K.Kalluri[2-3]等人將這種時(shí)變介質(zhì)具體化，一直致力于研究電磁波在時(shí)變等離子體中的傳輸特性。在國(guó)內(nèi)，關(guān)于時(shí)變等離子體的研究成果還比較少，劉少斌等人從隱身技術(shù)的角度初步研究了時(shí)變等離子體[4]。

楊利霞[5]、謝應(yīng)濤等人曾利用FDTD方法研究了非時(shí)變等離子體的特性，并提出了解決各向異性色散介質(zhì)問(wèn)題的基于電流密度拉普拉斯變換的FDTD(CDLT-FDTD)方法[6]。本文利用CDLT-FDTD方法，推導(dǎo)一維時(shí)變等離子體的FDTD迭代式，并編程計(jì)算了矩形金屬腔中在某一時(shí)刻瞬間加入等離子體(例如在某一時(shí)刻迅速在腔內(nèi)加入電壓進(jìn)行電離)后有哪些新的特性產(chǎn)生。從理論上推導(dǎo)得到了解析解。最后，選取算例，將FDTD數(shù)值計(jì)算結(jié)果與具體計(jì)算得出的解析解進(jìn)行對(duì)比，證明了所采用FDTD方法的準(zhǔn)確性,并得到了一些結(jié)論，為今后進(jìn)一步的研究奠定了基礎(chǔ)。

1.瞬變等離子FDTD算法及遞推公式

在各向異性瞬變磁冷等離子體中，Maxwell方程組和相關(guān)的本構(gòu)方程為

(1)

(2)

(3)

式中：v是等離子體中電子與中性粒子的碰撞頻率；ωb=eB0/me為電子旋轉(zhuǎn)頻率，B0為外部靜態(tài)磁場(chǎng)，e和me分別表示電子電量和電子質(zhì)量；ωp(t)是時(shí)變等離子體頻率，假設(shè)等離子體在t0時(shí)刻瞬間產(chǎn)生，則它的函數(shù)形式可以表示為

(4)

ωp(t)的變化規(guī)律如圖1所示。

圖1 隨時(shí)間變化的等離子體頻率

圖2 一維FDTD離散Yee元胞離散圖

對(duì)一維問(wèn)題的E,H,J可按如圖2所示位置進(jìn)行網(wǎng)格剖分。對(duì)方程(1)、(2)進(jìn)行差分離散，得到的FDTD方程為

(5)

(6)

(7)

(8)

對(duì)于J的迭代計(jì)算，采用CDLT-FDTD方法。將頻域方程做拉普拉斯變換到S域，再將其進(jìn)行拉普拉斯逆變換到時(shí)域，進(jìn)行差分離散。這樣做的好處是可以避免卷積運(yùn)算，減小當(dāng)ωb或v很大時(shí)，直接離散產(chǎn)生的較大誤差，并且在運(yùn)算過(guò)程中可以利用矩陣向量的形式，減小復(fù)雜度，更加簡(jiǎn)潔。

得到離散時(shí)域的J的FDTD迭代式:

(9)

(10)

(11)

具體編程計(jì)算時(shí)，采用一維矩形金屬腔作為計(jì)算模型，如圖3所示，電磁波的傳輸方向?yàn)閦方向，兩金屬板間的距離為d，取d為1/2波長(zhǎng)的整數(shù)倍。在編程時(shí)，對(duì)于邊界上是理想導(dǎo)體的問(wèn)題，是通過(guò)設(shè)置理想導(dǎo)體的邊界條件即電場(chǎng)的切向分量為0來(lái)實(shí)現(xiàn)的；引入正弦波作為激勵(lì)源，電場(chǎng)的Ex分量和Ev分量?jī)H在相位上相差π/2，即右旋圓極化波。分別計(jì)算了腔中不填充任何介質(zhì)和在某一時(shí)刻瞬間加入等離子體后的電場(chǎng)值，具體計(jì)算結(jié)果見第3節(jié)。

圖3 一維矩形金屬諧振腔計(jì)算模型

2. 解析解的推導(dǎo)

推導(dǎo)了在圖3所示的諧振腔中瞬間產(chǎn)生等離子體后，腔內(nèi)右旋圓極化電磁波的頻率的變化規(guī)律，即矩形腔的諧振頻率以及振幅等的變化規(guī)律。解析解的具體推導(dǎo)過(guò)程如下。

分別用E-和E+表示產(chǎn)生等離子體前后的電場(chǎng)。則在t

(12)

將式(12)代入方程(1)可得

(13)

(14)

(15)

同理可得

(16)

(17)

從Maxwell方程(1)、(2)和各向異性時(shí)變磁化等離子體的本構(gòu)方程出發(fā)，可推導(dǎo)出時(shí)變等離子體的波動(dòng)方程如下：

(18)

(19)

所以式(18)可寫為

μ0ωb×J-μ0vJ

=0

(20)

一維情況下，將式(20)展開，得

(21)

一維情況下的Maxwell方程組，可寫為標(biāo)量形式如下：

(22)

(23)

式中

(24)

(25)

對(duì)式(23)進(jìn)行因式分解，可得

(26)

式中ω1～ω3，α1～α3，D1，D2,D3,G1,G2,G3可通過(guò)式(25)、(24)和(23)計(jì)算得出。又知：

=Ae-α tcos(ωt+φ)

(27)

式中D=Acosφ,G=-Aωsinφ

(28)

由式可得

(29)

根據(jù)式(28)、(29)可以計(jì)算出φ.

(30)

由此可見，在碰撞頻率v不為0，磁化等離子體情況下，諧振腔內(nèi)產(chǎn)生了新的諧振頻率，并且新頻率點(diǎn)的值由ω0、ωb和ωp_max的大小共同決定，電磁波的振幅也隨v值呈指數(shù)衰減。

當(dāng)碰撞頻率v為0時(shí)，式(23)可因式分解為

(31)

聯(lián)合式(15)、(16)對(duì)式(31)進(jìn)行拉氏逆變換，有

(32)

由此可見，在加入磁化等離子體后，Ex由原來(lái)的一個(gè)固有頻率ω0變成了三個(gè)新的頻率ω1～ω3，并且ω1、ω2、ω3的值是由ω0、ωb和ωp_max共同決定的，由于ω1～ω3的解用符號(hào)表示比較復(fù)雜，第3節(jié)將直接代入?yún)?shù)值列出結(jié)果。

在無(wú)外加磁場(chǎng)情況下，式(23)可寫為

(33)

(34)

對(duì)式(33)拉氏逆變換后可得

(35)

由此可見，當(dāng)諧振腔中瞬間加入非磁化等離子體時(shí)，雖然沒(méi)有產(chǎn)生新的諧振頻率，信號(hào)振幅也未發(fā)生變化，但諧振頻率點(diǎn)卻產(chǎn)生了移動(dòng)。

至此，從理論上得出了一維矩形金屬腔中添加瞬變磁化和非磁化等離子體的解析解，為數(shù)值計(jì)算的驗(yàn)證提供了條件。

3. 算例驗(yàn)證及數(shù)值分析

用本文提出的FDTD方法計(jì)算了矩形諧振腔中加入瞬變非磁化和磁化等離子體前后的結(jié)果，并與解析解進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了所采用的數(shù)值計(jì)算方法的準(zhǔn)確性。

3.1 非磁化瞬變等離子體頻率漂移分析

非磁化情況，所用參數(shù)為：ωb=0 GHz，ω0=2π×10 GHz，E0=1 V/m，z=d/2，n=1.由第2節(jié)的理論計(jì)算可得

(36)

FDTD仿真結(jié)果如圖4所示，圖中實(shí)線為產(chǎn)生等離子體前的仿真結(jié)果，虛線表示產(chǎn)生等離子體后的仿真結(jié)果。

為了便于比較，從圖4中提出解析解和仿真值的頻率和振幅值，見表1所示。

根據(jù)圖4與表1可見，數(shù)值解與解析解的誤差很小，證明了用FDTD計(jì)算非磁化瞬變等離子體的準(zhǔn)確性。當(dāng)諧振腔中瞬間加入非磁化等離子體時(shí)，雖然沒(méi)有產(chǎn)生新的諧振頻率，信號(hào)振幅也未發(fā)生變化，但諧振頻率點(diǎn)向高頻方向產(chǎn)生了漂移。

圖4 加入瞬變非磁化等離子體前后矩形 腔內(nèi)電磁波的諧振頻率

3.2 磁化瞬變等離子體頻率漂移分析

磁化情況，所用參數(shù)為：E0=1 V/m，ωp_max=2π×10 GHz，z=d/2，ωb=2π×10 GHz，n=1.理論計(jì)算得

(37)

FDTD仿真結(jié)果如圖5所示，圖中實(shí)線表示產(chǎn)生磁化等離子體前的結(jié)果，虛線表示產(chǎn)生磁化等離子體后的結(jié)果。

為了便于比較，從圖5中提出解析解和仿真值的頻率和振幅值，見表2所示。

從圖5與表2可以看出，磁化情況下，F(xiàn)DTD數(shù)值結(jié)果與解析解也非常接近，由此可驗(yàn)證用FDTD方法計(jì)算磁化瞬變等離子體的準(zhǔn)確性。

圖5 加入瞬變磁化等離子體前后矩形腔內(nèi)電磁波的諧振頻率

理論解FDTD解產(chǎn)生等離子體前的振幅/(V/m)11產(chǎn)生等離子體前的諧振頻率/GHz1010產(chǎn)生等離子體后的振幅/(V/m)0.5476;0.2341;0.2191;0.5635;0.2507;0.2268;產(chǎn)生等離子體后的諧振頻率/GHz24.6;17;2.424.7;17.1;2.5

通過(guò)以上FDTD仿真值與解析解的對(duì)比，驗(yàn)證了FDTD方法計(jì)算時(shí)變等離子體的正確性，可用此方法繼續(xù)分析一些解析解較難計(jì)算的復(fù)雜問(wèn)題。同時(shí)也可以看出：在矩形諧振腔中瞬間加入非磁化等離子體后，諧振腔內(nèi)電場(chǎng)的振幅不變，諧振點(diǎn)向高頻處移動(dòng)；在矩形諧振腔中瞬間加入磁化等離子體后，諧振腔產(chǎn)生了新的諧振頻率，為進(jìn)一步的分析和應(yīng)用提供了思路和基礎(chǔ)；在碰撞頻率不為0時(shí)，新的諧振振幅有很大的衰減，這樣就對(duì)諧振頻率的提取提出了難題，怎樣解決此問(wèn)題是我們今后的研究方向。

4.結(jié) 論

利用CDLT-FDTD方法，推導(dǎo)出了時(shí)變各向異性磁等離子體的FDTD遞推式，采用矩形金屬諧振腔中加入瞬變等離子體的模型進(jìn)行了編程計(jì)算，分別得到了瞬變等離子體在是否有外加磁場(chǎng)情況下的數(shù)值解。并且從理論上推導(dǎo)計(jì)算了一維矩形金屬諧振腔中加入瞬變等離子體后的解析解。將數(shù)值解與解析解進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了所用方法的準(zhǔn)確性。利用數(shù)值方法進(jìn)一步計(jì)算，分析得出如下結(jié)論：在矩形諧振腔中瞬間加入非磁化等離子體后，諧振腔的振幅不變，諧振點(diǎn)朝高頻方向發(fā)生了漂移；在矩形諧振腔中瞬間加入磁化等離子體后，諧振腔中產(chǎn)生了新的諧振頻率，這些結(jié)果為進(jìn)一步的分析和應(yīng)用提供了思路和基礎(chǔ)。

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